2023屆江西省宜春市上高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在直角坐標(biāo)系中,已知A(1,0),B(4,0),若直線x+my﹣1=0上存在點(diǎn)P,使得|PA|=2|PB|,則正實(shí)數(shù)m的最小值是()A. B.3 C. D.2.已知定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,且,若,則()A.0 B.1 C.673 D.6743.已知三棱錐且平面,其外接球體積為()A. B. C. D.4.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.5.已知、分別為雙曲線:(,)的左、右焦點(diǎn),過的直線交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,,則的離心率為()A.2 B. C. D.6.在中,為中點(diǎn),且,若,則()A. B. C. D.7.已知集合的所有三個元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.8.已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為,若,則的面積為()A. B. C. D.9.方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么滿足()A. B. C. D.10.已知,,則()A. B. C.3 D.411.集合中含有的元素個數(shù)為()A.4 B.6 C.8 D.1212.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則可以為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中,項的系數(shù)是__________(用數(shù)字作答).14.工人在安裝一個正六邊形零件時,需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊,但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________.15.已知數(shù)列滿足,且恒成立,則的值為____________.16.直線是圓:與圓:的公切線,并且分別與軸正半軸,軸正半軸相交于,兩點(diǎn),則的面積為_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)在上的最大值為3.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若銳角中角所對的邊分別為,且,求的取值范圍.18.(12分)的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求的大?。唬?)若,求面積的最大值.19.(12分)據(jù)《人民網(wǎng)》報道,美國國家航空航天局(NASA)發(fā)文稱,相比20年前世界變得更綠色了,衛(wèi)星資料顯示中國和印度的行動主導(dǎo)了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計,中國新增綠化面積的來自于植樹造林,下表是中國十個地區(qū)在去年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和)單位:公頃地區(qū)造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復(fù)人工更新內(nèi)蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053(1)請根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū);(2)在這十個地區(qū)中,任選一個地區(qū),求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率;(3)在這十個地區(qū)中,從退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中,任選兩個地區(qū),記X為這兩個地區(qū)中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.20.(12分)已知橢圓:的長半軸長為,點(diǎn)(為橢圓的離心率)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖,為直線上任一點(diǎn),過點(diǎn)橢圓上點(diǎn)處的切線為,,切點(diǎn)分別,,直線與直線,分別交于,兩點(diǎn),點(diǎn),的縱坐標(biāo)分別為,,求的值.21.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時,求證:.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)點(diǎn),由,得關(guān)于的方程.由題意,該方程有解,則,求出正實(shí)數(shù)m的取值范圍,即求正實(shí)數(shù)m的最小值.【詳解】由題意,設(shè)點(diǎn).,即,整理得,則,解得或..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與方程,考查平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式,屬于中檔題.2、B【解析】

由題知為奇函數(shù),且可得函數(shù)的周期為3,分別求出知函數(shù)在一個周期內(nèi)的和是0,利用函數(shù)周期性對所求式子進(jìn)行化簡可得.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),故;因?yàn)?,故,可知函?shù)的周期為3;在中,令,故,故函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值和為0,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路:函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.3、A【解析】

由,平面,可將三棱錐還原成長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進(jìn)而求解.【詳解】由題,因?yàn)?所以,設(shè),則由,可得,解得,可將三棱錐還原成如圖所示的長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,設(shè)外接球的半徑為,則,所以,所以外接球的體積.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.4、B【解析】

由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡運(yùn)算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】

作出圖象,取AB中點(diǎn)E,連接EF2,設(shè)F1A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,進(jìn)而得到e的值【詳解】解:取AB中點(diǎn)E,連接EF2,則由已知可得BF1⊥EF2,F(xiàn)1A=AE=EB,設(shè)F1A=x,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,則EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,則e故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用,考查離心率的求法,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.對于圓錐曲線中求離心率的問題,關(guān)鍵是列出含有中兩個量的方程,有時還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進(jìn)行整理,從而求出離心率.6、B【解析】

選取向量,為基底,由向量線性運(yùn)算,求出,即可求得結(jié)果.【詳解】,,,,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,平面向量基本定理,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

分類討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點(diǎn)睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題,其本質(zhì)在于弄清計數(shù)原理,分類討論,分別求解.8、A【解析】

由余弦定理可得,結(jié)合可得a,b,再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.9、D【解析】

由題設(shè)中所給的定義,方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解:由題意方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,對于函數(shù),由于,,設(shè),該函數(shù)在為增函數(shù),,,在上有零點(diǎn),故函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么故選:.【點(diǎn)睛】本題是一個新定義的題,理解定義,分別建立方程解出存在范圍是解題的關(guān)鍵,本題考查了推理判斷的能力,屬于基礎(chǔ)題..10、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征,求出和,再利用復(fù)數(shù)的模公式,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,解得則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】解:因?yàn)榧现械脑乇硎镜氖潜?2整除的正整數(shù),那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B12、A【解析】

