Chap5-控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性的基本概念系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件Routh穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Bode穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性穩(wěn)定性的基本概念

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過程中，總會(huì)受到外界或內(nèi)部一些因素的擾動(dòng)，例如負(fù)載波動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)的變化等。因此,如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施是控制理論的基本任務(wù)之一。[

定義

]

如果系統(tǒng)受到有界擾動(dòng)，不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)稱為大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)；如果只有當(dāng)擾動(dòng)引起的初始偏差小于某一范圍時(shí)，系統(tǒng)才能在取消擾動(dòng)后恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，否則就不能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這樣的系統(tǒng)稱為小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)；大范圍穩(wěn)定小范圍穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定性的基本概念[理解][注意]對(duì)于線性系統(tǒng)而言：1、若穩(wěn)定,它必然在大范圍內(nèi)和小范圍內(nèi)都穩(wěn)定。只有非線性系統(tǒng)才可能存在小范圍穩(wěn)定而大范圍不穩(wěn)定情況。

2、在有界輸入作用下,其輸出響應(yīng)也是有界的。3、穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始狀態(tài)和外作用無關(guān)。臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義：線性控制系統(tǒng)處于某一平衡狀態(tài)下受到擾動(dòng)作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，在干擾消失后系統(tǒng)又能夠回到原來的平衡狀態(tài)或者回到原平衡點(diǎn)附近，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則，該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定穩(wěn)定R(S)C(S)系統(tǒng)G(S)設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為輸入:系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件則系統(tǒng)輸出為則前一章分析可得總結(jié):如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均位于左半s平面，則瞬態(tài)響應(yīng)的暫態(tài)分量將隨時(shí)間而衰減，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個(gè)極點(diǎn)位于右半s平面，則對(duì)應(yīng)的響應(yīng)將是發(fā)散的，系統(tǒng)就不能正常穩(wěn)定工作。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全部具有負(fù)實(shí)部?；蛘哒f，特征方程的根全部位于左半s平面。特征根的三種情況及所對(duì)應(yīng)時(shí)域解：[深入理解]系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件s平面上實(shí)極點(diǎn)及穩(wěn)定性j0j0j0tc(t)0tc(t)0tc(t)0j0j0j0ty(t)0ty(t)0ty(t)0系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件s平面上復(fù)極點(diǎn)及穩(wěn)定性j0ty(t)0j0ty(t)0S平面虛軸上重極點(diǎn)及穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1940年11月7日，一陣風(fēng)引起了橋的晃動(dòng)，而且晃動(dòng)越來越大，直到整座橋斷裂…….

j0共振現(xiàn)象的解釋ty(t)0跨越華盛頓州塔科馬峽谷的首座大橋，開通于1940年7月1日。只要有風(fēng)，這座大橋就會(huì)晃動(dòng)。Routh穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)穩(wěn)定的充要條件,求得特征方程的根就可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性.但對(duì)于高階系統(tǒng)求解方程的根比較困難。希望能夠不求解系統(tǒng)特征方程，僅根據(jù)特征方程的系數(shù)得到對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的正確判斷。Routh穩(wěn)定判據(jù)就是根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù),按一定的規(guī)則排列成Routh表，根據(jù)表中第一列系數(shù)正負(fù)符號(hào)的變化情況來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)穩(wěn)定（特征方程的根都位于復(fù)平面的左半平面）的必要條件為：特征方程的系數(shù)不等于零且具有相同的符號(hào)。

閉環(huán)特征方程Routh穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程為根據(jù)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)排列成Routh判據(jù)表(n=5為例)：Routh穩(wěn)定判據(jù)：Routh表第一列元素符號(hào)一致且不等于0。第一列元素符號(hào)變化的次數(shù)就是正實(shí)部根的數(shù)目。Routh穩(wěn)定判據(jù)例：已知系統(tǒng)的特征方程，試判斷該系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：

