平面向量的線性運(yùn)算

向量的線性運(yùn)算（一）向量的加法向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。表示：aB+1bC=AC.規(guī)定：零向量與任一向量a，都有a+0=0+a=a.【注意】：兩個(gè)向量的和仍舊是向量（簡(jiǎn)稱(chēng)和向量）作法：在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)o，作ok作法：在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)o，作ok=a,AB=a，則OB=OA+AB=a+b向量的加法法則（1）共線向量的加法:同向向量―同向向量―?——abOA B―?―?OB=a+bOWO=―OWO=——aw-bBO A―?―?OB=a+b（2）不共線向量的加法幾何中向量加法是用幾何作圖來(lái)定義的，一般有兩種方法，即向量加法的三角形法則“首尾相接，首尾連”）和平行四邊形法則（對(duì)于兩個(gè)向量共線不適應(yīng)）。三角形法則：根據(jù)向量加法定義得到的求向量和的方法，稱(chēng)為向量加法的三角形法則。表示：AB+BC=AC.平行四邊形法則：以同一點(diǎn)a為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點(diǎn)的對(duì)角線AC就是a與b的和，這種求向量和的方法稱(chēng)為向量加法的平行四邊形法則。―?―? —? ―>- —?如圖，已知向量a、b.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作~ab=a，M=b，則向量~aC叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=打+"=次

【說(shuō)明】：教材中采用了三角形法則來(lái)定義，這種定義，對(duì)兩向量共線時(shí)同樣適用，當(dāng)向量不共線時(shí)，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是一致的特殊情況：探究：（1）兩相向量的和仍是一個(gè)向量；（2） 當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|;（3） 當(dāng)a與b同向時(shí)，則a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|,當(dāng)a與b反向時(shí)，若|a|〉|b|,則a+b的方向與a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|,則a+b的方向與b相同，且|a+b|=|b|-|a|.個(gè)向量的起點(diǎn)，可以推廣到乃個(gè)向（4）“向量平移”：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后量連加個(gè)向量的起點(diǎn)，可以推廣到乃個(gè)向向量加法的運(yùn)算律（1） 向量加法的交換律：a+b=b+a（2） 向量加法的結(jié)合律:（a+b）+c=a+（b+c）證明：如圖：使A?=a,~BCf=b,如=C則―? ―?—? —? ―?—?- ―?―? —?―?―?—?(a+b)+c=次+昂=枯，a+ (b+c)=*+瀝=枯，.?.(a+b )+c=a+(b+c)從而，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行—?—?—? ? —? ?—?—? —?—?—? ? —?? —?—?—?—?例如：(a+b)+(c+ d) = (b+d)+(a+c)； a+b+c+d+ e—[d+ (a+c)]+(b+e).例題：例1.O為正六邊形的中心，作出下列向量：（1）*+oc（2）庭+te （3）ox+f例2.如圖，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以誨kmlh的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)水的流速為2km/。，求船實(shí)際航行的速度的大小與方向。TOC\o"1-5"\h\z[I 匚解：設(shè)瀝表示船垂直于對(duì)岸的速度，而表示水流的速度，以AD, LIAB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則京就是船實(shí)際航行的速度，在RtAABC中，I~aB1=2,I京1=2兵，所以I京1=v'l面|2+ITBC|2=4。—. 2兵.- " 臼因?yàn)閠anZCAB=2—=73^ZCBA=602例3已知矩形ABCD中，寬為2，長(zhǎng)為2<3，A?=a，~BC=b，京二c，試作出向量a+b+C，并求出其模的大小。例4一架飛機(jī)向北飛行200千米后，改變航向向東飛行200千米，則飛行的路程為心……偏東45,大小為、米F例5在長(zhǎng)江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡般的速度為25km/h，渡般要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，其航向應(yīng)如何確定？【舉一反三】若渡般以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航向航行，那么受水流影響，渡船的實(shí)際航向如何？習(xí)題：一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以243km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，船的實(shí)際航行的速度的大小為4km/h，求水流的速度。一艘船距對(duì)岸4七「3km，以2^3km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8km，求河水的流速。-艘船從A點(diǎn)出發(fā)以，1的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛,同時(shí)河水的流速為％，船的實(shí)際航行的速度的大小為4km/h,方向與水流間的夾角是60°，求七和勺一艘船以5km/h的速度在行駛，同時(shí)河水的流速為2km/h，則船的實(shí)際航行速度大小最大是 km/h，最小是 km/h.