根據(jù)圖象可知,函數(shù)為奇函數(shù),以及函數(shù)在上單調(diào)遞增,且有一個零點(diǎn),即可對選項逐個驗(yàn)證即可得出.【詳解】首先對4個選項進(jìn)行奇偶性判斷,可知,為偶函數(shù),不符合題意,排除B;其次,在剩下的3個選項,對其在上的零點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行判斷,在上無零點(diǎn),不符合題意,排除D;然后,對剩下的2個選項,進(jìn)行單調(diào)性判斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意,排除C.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查圖象的識別和函數(shù)性質(zhì)的判斷,意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力,屬于容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】的展開式的通項為:.令,得.答案為:-40.點(diǎn)睛:求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項,再由特定項的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第r+1項,由特定項得出r值,最后求出其參數(shù).14、60【解析】分析:首先將選定第一個釘,總共有6種方法,假設(shè)選定1號,之后分析第二步,第三步等,按照分類加法計數(shù)原理,可以求得共有10種方法,利用分步乘法計數(shù)原理,求得總共有種方法.詳解:根據(jù)題意,第一個可以從6個釘里任意選一個,共有6種選擇方法,并且是機(jī)會相等的,若第一個選1號釘?shù)臅r候,第二個可以選3,4,5號釘,依次選下去,可以得到共有10種方法,所以總共有種方法,故答案是60.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,在解題的過程中,需要逐個的將對應(yīng)的過程寫出來,所以利用列舉法將對應(yīng)的結(jié)果列出,而對于第一個選哪個是機(jī)會均等的,從而用乘法運(yùn)算得到結(jié)果.15、【解析】

易得,所以是等差數(shù)列,再利用等差數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知,,因,所以,所以數(shù)列是以為首項,3為公差的等差數(shù)列,故,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由遞推數(shù)列求數(shù)列中的某項,考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.16、【解析】

根據(jù)題意畫出圖形,設(shè),利用三角形相似求得的值,代入三角形的面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示,設(shè),由與相似,可得,解得,再由與相似,可得,解得,由三角形的面積公式,可得的面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,以及三角形相似的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】

(1)運(yùn)用降冪公式和輔助角公式,把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式,根據(jù)已知,可以求出的值,再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由(1)結(jié)合已知,可以求出角的值,通過正弦定理把問題的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍,結(jié)合已知是銳角三角形,三角形內(nèi)角和定理,最后求出的取值范圍.【詳解】解:(1)由已知,所以因此令得因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)由已知,∴由得,因此所以因?yàn)闉殇J角三角形,所以,解得因此,那么【點(diǎn)睛】本題考查了降冪公式、輔助角公式,考查了正弦定理,考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理將邊化角,結(jié)合誘導(dǎo)公式可化簡邊角關(guān)系式,求得,根據(jù)可求得結(jié)果;(2)利用余弦定理可得,利用基本不等式可求得,代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理得:,又,即由得:(2)由余弦定理得:又(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)即三角形面積的最大值為:【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識,涉及到正弦定理化簡邊角關(guān)系式、余弦定理解三角形、三角形面積公式應(yīng)用、基本不等式求積的最大值、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用等知識,屬于常考題型.19、(1)人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省,人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海??;(2);(3)分布列見詳解,數(shù)學(xué)期望為【解析】

(1)通過數(shù)據(jù)的觀察以及計算人工造林面積與造林總面積比值,可得結(jié)果.(2)通過數(shù)據(jù)的觀察以及計算新封山育林面積與造林總面積比值,得出比值超過的地區(qū)個數(shù),然后可得結(jié)果.(3)計算退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中選兩個地區(qū)總數(shù),退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù)為,列出所有取值并計算相應(yīng)概率,然后可得結(jié)果.【詳解】(1)人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省,人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海省.(2)記事件A:在這十個地區(qū)中,任選一個地區(qū),該地區(qū)新封山育林面積占總面積的比值超過根據(jù)數(shù)據(jù)可知:青海地區(qū)人工造林面積占總面積比超過,則(3)退化林修復(fù)面積超過一萬公頃有6個地區(qū):內(nèi)蒙、河北、河南、重慶、陜西、新疆,其中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃有3個地區(qū):內(nèi)蒙、河北、重慶,所以X的取值為0,1,2所以,,隨機(jī)變量X的分布列如下:【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)的處理以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,審清題意,細(xì)心計算,屬基礎(chǔ)題.20、(1);(2).【解析】

(1)因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,然后,利用,,得出,進(jìn)而求解即可(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,直線的方程為,分別聯(lián)立方程:和,利用韋達(dá)定理,再利用,,即可求出的值【詳解】(1)由橢圓的長半軸長為,得.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以.又因?yàn)?,,所以?/p>

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