D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0Routh表如下：135s1

s0

s4

s3

s2

b1

b2

c1

d1

24

b1=2*3-1*42=11

b2=2*5-1*02=55c1=1*4-2*51=-6-6d1=-6*5-1*0-6=55特征方程有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例:系統(tǒng)如圖所示,試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)放大倍數(shù)K的取值范圍。閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程:D(s)=s3+14s2+40s+40K=0解：

Routh穩(wěn)定判據(jù)Routh表:140

s3

s2

1440K

s1

b1

b1=14*40-1*40K14s0

c1

40K

系統(tǒng)穩(wěn)定的條件:>0560-40K>040K>014>K>0試判斷有幾個(gè)特征方程根位于S=-1之左？令s=z-1Routh穩(wěn)定判據(jù)1、首列中有1個(gè)元素為零，但所在行中存在非零元素。如特征方程：前面分析的為首列中沒有元素是零的情況。Routh判據(jù)表在分析中存在兩種特殊情形。這時(shí)可以用無窮小正數(shù)代替0，繼續(xù)運(yùn)算。Routh表:4-12/10610

本例Routh表首列符號(hào)變化兩次，表示系統(tǒng)中有2個(gè)帶正實(shí)部的根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。若用替代后符號(hào)沒有變化表示系統(tǒng)中有純虛根存在。如特征方程：D(s)=s3+2s2+s+2=0Routh表:用無窮小正數(shù)代替02首列用替代后符號(hào)沒有變化表明系統(tǒng)中有一對(duì)純虛根。

s1=-2s2.3=±j2、首列中有零元素且所在行其他元素均為零。說明特征根中可能存在共軛虛根或共軛復(fù)根或符號(hào)相異的實(shí)根。如特征方程：這時(shí)可以由上一行元素為系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式：Routh表:42Routh表首列符號(hào)變化兩次，表示系統(tǒng)中有2個(gè)帶正實(shí)部的根,由輔助多項(xiàng)式可解得存在1對(duì)共軛虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。Routh穩(wěn)定判據(jù)63多項(xiàng)式對(duì)s求導(dǎo)：所得系數(shù)取代全零行。如特征方程：Routh表:上一行元素為系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式：多項(xiàng)式對(duì)s求導(dǎo)：所得系數(shù)取代全零行。463/222/32Routh表首列符號(hào)沒有變化,表示系統(tǒng)中不存在帶正實(shí)部的根,但由輔助多項(xiàng)式可解得存在2對(duì)共軛虛根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有穩(wěn)定性判據(jù)的基礎(chǔ)。Routh穩(wěn)定判據(jù)是時(shí)域中的有效判據(jù)。與此類似，Nyquist及Bode穩(wěn)定判據(jù)是常用的頻域穩(wěn)定性判據(jù)。頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點(diǎn)是根據(jù)“開環(huán)”系統(tǒng)頻率特性曲線，判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)之基礎(chǔ)：圍線映射當(dāng)復(fù)變量s沿S平面上的閉合曲線或閉合軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，函數(shù)F(s)會(huì)將它映射為像平面上的閉合曲線。ss平面FF(s)平面例F(s)=2s+1[S]jω01σj-j-1jvu0j2-j2-13順時(shí)針方向定義為閉合曲線的正方向閉合曲線正方向右側(cè)區(qū)域?yàn)榘鼑鷧^(qū)域.即:順時(shí)針,向右看。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)F(s)=s/(s+2)

F(s)=s/(s+1/2)X

X

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)CFjvu∠F(s)σCsXXXXjωsZiPkZrPrPsPq顯然如果閉合曲線Cs在s平面上包圍了F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)(但不經(jīng)過任何一個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn))，Cs上任一點(diǎn)以順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，復(fù)變函數(shù)F(s)的矢量相位增量為:那么對(duì)應(yīng)的映射曲線CF在F(s)平面上以順時(shí)針包圍原點(diǎn)N=Z-P圈。Cauchy幅角定理：若N=Z-P>0表示CF順時(shí)針包圍原點(diǎn)N圈；若N=Z-P=0表示CF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)但不包圍原點(diǎn)；若N=Z-P<0表示CF

