人教B版選擇性必修第一冊2.3.4　圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案

圓與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo).掌握圓與圓的位置關(guān)系及判定方法..了解兩圓相交或相切時一些簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用..掌握利用圓的對稱性靈活解決問題的方法.圓與圓的位置關(guān)系的判斷⑴幾何法:根據(jù)兩個圓的半徑r.,r2以及兩個圓的圓心距d來判斷兩個圓的位置關(guān)系：兩個圓外離=d〉n+r2；兩個圓外切=d=n+n;兩個圓相交=|;兩個圓內(nèi)切=d=;兩個圓內(nèi)含odVn-n.⑵代數(shù)法:通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進(jìn)行判斷.M>Oo相交,［圓G方程照一元二次方程|4=0=內(nèi)切或外切，I圓方程-J<0o外離或內(nèi)含.兩圓的公切線：⑴兩圓相外離，有四條公切線；⑵兩圓相外切，有三條公切線；⑶兩圓相交,有兩條公切線；⑷兩圓相內(nèi)切，有一條公切線；⑸兩圓相內(nèi)含,沒有公切線.提示:①兩圓相切時,連心線過切點；②兩圓相交時,連心線垂直平分公共弦(兩圓相交時,連接兩交點的線段稱為公共弦).兩圓的公共弦：(1)兩圓公共弦所在直線的方程：兩圓相交時,有一條公共弦,如圖所示.設(shè)圓C]:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,①圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②①-②得(D,-D2)x+(E-E2)y+F-F2=0.③若圓Ci與圓C2相交，由于③為直線方程,若P(x0,y0)為圓Ci與圓C2的交點,則點P(x(),y°)滿足詔+y)+DiXo+Eiyo+F尸0,_E%o+7o+D2Xo+E2yo+F2=O,所以(Di-D2)x0+(Ei-E2)yo+Fi-F2=O.即點P(x。,y°)適合直線方程,故P(x。,y。)在③所對應(yīng)的直線上,③表示過兩圓G與C2交點的直線，即公共弦所在直線的方程.⑵公共弦長的求法：①代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解得兩交點的坐標(biāo),利用兩點間的距離公式求其長.②幾何法:求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、弦長的一半、弦心距構(gòu)成的直角三角形,用勾股定理求出弦長.⑨探究點一圓與圓位置關(guān)系的判定[例1](1)圓x2+y2+4x-4y+7=0與圓(x-1)2+(y-4)2=16的位置關(guān)系是(C)A.外切B.內(nèi)切C.相交D.相離⑵當(dāng)實數(shù)k為何值時，兩圓Cl：x2+y2+4x—6y+12=0,C2：x2+y2—2x—14y+k=0相交、相切、相離?⑴解析：由題意知，圓x2+y2+4x-4y+7=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-2)2=l,所以圓心為(-2,2),半徑為1,圓(x-l)2+(y-4)2=16的圓心為(1,4),半徑為4,所以兩圓的圓心距為近9+4=?>/13,又兩圓半徑之和為5,半徑之差為3,所以兩圓相交.故選C.⑵解：將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1:(x+2)2+(y-3)2=l,C2:(x-l)2+(y-7)2=50-k.圓G的圓心為G(-2,3),半徑r,=l;圓C2的圓心為C2(l,7),半徑r=同7(k<50).從而ICG|二J(-2-1)2+(3-7)2=5.當(dāng)1+750^=5,即k=34時,兩圓外切.當(dāng)|同行-1|=5,即k=14時，兩圓內(nèi)切.當(dāng)|目一9|<|CG|<n+n,即14<k<34時,兩圓相交.當(dāng)l+V50^<5或1750^-11>5,即34<k<50或k<14時，兩圓相離.針對訓(xùn)I練:(1)圓Oi:x2+y2-2x-6y+6=o和圓02:x2+y2-6x-10y+30=0的位置關(guān)系是()A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切(2)(多選題)若圓Ci：x2+y2+6x-2y+l=0與圓C2：(xT)?+(y-4尸二田相切，則實數(shù)m的值為()A.2B.4C.8D.64解析：(1)由題意得，圓01：x2+y2-2x-6y+6=0的圓心為01(1,3),半徑n=2,圓02:x2+y2-6x-10y+30=0的圓心為02(3,5),半徑r2=2,所以01。21=V4+4=2V2,ri+r2=4,ri-r2=0,ri-r2<10)021<ri+r2,所以圓U與圓。2相交.故選B.(2)圓Ci:x2+y2+6x-2y+l=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)?+(y-1)之二9,故圓心為G(-3,1),半徑為「尸3,圓C2:(x-l)2+(y-4)2=m的圓心為C2(l,4),半徑r2=Vm,因為|CG|二VK不卷5,所以當(dāng)圓G與圓C2外切時，即而+3二|CC|,即V^i+3=5,解得m=4.當(dāng)圓G與圓C2內(nèi)切時，即|而-3|二|CG|,即=5,解得m=64.故選BD.⑴判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍問題有以下幾個步驟：①化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,寫出圓心和半徑；②計算兩圓圓心的距離d;③通過d,n+n,的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的取值范圍，必要時可借助于圖形,數(shù)形結(jié)合.⑵應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的取值范圍是非常簡單清晰的,要理清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系.⑨探究點二兩圓相交的有關(guān)問題[例2](1)(2021?