微積分初步形成性考核冊(cè)答案

微積分初步形成性考核作業(yè)（一） 函數(shù)，極限和連續(xù)一、填空題（每小題2分，共20分）1.函數(shù)朋=成上的定義域是.ln（x一2）。0x3 1解：｛x-2>0'」2所以函數(shù)的定義域是（2,3）53,+8）2-函數(shù)/*（尤）=,，的定義域是?<5-x所以函數(shù)/W= ——的定義域是（-00,<5-xln(x+2)。0解：<x+2>04—工220xln(x+2)。0解：<x+2>04—工220x。一1,<x>—2-2<x<2, 所以函數(shù)fW= +%''4-x2的定義域是(-2,-1)u(-1,2]ln(x+2)?函數(shù)f(X—1)=尤2—2尤+7，則f(x)=?解：/0T)=—2x+7=工2—2尤+1+6=(x—1)2+6 所以了(工)二工2+6廣/、〔尤2+2x<0?函數(shù)f⑴=< 八，則f(°)=?解：f(0)=。2+2=2X>0K.-函數(shù)—1)=工2-2x，則f(x)=.解：/(X-1)=%2-2x=X2-2x+1-1=(X-1)2+1,/(x)=X2+1尤2—2x—37?函數(shù)y=尤+1的間斷點(diǎn)是?jq2-2x-3解：因?yàn)楫?dāng)工+1=0，即x=-l時(shí)函數(shù)無(wú)意義 所以函數(shù)>= 的間斷點(diǎn)是x=-lx+1.1] ] sm—8.limxsin—=.解：limxsin—=lim—=1V V 1x—>GO 兒 x—>GO 兒'Too「.sin4x9?若limH^=「.sin4x9?若limH^=2

xtosinkx，則k=-sin4x4「4一limx-xtOsin4x解：因?yàn)閘im——xtosinkx kxtosinkkx所以k—2n.sin3x與，10?若lim——2，則k—?xtOkxsim3x 3 sim3x解：因?yàn)閔m—=-limxt0kx kxt03-2kxkxto3x k二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）e-x+ex1?設(shè)函數(shù)y=一-一，則該函數(shù)是（）?A?奇函數(shù)B?偶函數(shù)C?非奇非偶函數(shù)D?既奇又偶函數(shù)e-e-(-x)+e-x ex+e-x解：因?yàn)閥(—x)= =—-一=ye-x+ex所以函數(shù)y=——是偶函數(shù)。故應(yīng)選b2?設(shè)函數(shù)y=x2sinx，則該函數(shù)是（）2?設(shè)函數(shù)y=x2sinx，則該函數(shù)是（）?A?奇函數(shù)B?偶函數(shù)C?非奇非偶函數(shù) D?既奇又偶函數(shù)解：因?yàn)閥(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx=-y 所以函數(shù)y=x2sinx是奇函數(shù)。故應(yīng)選A2x+2-x3?函數(shù)/（x）=x—-一的圖形是關(guān)于（）對(duì)稱(chēng)?A?y=xB?x軸C?y軸D?坐標(biāo)原點(diǎn)2-x+2-(-x) 2-x+2x解：因?yàn)閒(-x)=(-x) =-x2x+2-x所以函數(shù)f（x）—x一-一是奇函數(shù)2x+2-x從而函數(shù)/（x）=x—-一的圖形是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的因此應(yīng)選D4?下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（).A?xsinxB?lnxC?ln(x+、：1+x2)d?x+x2解：應(yīng)選C)._ 1).5?函數(shù)y=——+ln(x+5)的定義域?yàn)?x+4A?x>-5B?xu-4C?x>-5且x。0D?Ix+4。0Ix0-4解：\ ，\ <，所以應(yīng)選DIx+5>0Ix>-56.函數(shù)f（x）=聲=1）的定義域是（）?