逆時(shí)針包圍原點(diǎn)N圈；Nyquist穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)：則：閉環(huán)特征多項(xiàng)式零、極點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)、閉環(huán)極點(diǎn)間的關(guān)系零點(diǎn)極點(diǎn)GB(s)零點(diǎn)極點(diǎn)F(s)零點(diǎn)極點(diǎn)Gk(s)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部（閉環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面）。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:特征多項(xiàng)式零點(diǎn)全部具有負(fù)實(shí)部（零點(diǎn)均在s平面的左半平面）。即如果F(s)的右半s平面零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Nyquist路徑及其映射

為將柯西幅角映射定理與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析聯(lián)系起來，現(xiàn)選擇一條由整個(gè)虛軸和半徑為∞的右半圓組成的封閉曲線(Nyquist路徑),并且按順時(shí)針方向移動(dòng)一圈。由前分析可知其在F(s)平面上的映射軌跡也是是一條封閉曲線。X

顯然根據(jù)F(s)軌跡包圍原點(diǎn)的圈數(shù)(N=Z-P),由柯西幅角定理可推知F(s)在右半s

平面的零極點(diǎn)數(shù)差。又由前分析可知基于F(s)的系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是特征多項(xiàng)式F(s)在右半s平面的零點(diǎn)數(shù)為0(N=-P)。基于F(s)的Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Nyquist路徑沿ω從-∞→+∞移動(dòng)時(shí)，在F(s)平面上的映射就是曲線F(jω)=1+Gk(jω)。半徑為∞的右半圓，映射到F(s)平面上為F(∞)=1+Gk

(∞),由于Gk(s)的分子m階次小于或等于分母階次n,顯然F(∞)為1或常數(shù)，既映射到F平面為一個(gè)點(diǎn)。解析:顯然進(jìn)一步可推知，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：F(s)軌跡逆時(shí)針包圍原點(diǎn)P圈。

P=?F(s)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù),也是Gk(s)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：F(s)軌跡逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的圈數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P。

應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)由可知：F(s)軌跡對(duì)原點(diǎn)的包圍,相當(dāng)于Gk(s)

對(duì)(-1,j0)的包圍;因此F(s)軌跡曲線對(duì)原點(diǎn)的包圍圈數(shù)N與Gk(s)

對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍圈數(shù)是等價(jià)的。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)-1:當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)在s平面的原點(diǎn)及虛軸上無極點(diǎn)時(shí)，當(dāng)ω從-∞→+∞變化時(shí)的Nyquist曲線Gk(jω)逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)的次數(shù)N等于Gk(s)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P，即N=P時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則(N≠P)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

P=0?如何表述:不包圍0→+∞變化?如何表述:P/2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)例:已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面，開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:從圖中可知ω由-∞→+∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，即N=0，又由題可知開環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面，即P=0，Z=P-N=0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用Nyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)例:單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

,試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為作出ω=0→+∞變化時(shí)Gk(jω)曲線如實(shí)線所示，鏡像對(duì)稱得ω：-∞→0變化時(shí),Gk(jω)如虛線所示。顯然系統(tǒng)開環(huán)是不穩(wěn)定的，有一個(gè)位于s平面的右極點(diǎn)，即P=1。從G(jω)H(jω)曲線看出，當(dāng)K>1時(shí)，Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)一圈，即N=-1，Z=N+P=0則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)K<1時(shí)，Nyquist曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，N=0，Z=N+P=1則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)有一個(gè)右極點(diǎn)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)例:單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)T1、

T2、

T3

均為正,系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定。試求K值為多大時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解:系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為顯然閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件：Nyquist穩(wěn)定判據(jù)前面討論的Nyquist穩(wěn)定判據(jù)和例子為了滿足柯西幅角定理?xiàng)l件，都是假設(shè)虛軸上沒有開環(huán)極點(diǎn)，即開環(huán)系統(tǒng)都是0型的。但是對(duì)于Ⅰ、Ⅱ型的開環(huán)系統(tǒng),由于在虛軸上(原點(diǎn))有極點(diǎn)，因此不能使用柯西幅角定理來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題,需要重構(gòu)Nyquist路徑。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，式中υ—開環(huán)傳遞函數(shù)位于原點(diǎn)的極點(diǎn)個(gè)數(shù)（積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)）。X