河北高二月考)圓Ci:x2+y2-2x-3-0與圓C2:x2+y2+4x-2y+l=0的公共弦所在直線的方程為()A.3x+y+l=0B.3x-y+l=0C.3x+y+2=0D.3x-y+2=0(2)已知在圓C:(x-a)2+(y-2a尸二20上恰有兩個點到原點的距離為V5,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1,3)B.(1,9)C.(-3,-1)U(1,3)D.(-9,-1)U(1,9)解析：(1)由圓Ci:x2+y2-2x-3=0與圓C2:x2+y2+4x-2y+l=0,兩個方程聯(lián)立相減,可得6x-2y+4=0,所以兩個圓的公共弦所在直線的方程為3x-y+2R.故選D.⑵原問題可轉(zhuǎn)化為圓C與圓x2+y2=5有兩個交點，這兩個圓的圓心分別為(a,2a)和(0,0),半徑分別為2而和V5,所以2遙-遮0)2+(2a-0)2<2V5+V5,即V5<V5|a|<3V5,解得-1或l<a<3,所以實數(shù)a的取值范圍為(-3,T)U(1,3).故選C.針對訓(xùn)練:經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點,且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程為.左力工L左力?工口/r+y2+6%—4=0,/pqg同41解析:解萬程組122,rc八得兩圓的父點(%，+y+6y-28=0,A(-l,3),B(-6,-2).設(shè)所求圓的圓心為(a,b),因圓心在直線x-y-4=0上,故b=a-4.則有J(a+1)2+(a-4-3)2=J(a+6)2+(q-4+2)?、解得a=1,故圓心為41),半徑為JG+1)2+(一33)2=后?故圓的方程為(x[)2+(y+＞咨，即x2+y2-x+7y~32=0.答案：x?+y2-x+7y-32=0⑴求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法:將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線的方程,但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次項系數(shù)相同時,才能如此求解,否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù).(2)已知圓G:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,則過兩圓交點的圓的方程可設(shè)為x2+y2+Dix+Eiy+Fi+人(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(入WT).⑨探究點三圓與圓的相切問題［例3］求與圓x2+y2-2x=0外切,且與直線x+V5y=0相切于點M⑶-遮)的圓的方程.解:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由題知所求圓與圓x2+y-2x=0外切，則J(口―1)2+b2=r+l.①又所求圓過點M的切線為直線x+V3y=0,故組3②a-302曳二r.③解由①②③組成的方程組得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4遍,r=6.故所求圓的方程為(x-4)2+y2=4或x2+(y+4V3)2=36.變式探究1：將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2+y2-2x=0外切，圓心在x軸上,且過點(3,-百)的圓的方程”，如何求？解：因為圓心在x軸上，所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0),半徑為r,則所求圓的方程為(x-a)2+y2=r2,又因為與圓x2+y2-2x=0外切,且過點(3,-V3),所以1J(aT)2+()2=r+L解得『=言IQQlr=z,l(3-a)+(-V3)=r2,所以圓的方程為(x-4)2+y2=4.變式探究2:將本例改為“若圓x2+y-2x=0與圓x2+y2-8x-8y+m=0相外切，試求實數(shù)m的值.”解：圓x2+y2-2x=0的圓心為A(1,0),半徑為ri=l,圓x2+y2-8x-8y+m=0的圓心為B(4,4),半徑為n二反而.因為兩圓相外切，所以J(4-1)2+(4-0)2=l+V32^,解得m=16.處理兩圓相切問題的兩個步驟：⑴定性,即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切,若只是告訴相切,則必須考慮兩圓內(nèi)切與外切兩種情況.⑵轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內(nèi)切時)或兩圓半徑之和(外切時).1.(2021?天津高二期中)若圓Ci:x2+y2=l與圓C2:x2+y2-2x+2V3y+m=0外切，則實數(shù)m=(B)A.2B.3C.-2D._3解析:根據(jù)題意，圓G：x，y2=l的圓心為(0,0),半徑圓C2:x2+y2-2x+2V3y+m=0,即(x-l)2+(y+V3)2=4-m,故圓心為(1,一遍)，半徑r2=V4-m,若圓Ci:x2+y2=l與圓C2:x2+y2-2x+2V3y+m=0外切，則有CiC21=V1+3=2=1+V4-m,解得m=3.故選B..圓0,:x2+y2-2x=0和圓02:x2+y2-4y=0的位置關(guān)系為(B)A.外離B.相交C.外切D.內(nèi)切解析：圓0i的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑門口；圓02的圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑r2=2.l=r2-ri<|0i02|=V5<r1+r2=3,即兩圓相交.故選B..圓G:(x-m)2+(y+2)2=9與圓G：(x+1)?+(y-m)2=4夕卜切，則實數(shù)m的值為.

解析:C1(m,-2),n=3,C2(-1,m),r2=2,由題意得ICC|二5,即(m+l)2+(m+2)2=25,解得m=2或m=-5.答案：2或-5.已知圓Ci:x2+y2+2x-6y+l=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-l1=0,求兩圓的公共弦所在直線的方程及公共弦長.解:設(shè)兩圓交點為A(xi,yi),B(X2,y2),則A,B兩點坐標(biāo)是方程組x2+y2+2x