A?(1,+8)B?(0,1)u(1,+8)C-(0,2)u(2,+8)D?(1,2)u(2,+8)fln(x-1)豐0 fx豐2 1解：〈 1八，〈 1，函數(shù)/(x)= 的定義域是(1,2)u(2,+8)，故應(yīng)選D[x-1>0 [x>1 ln(x-1)7?設(shè)f(x+1)=x2-1，則f(x)=( )A?x(x+1)B?x2c?x(x-2)D?(x+2)(x-1)解:f(2+1,x豐0，在x=0處連續(xù)，則f(0)=limf(x)，因此k=1。故應(yīng)選Bk, x=0+1)=x2—1=(x2+1,x豐0，在x=0處連續(xù)，則f(0)=limf(x)，因此k=1。故應(yīng)選Bk, x=08?下列各函數(shù)對(duì)中，( )中的兩個(gè)函數(shù)相等?A?f(x)=Jx)2，g(x)=xB?f(x)=『x2,g(x)=xC?f(x)=Inx2,g(x)=2lnxD?f(x)=Inx3,g(x)=3lnx解：兩個(gè)函數(shù)相等必須滿(mǎn)足①定義域相同②函數(shù)表達(dá)式相同，所以應(yīng)選D9?當(dāng)x—0時(shí)，下列變量中為無(wú)窮小量的是().A?-B?^^C?ln(1+x)D?—xx x2，ln(1+x)為無(wú)窮小量，所以應(yīng)選C解：因?yàn)閘imln(1+x，ln(1+x)為無(wú)窮小量，所以應(yīng)選Cx—010?當(dāng)k=()時(shí)，函數(shù)f(x)=<x2+1,

k,x。0，在x=0處連續(xù).x=0B?1C?2D?-1若函數(shù)f(x)=<解：因?yàn)閘imf(x)=lim(x2+1)=1，f(0)=kx—若函數(shù)f(x)=<11?當(dāng)k=()時(shí)，函數(shù)f(x)=<ex+2,

k,x豐0在x=0處連續(xù).x=0，所以應(yīng)選DB?1C?2D?，所以應(yīng)選D解：k=f(0)=limf(x)=lim(ex+2)=3x—0 x—012?函數(shù)f(x)= - —的間斷點(diǎn)是(x2—3x+2A?x=Lx=2B?x=3C?x=Lx=2,x=3D?無(wú)間斷點(diǎn)解：當(dāng)x=1,x=2時(shí)分母為零，因此x=Lx=2是間斷點(diǎn)，故應(yīng)選A三、解答題(每小題7分，共56分)1.計(jì)算極限limx—>2%2—3x+2X2—4TOC\o"1-5"\h\z1.x2—3x+2 .(x-l)(x-2) .x-1 1解:lim =hm =hm =—12啟一4i2(尤+2)3-2) —2x+2 4「x2+5x-6-計(jì)算極限hm HX2-11.%2+5x-6 .(jv—1)(尤+6) .x+6 7解:hm =hm =lim =—XT1尤2_1 XT1(尤+1)(尤一1)XT1X+1 2XT3尤2—2x—3[.x2—9 [. (x+3)(%—3) [.x+3 6 3解：hm =hm =lim =—=——3尤2—21-3 XT3 (尤+1)3-3) 13X+1 4 2「尤2-6x+8?計(jì)算極限hm ——-x_>4X)—5x+4尤2—6x+8 1.(x—2)(%—4)x—22解:lim =hm =lim =—XT4尤2—5x+4xt4(尤_1)(]_4)xt4X—l3「尤2-6x+8x—4=hm x—4=hm =2解：limx—21.寸]—%]TOC\o"1-5"\h\z6.計(jì)算極限hm ——.%—>0 X]. 1—X—1「(J1———1)(%*1—』+1) —X解:lim =lim =lim 「 X—>0 尤xtOX(%i'1—X+1) xtOx(-^/1x+1)「11=-lim. =.v^ov'l—x+1 27?計(jì)算極限limxtO1-x-1sin4x1. A,1. A,1'1—X—1解:lim iosm4x1.(寸]一x_1)(J]—x+1)=lim , xtOsin4x(\i'1—x+1)TOC\o"1-5"\h\z1. —X 1[. 1 1=hm , 二一一hm =--.5sin4x(<1-x+1) 4〔項(xiàng)sin4x(J■二^十]) 84x'sin4v8?計(jì)算極限lim.——?io+4—2「sin4x「sin4x( +4+2)解:lim =hm—, , xrov'尤+4—2 ,r->o(J.+4—2)(-\/x+4+2)I.sin4x(v'x+4+2) .vrsimAx.,■ ?=hm =4hm[ (Jx+4+2)=16.r—>0 尤 >04尤微積分初步形成性考核作業(yè)(二) 導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用一、填空題(每小題2分，共20分)?曲線f(x)=Jx+l在(1,2)點(diǎn)的斜率是?1 1解：fr(x)=一—，斜率*=f'(1)=-2^x 2,曲線f3)=ex在(0,1)點(diǎn)的切線方程是?解：f\x)=ex，斜率k=廣(0)=e。=1所以曲線=ex在(0,1)點(diǎn)的切線方程是：y=x+l_±-曲線)=工一2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是?TOC\o"1-5"\h\za ] 3 1解：礦=_=尤一2，斜率k=yr\=--x~2 =--x=i2 2X=1_11所以曲線〉=工一2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是：y-l=--(x-l)，即：x+2y-3=0.(2七)'=.解:(2七)'=2、'x?——In2= ——2』x2】x.若y=x(x-l)(x-2)(x-3)，則礦(0)=.解:礦(。)=(-1)(-2)(-3)=-6-已知f⑴小+冬，則廣⑶=.解：「(1)=3x2+3x1113，尸(3)=27+271n3