可見Gk(s)在原點(diǎn)有v重極點(diǎn),為滿足柯西幅角定理，使Nyquist路徑不經(jīng)過原點(diǎn)而仍然能包圍整個(gè)右半s平面，重構(gòu)Nyquist路徑如下：在原來路徑基礎(chǔ)上在原點(diǎn)處變更為以原點(diǎn)為圓心，半徑為無窮小做右半圓,如右圖示,顯然此路徑在Gk(s)平面上的映射為即原點(diǎn)處無限小半圓路徑映射到Gk(s)平面為半徑無限大圓弧，該圓弧角度從開始,順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過到終止。這段半徑為無限大的圓弧稱輔助圓。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)-2：Nyquist穩(wěn)定判據(jù)當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)有υ個(gè)極點(diǎn)位于s平面坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，Nyquist軌跡補(bǔ)上輔助園后，開環(huán)頻率特性曲線Gk(jω)（ω從-∞→+∞）逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)的次數(shù)N等于開環(huán)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為作出ω=0+→+∞變化時(shí)的Gk(jω)曲線，然后根據(jù)鏡像對(duì)稱得ω=-∞→0-變化時(shí)的Gk(jω)曲線,從ω=0-到ω=0+以無限大為半徑順時(shí)針轉(zhuǎn)過π,得輔助圓,如右圖所示。由圖可知：當(dāng)ω由-∞→+∞變化時(shí)，當(dāng)時(shí)，Gk(jω)

(ω從-∞→+∞)軌跡順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)兩圈，即N=2，而開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即P=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)

Z=P+N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)閉環(huán)右極點(diǎn)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)例：設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn),試用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：由圖可知：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，又P=0，則Z=N+P=0，所以

閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例：設(shè)II型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn),試用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：由圖可知：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)二圈，所以N=2,又P=0,則Z=N+P=2，所以

閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：試確定以下兩種情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性：(1)增益K較小；(2)增益K較大。小K值時(shí)是穩(wěn)定的

大K值時(shí)是不穩(wěn)定的P=0N=0Z=0P=0N=2Z=2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穿越判別法穿越:指開環(huán)系統(tǒng)Nyquist軌跡穿過(-1,j0)

點(diǎn)左邊實(shí)軸。正穿越N+:Nyquist軌跡由上而下穿過-1~-∞段實(shí)軸(ω增大時(shí),相角增大)。正穿越相當(dāng)于Nyquist曲線正向(逆時(shí)針)包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈。負(fù)穿越N-:

Nyquist軌跡由下而上穿過-1~-∞段實(shí)軸(ω增大時(shí),相角減小)。負(fù)穿越相當(dāng)于Nyquist曲線反向(順時(shí)針)包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)ω由0→+∞變化時(shí),系統(tǒng)開環(huán)頻率特性軌跡在負(fù)實(shí)軸(-1，-∞)區(qū)段的正負(fù)穿越次數(shù)之差N+-N-等于開環(huán)系統(tǒng)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P的一半即P/2時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

正穿越負(fù)穿越Nyquist穩(wěn)定判據(jù)半次穿越半次穿越：Gk(jω)軌跡起始或終止于(-1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸。-1/2次穿越+1/2次穿越Nyquist穩(wěn)定判據(jù)例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，應(yīng)用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Nyquist軌跡順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)半次，而P＝1系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。Bode穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù))Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系1、原點(diǎn)為圓心的單位圓

0分貝線;2、單位圓以外

L(ω)>0的部分；3、單位圓內(nèi)部

L(ω)<0的部分；4、負(fù)實(shí)軸-180°線。5、Nyquist軌跡輔助圓相連起始點(diǎn)=0

到-v90°線(v為開環(huán)積分環(huán)節(jié)數(shù))負(fù)穿越正穿越負(fù)穿越(L(ω)>0)正穿越6、在L(ω)>0的范圍內(nèi)正穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特曲線當(dāng)

