【教學(xué)設(shè)計(jì)同步訓(xùn)練】第1章 1.2.3 直線與平面的夾角-人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一

1.2.3

直線與平面的角學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解斜和平面所成的角的定義，體會(huì)夾角定義的唯一性、合理性．2．會(huì)求直與平面的夾角．(重點(diǎn)、難點(diǎn))

核心素養(yǎng)通過學(xué)習(xí)空間線面角，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)．傾斜的大樹，因傾斜而聞名的斜塔，高昂的塔克炮筒，發(fā)射導(dǎo)彈的壯觀場(chǎng)面……在這些畫面中都讓我們依稀看到了直線與平面相交的影子，如果把大樹、斜塔、炮筒、導(dǎo)彈抽象成直線，把地面抽象成平面，怎樣來刻畫直線相對(duì)于平面的傾斜程度？1．直線平面所成的角2．最小定理

2222222222223．用空向量求直線與平面的夾角如果是直線l的一個(gè)方向向量，是平面的法向量，設(shè)直線l與平面ππ所成角的大小為θ，則θ＝－〈v或θ＝〈vn〉－特別地θ＝sin〈vn〉或θ＝|cos〈v．思考線l的方向向量與平面的法向量夾角一定是直線和平面的夾角嗎？[示]

π不是．直線和平面的夾角為〈，n〉1．思考析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”直線與平面的夾角不是銳角就是直角．斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角是銳角．斜線與平面的夾角為[0,90°]．直線與平面的夾角為[0,90°]．

()()()()[案]

×

√

(3)×

√[示]

×

錯(cuò)誤，角的度數(shù)還可以是零度．√×√

根據(jù)線面角的定義知正確．斜線與平面的夾角為(0,90°)．正確．2．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于，則直線l與平面α所成的角等于()A．120°C．30°

B．D．以上均錯(cuò)C

1[直l與平α所成的角為θsinθ＝|cos＝0≤θ，∴θ＝．]3．已知向mn別為直線l和平面的方向向量、法向量，os〈，3n＝－，則直線l與平面α所成的角為________．3[設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈，n〉＝．又

111111111111112111111111111111121112111112∵θ∈∴θ＝．]4．在正形ABCDCD中CB與平面AACC所成角的大小為________．[如圖，連接BD交于O連接，因?yàn)閹缀误w是正方體，所以O(shè)B平面C，所以∠CO是與平面AACC所成角，2設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則OB＝，＝，2sin∠BCO＝

2＝，可得∠＝30°2即與平面AACC所成角的大小為．]公式cosθ＝cosθ·cosθ的應(yīng)用【例1】∠在平面α內(nèi)OA是平面的一條斜線∠AOB＝∠AOC＝60°，＝OB＝＝a，＝2a求與平面α所成角．[路探究]

根據(jù)定義cos＝cosθ·cosθ求解．[]

法一：∵＝OB＝a，∠AOB＝∠AOC＝，∴AB＝＝a．又∵＝2a∴AB

＋

2

＝BC2

．

22112211∴△ABC為等腰直角三角形．同理△BOC也為等腰直角三角形．取中點(diǎn)為H，連接AH，OH，22∴AH，OH＝a＝a，AH2

＋OH2

＝AO

．∴△AHO為等腰直角三角形．∴AHOH．又∵AH⊥，OH∩＝H，∴AH平面α．∴OH為在平面內(nèi)的射影，∠為OA與平面α所的角AH在Rt△AOH中，sin∠AOH＝．∴∠AOH＝．∴與平面α所成的角為45°法二：∵∠AOB＝∠＝60°，∴在α內(nèi)的射影為∠BOC的平分線，作∠BOC的角平分線交于H．又OB＝＝，BC＝2a∴∠BOC＝90°．故∠BOH＝，由公式θ＝cosθ·cos，得∠AOH＝