1 17.已知f⑴=mx，則E=?解：E)=x'了⑴=-豆8?若f(x)=xe-x，則fn(0)=?解：f'(x)=e-x-xe-x'f"(x)=-e-x-(e-x-xe-x)=-2e-x+xe-x，f"(0)=—29?函數(shù)J=3(x—1)2的單調(diào)增加區(qū)間是?解：y'=6(x-1)>0'x>1，所以函數(shù)J=3(x-1)2的單調(diào)增加區(qū)間是［1,+8)10?函數(shù)f(x)=ax2+1在區(qū)間(0,+8)單調(diào)增加，則a應(yīng)滿(mǎn)足?解：f'(x)=2ax>0，而x>0，所以a>0二、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共24分)?函數(shù)J=(x+1)2在區(qū)間(-2,2)是(D)A?單調(diào)增加B?單調(diào)減少C?先增后減 D?先減后增?滿(mǎn)足方程f'(x)=0的點(diǎn)一定是函數(shù)J=f(x)的(C).A?極值點(diǎn) B?最值點(diǎn)C?駐點(diǎn)D?間斷點(diǎn)3?若f(x)=e-xcosx，則f'(0)=(C)?A.2 B.1C.-1D.-2A.2 B.1C.-1D.-211A?——dx B? dx2x xln10ln10i dxxidxx5??設(shè)J=f(x)是可微函數(shù)，則df(cos2x)=(D)?A?2f'(cos2x)dxB?f'(cos2x)sin2xd2xC?2f'(cos2x)sin2xdxD?-f'(cos2x)sin2xd2x6?曲線J=e2x+1在x=2處切線的斜率是(C)?A?e?設(shè)J=lg2x，則dj=(B)?b?設(shè)J=lg2x，則dj=(B)?7?若f(x)=xcosx，則f〃(x)=(C)?A?cosx+xsinxB?cosx一xsinxC?一2sinx一xcosxD?2sinx+xcosx8?若f(x)=sinx+a3，其中a是常數(shù)，則f〃(x)=(C)?A?cosx+3a2B?sinx+6aC?一sinxD?cosx9?下列結(jié)論中(B)不正確?A?f(x)在x=x0處連續(xù)，則一定在x0處可微.B-f(x)在x=x0處不連續(xù)，則一定在x0處不可導(dǎo).C?可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上.D?若f(x)在［a，b］恒有fr(x)<0，則在［a，b］函數(shù)是單調(diào)下降的.10?若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則(B)是錯(cuò)誤的?A?函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有定義 B?limf(x)=A，但A。f(%)C?函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù) D?函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微11?下列函數(shù)在指定區(qū)間(一8,+8)上單調(diào)增加的是(B)?A?sinxB?e<>x2D?3-x12.下列結(jié)論正確的有(A)?A?x0是f(x)的極值點(diǎn)，且f'(x0)存在，則必有f'(x0)=0B?x0是f(x)的極值點(diǎn)，則x0必是f(x)的駐點(diǎn)C?若f'(x0)=0,則x0必是f(x)的極值點(diǎn)D?使f'⑴不存在的點(diǎn)x0,一定是f(x)的極值點(diǎn)三、解答題(每小題7分，共56分)11.設(shè)J=x2ex，求V.11］ ii i解：j'=2xex+x2ex(-——)=2xex一ex=(2x—1)exx22.設(shè)j=sin4x+cos3x，求J.解：j'=4cos4x—3cos2xsinx3.設(shè)j=ex+1+—，求j'.x1 — 1解：j=—ex+1———2偵x+1 x24?設(shè)J=xvx+Incosx，求j'..3-——sinx3解：j=1x+ =w'x一tanx2cosx25.設(shè)J=J(x)是由方程x2+j2—xj=4確定的隱函數(shù)，求dj.解：兩邊微分：2xdx+2jdj—(jdx+xdj)=02jdj—xdj=jdx—2xdxdj=土dx2j—x?設(shè)y=yM是由方程x2+y2+2xy=l確定的隱函數(shù)，求dy.解：兩邊對(duì)啟+J2+2xy=1求導(dǎo)，得：2x+2yyr+2(y+xy')=0x+yyr+y+xyf=O，(x+y)y'=-(x+y)，礦=-1dy=y'dx=-dx?設(shè)y=y(x)是由方程3+xe>+X2=4確定的隱函數(shù)，求dy.解：兩邊微分，得：exdx+eydx+xeydy+2xdx=0z c、7 ,ex+ey+2x,xeydy=-{ex+ey+2x)ax，ay= dx' ' xey.設(shè)cos(x+y)+e.y=1，求dy.解：兩邊對(duì)cos(x+》)+ey=1求導(dǎo)，得：-(l+y,)sin(x+j)+ye.v=。-sin(x+y)-jfsin(x+y)+y'ey=0[ey—sin(x+、)])'=sin(尤+y)),_sin(x+y)'ey-sin(x+y)sin(x+y)ay=yax= dx' 'ey-sin(x+y)微積分初步形成性考核作業(yè)(三) 不定積分，極值應(yīng)用問(wèn)題一、填空題(每小題2分，共20分).若f3)的一個(gè)原函數(shù)為lnx2，貝xlnx2-2x+c。-若f3)的一個(gè)原函數(shù)為1—e-2x，則廣3)=—4ea。? ]f(x)dx=xQx+c，則f{x)=(X+x)ex.?若』/(x)dx=sin2x+c，貝ij/(x)2cos2x.?若』/(x)dx=xlnx+c，則f\x)=—?