ω增大時(shí)從下向上穿越－180°線(相位增大)；負(fù)穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特曲線當(dāng)

ω增大時(shí)從上向下穿越－180°線(相位減小)；Bode穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù))當(dāng)ω由0→+∞變化時(shí)，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線L(ω)≥0的頻段內(nèi)，若系統(tǒng)開環(huán)相頻特性曲線φ(ω)對(duì)-180°線的正負(fù)穿越次數(shù)之差為P/2（P為系統(tǒng)開環(huán)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。Bode穩(wěn)定判據(jù)例：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Bode圖，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由題意可知開環(huán)特征方程有兩個(gè)右根，即P=2,再由bode圖可知：正負(fù)穿越數(shù)之差為-1，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。Bode穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù))例：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Bode圖，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由題意可知開環(huán)特征方程有0個(gè)右根，即P=0,再由bode圖可知：正負(fù)穿越數(shù)之差為0，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。Bode穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù))例：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)Bode圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由開環(huán)傳遞函數(shù)可知開環(huán)特征方程無右根，P=0，再由Bode圖可知L()>0范圍內(nèi)()和-線不相交即正負(fù)穿越數(shù)之和為0，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。Bode穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù))例：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)Bode圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖及Bode圖如圖所示，輔助圓如圖中虛線所示。由開環(huán)傳遞函數(shù)可知開環(huán)在右半s平面無極點(diǎn)，即P=0，又由圖可知開環(huán)相頻特性曲線正負(fù)穿越數(shù)N+-N-=-1，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定(實(shí)際閉環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)Z=P-N=2)。且從圖中可以看出，不論K如何變化。開環(huán)頻率特性上的穿越次數(shù)卻不變化，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，表明系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。Bode穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù))最小相位系統(tǒng)的Bode穩(wěn)定判據(jù)：開環(huán)頻率特性Gk(S)在S右半平面無零點(diǎn)和極點(diǎn)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡(jiǎn)化為：Bode圖(開環(huán)頻率特性曲線)不包圍(-1,j0)點(diǎn)(因?yàn)槿鬘=0,且P=0,所以Z=0)。增益交界頻率c(開環(huán)剪切頻率、幅值穿越頻率):Gk(j)軌跡與單位圓交點(diǎn)處的頻率。相位交界頻率g(相位穿越頻率):

Gk(j)軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的頻率。Nyquist圖幅值和相位關(guān)系為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，Bode圖幅值和相位關(guān)系為：控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面極點(diǎn)且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist軌跡離(-1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn),則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高。反之，Nyquist軌跡離(-1,j0)點(diǎn)越近,則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低。通過Nyquist軌跡對(duì)點(diǎn)(-1,j0)的靠近程度來度量其定量表示為相位裕度γ和幅值(增益)裕度Kg,這就是通常所說的相對(duì)穩(wěn)定性。當(dāng)頻率特性曲線穿過(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這時(shí):ωc=ωg,

幅值穩(wěn)定裕度相位穩(wěn)定裕度[幅值穩(wěn)定裕度物理意義]:穩(wěn)定系統(tǒng)在相位穿越頻率處將幅值增加Kg倍（Nyquist圖）或增加Kg

分貝（Bode圖系統(tǒng)就處于臨界狀態(tài)。若增加的倍數(shù)大于Kg

倍或增加Kg

分貝，則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。比如，若增加開環(huán)放大系數(shù)K，則對(duì)數(shù)幅頻特性曲線將上升，而相角特性曲線不變，即開環(huán)放大系數(shù)太大，容易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。[相位穩(wěn)定裕度的物理意義]：穩(wěn)定系統(tǒng)在幅值穿越頻率ωc

處將相角減小γ度，則系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定；再減小就會(huì)變?yōu)椴环€(wěn)定?？刂葡到y(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性[例]設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示,當(dāng)k=10和k=100時(shí)，試求系統(tǒng)的相位裕度和幅值裕度。-解：當(dāng)k=10時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)波德圖如圖所