∠2＝，∠BOH∴與平面α所成的角為45°求線面角的關(guān)鍵是確定斜線在平面上射影的位置只有確定了射影才能將空間角轉(zhuǎn)化為平面角．在本例中，也可以直接作AH于H，進(jìn)而證明AH平面，從而證明H是點(diǎn)A在平面α內(nèi)的射影．解法二則靈活應(yīng)用公式cosθ＝cosθ·cosθ求線面角，也是常用的方法．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1如圖所示在四棱錐ABCD中ABCD是正方形PD平面若

22∠PBC＝，求直線PB與平面所成的角θ．[]

由題意得∠＝45°，∠即為直線與平面ABCD成的角θ．∵∠PBC＝θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°．2即cos＝cosθ∴cosθ＝，θ＝．用定義法解決直線與平面的夾角問題[究問題]1．用定義求直線與平面夾角的關(guān)鍵是什么？[示]

尋找直線與平面的夾角，即準(zhǔn)確確定直線在平面內(nèi)的投影．2．定義法直線與平面夾角的基本思路是什么？[示]

①若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，則直線與平面的夾角為；π②若直線與平面垂直，則直線與平面的夾角為；2③若直線與平面相交但不垂直設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為O在直線上任取異于點(diǎn)的另一點(diǎn)，過作平面的垂線PAA為垂足，則即為直線在平面內(nèi)的投影，∠AOP即為直線與平面的夾角，然后通過解三角形求出直線與平面夾角的大?。纠?】如圖所示在三棱錐ABC中⊥平面ABCPAAB∠＝60°，∠＝90°．求證：BC⊥平面；若D為的中點(diǎn)，試求AD平面PAC角的正弦值．[路探究]

(1)明和面內(nèi)的兩條相交直線垂直

22AD24322AD243作出AD平面內(nèi)的射影后，構(gòu)造三角形求解．[]

因?yàn)椤推矫?，平面，所以PA⊥．又∠BCA＝90°，所以⊥BC，又?面PACPA?平面，∩＝，所以⊥面PAC．取PC的中點(diǎn)E連接．因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以DE，所以⊥平面．連接，則AE是AD平面內(nèi)的投影，所以∠DAE是直線與平面PAC的夾角．設(shè)＝＝a，在直角三角形中．因?yàn)椤螦BC＝60°，∠BCA＝90°，a所以＝，＝，2在直角三角形中，AD＝，aDE2所以sin∠＝＝＝．2a2即AD與平面角的正弦值為．11變問法)若本例條件不變題(改為D為上的一點(diǎn)PB，試求AD與平面角的正弦值．[]

由已知⊥，，∩＝，

23393AD523393AD5所以⊥平面PAC⊥，過三等分點(diǎn)DE∥則⊥平面PAC連接，AD則∠為AD與平面的夾角不妨設(shè)PA＝＝1為∠ABC＝，112所以＝，＝×＝，＝，＝．5△ABD中22··cos45°＝∴AD，所以1DE5sin∠DAE＝＝＝．535即AD與平面角的正弦值為．2．改問法若本例的題(2)條件不變，求AD與平面PBC的夾角的正弦值，結(jié)果如何？[]

由例題(1)知BC平面，所以平面PAC平面PBC．過作AE⊥所以AE⊥平面PBC連接，則∠與平面PBC的夾角．設(shè)PA＝2a，＝a，所以PB＝22a故ADa．在△APC中，AP＝2a，3＝·sin＝2a×＝3，2

7AD7711111117AD771111111所以＝3a

2

＋4a

2＝，設(shè)∠ACP＝，則AE＝·sinθ＝×

＝a×

2a23＝a7a7221＝，221a7所以sin∠＝＝＝．2a42即AD與平面PBC夾的正弦值為．用定義法求直線與平面的夾角找直線在平面內(nèi)的射影用面面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)．用向量求直線與平面所成的角【例3】如圖，在直三棱柱C-ABC中ACBC，AC＝BC＝1，＝2，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．