向量的減法向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算。1.向量減法的定義若b+飛=a，則向量x叫做a與b的差，記為a-b，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.表示：a-b=a+(-b)2.向量減法的法則根據(jù)向量減法的定義和向量加法的三角形法則，我們可以得到向量。-b的作圖方法【思考】：已知a【思考】：已知a,b，怎樣求作a-b？(1)三角形法則：已知a,b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作O?=a，況=b，則a—bBOA即a-b可以表示為從b(減向量)的終點(diǎn)，指向a(被減向量)的終點(diǎn)的向量.(強(qiáng)調(diào)：a，b同起點(diǎn)時(shí)，a—bBOA即a-b可以表示為從b(減向量)的終點(diǎn)，指向a(被減向量)的終點(diǎn)的向量.(強(qiáng)調(diào)：a，b同起點(diǎn)時(shí)，a-b是連結(jié)a，b的終點(diǎn)，并指向“被減向量a”的向量.)(2)平行四邊形法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作~O^=a，況=-b則由向量加法的平行四邊形法則可得瓦T=：B^+Ot=a+(-b)=a-bBb【思考】：從向量a的終點(diǎn)指向向量b的終點(diǎn)的向量是什么？(b-a) ab【探究】：如右圖，a//b時(shí)，怎樣作出a-b呢?b例題例2如圖，O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，若at=a，dx=b,況=c，試證明：b+c-a=~oa例3用向量法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形例4試證：對(duì)任意向量a,b都有IlaI—Ib11<1a+b1<1aI+IbI.證明：（1）當(dāng)a，b中有零向量時(shí)，顯然成立。（2）當(dāng)a，b均不為零向量時(shí)：a與b共線，即a//方。當(dāng)a,b同向時(shí)，IIaI—IbII<Ia+bI=IaI+Ib\當(dāng)a,b反向時(shí),IIaI—IbII=Ia+bI<IaI+IbI.a，b不共線時(shí)，在AABC中，II~aBI—I庭II<京<I~ABI+I庭I，則有IIaI—Ibii<ia+bi<iai+ibi..?.iiai—ibii<ia+bi<iai+ibi其中：當(dāng)a，b同向時(shí)，la+bl=laI+IbI當(dāng)a，b同向時(shí)，IlaI—Ibll=la+bI.【思考】：任意一個(gè)非零向量是否一定可以表示為兩個(gè)不共線的向量的和?b向量的線性運(yùn)算(二)實(shí)數(shù)與向量的積的定義：一般地，實(shí)數(shù)人與向量1的積是一個(gè)向量，記作人4，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：快11=1人IIaI；當(dāng)人〉0時(shí)，人a的方向與a的方向相同；當(dāng)人＜0時(shí)，人a的方向與a的方向相反；當(dāng)x=0時(shí)，人a=0.(請(qǐng)學(xué)生自己解釋其幾何意義)實(shí)數(shù)人與向量a相乘，叫做向量的數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：TOC\o"1-5"\h\z從日a)=(M)a(結(jié)合律)； ①(人+日)a=Xa+日a(第一分配律)； ②(a+b)=Xa+Xb(第二分配律). ③定理：向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)入，使b=xa.例題例1已知向量a和向量b，求作向量—2.5a和向量2a-3b。ab例2計(jì)算：―? —? ―? —? ―? ―? —? ―? ―? —?(1)3(a-b)-2(a+2b)； (2)2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)【舉一反三】1.計(jì)算：(1)(—3)x4a；(2)3(a+b)—2(a—b)—a；(3)(2a+3b—c)—(3a—2b+c).解：(1)原式=—12a； (2)原式二5b； (3)原式二—a+5b—2c.

TOC\o"1-5"\h\z—?—? —> —?例3.當(dāng)XgZ時(shí)，驗(yàn)證：人(a+b)=人a+人b—?—?—? —? —?―?證：當(dāng)X=0時(shí)，左邊二0?(a+b)=0右邊二0?a+0*b=0分配律成立當(dāng)X為正整數(shù)時(shí)，令X=n,則有：—? —?—? —? —?—?—? —?—?—? —? —? —?n(a+b)=(a+b)+(a +b)+???+(a+b)=a+a+ ???+a+b+b+ b +???+b =na+nb即X為正整數(shù)時(shí)，分配律成立—>—? —>—? ―?—?當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，令X=-n( n為正整數(shù))，有-n(a+b )=n[-(a+b )] =n[(-a)+(-b)]—? —? —? —? —?=n(-a)+n(-b)=-na+(-nb)=-na—nb,分配律仍成立—?—? —?綜上所述，當(dāng)X為整數(shù)時(shí)，X(a+b)=Xa+Xb恒成立.例4如圖所示，D,E分別為AABC的邊AB和AC中點(diǎn)，求證：BC與DE共線，并將DE用BC線性表示例5判斷下列各題中的向量是否共線：2-丁一1一a=4匕一5e2,b二^―布%；a=ei+e2,b=2,-2e2，且ei,e2共線.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，則b=0