1求證：B∥平面AC；求與平面ACM所成角的正弦值．

1111→2211111→112211→1111→2211111→112211→1211111111111131311[]

證明：在直三棱柱-ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC＝2，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．以C為原點(diǎn)，建立如圖所示間直角坐標(biāo)系，則(0,1,2)，A，C(0,0,2)A(1,0,2)，，，＝(0，1，－2)，→＝(－，AM＝，，設(shè)平面M的法向量n＝，，z)，則

→n＝－x＋2＝，＝－x＋y＋2＝，取z＝1，得(2－，→∵·n＝0，平面M，∴C∥平面ACM．→(2)＝(0,0,2)，平面AC的法向量n＝，－2,1)，設(shè)與平面M所成角為θ，則與平面M所成角的正弦值：→·n21sinθ＝＝＝，→×n1所以與平面ACM所成角的正弦值為

→111111111211111111→1111111112111111111111112111111112411用向量法求線面角的步驟建立空間直角坐標(biāo)系；→求直線的方向向量B求平面的法向量→|n計(jì)算：設(shè)線面角為θ，則sinθ．|n|·|AB[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知棱ABCAB，平面AA⊥平面C，∠BA＝60°，C∠C＝90°，AA＝＝CC＝，D，分別是BC和的中點(diǎn)．證明：DE⊥B；求DE與平面BCC所成角的余弦值．[]

證明：過點(diǎn)AAO⊥平面AB，交A于點(diǎn)O，連B，設(shè)C＝AC＝＝＝，則O1，AB＝2，∴OC，O＝，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，5則B，，3(0,2，D，，

(

0，1，0

)

(30,0)，C(0,3,0)，

441111111→1441→13213132π3π441111111→1441→13213132π3π2π23→1→DE，－，－3＝(－3，，→→又DEB＝，∴DE⊥C．→→(2)CB＝3，－2，－3)，CC＝(0,1，－，設(shè)平面BCC的法向量n＝(x，y，)，CB＝3－2y－3＝，則→1＝y(tǒng)－＝，取y＝，得，3，1)，→1DE，－，－3設(shè)DE與平面BCCB所成角為θ，→DEn43則sinθ＝＝．DE|·|∴cosθ＝

31－．11∴DE與平面BCCB所成角的余弦值為．1．知識(shí)：握線面角的概念以及最小角定理．2．方法(轉(zhuǎn)化思)利用空間向量求角的基本思路是把空間角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量之間的關(guān)系．首先要找出并利用空間直角坐標(biāo)系或基向量有明顯的線面垂直關(guān)系時(shí)盡量建系)表示出向量其次理清要求角和兩個(gè)向量夾角之間的關(guān)系．π1．若直線l與平面α所成角為，直線在平面α內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a成角的取值范圍是()A．

B．

233ππ323211111111111233ππ32321111111111111111121115115C．，

D．，πD[由最小角定理知直線l與直線a所成的最小角為l為異面直線，π則所成角的最大值為．]2．已知長(zhǎng)ABCDCD中＝＝4CC＝2，則直BC和平面D所成角的正弦值為()A．C．

32105

B．D．

521010C[連接交D于點(diǎn)，由已知得⊥BD，且平面BDDB⊥平面CD，∴CO⊥平面，連接，則為在平面B上的射影，∠C即為所求．1CO＝4＝22，＝4

2

＋2

＝25，C∴sin∠＝＝＝．]153．若平面α的一個(gè)法向量為(1,1,1)，直線l的方向向量為(0,3,4)，則l與α所成角的正弦值為________．7315

[l與平面所成的角為θ＝

×01×3＋1×4|3×03＋2

＝

73×73＝．]4．在正三錐-ABC中＝，AB＝3則側(cè)棱與底面所成角的正弦值為_

44aa22→→a44aa22→→a→222154

[圖，在正三棱錐P-ABC，PA4AB＝3，設(shè)在底面上的射影為，則O△ABC的中心，