.若Jf(x)dx-cos2x+c，貝ijf'(x)—-4cos2x?7?dJe—x2dx-e-2dx?8?J(sinx)'dx-sinx+c?.若Jf(x)dx-F(x)+c，則Jf(2x—3)dx- 1 1A.——B.———C.—F(2x— 1 1A.——B.———C.—210?若Jf(x)dx=F(x)+c,則Jxf(1—x2)dx=—2F(1—xx x2 x)x x2 x二、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共16分)1?下列等式成立的是()?A?gJf(x)dx=f(x)B?Jf'(x)dx-f(x)C?dJf(x)dx-f(x)D?Jdf(x)-f(x)dx解：應(yīng)選A2.若Jf(x)dx-x2e2x+c，則f(x)-( ).A.2xe2x(1+x)B.2A.2xe2x(1+x)B.2x2e2xc.2xe2xD.xe2x解：兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得：f(x)-2xe2x+2x2e2x-2xe2x(1+x)3?若f(x)-x+vx(x>0)，則Jf'(x)dx-().，所以應(yīng)選A33A.x+M+cB.x2+x+cC.x2+^x2+c1D~x2+~x2+c解：應(yīng)選A4?以下計(jì)算正確的是(d3xA?3xdx- B?ln3dx … dx 1 =d(1+x2)C?~==d*xD? lnxdx=d(—)解：應(yīng)選A1+x2 v"x x5?Jxf"(x)dx-(A.xf'(xA.xf'(x)—f(x)+cB.xf'(x)+c1C.2x2f(x)+cAD.(x+1)f'(x)+c解：J解：Jxf”(x)dx=Jxdf'(x)=xf'(x)-Jfr(x)dx-xf'(x)-f(x)+c，所以應(yīng)選AdJdJa—2xdx=()?((1D.—x2a—2xb?—2a—2xlnadxC?a—2xdxd?a—2xdx+c解：應(yīng)選C_1 _1—1 —1 1解：兩邊求導(dǎo)，得：f(x)ex-—e，所以/(x)—1—7，故應(yīng)選—1 —1 1解：兩邊求導(dǎo)，得：f(x)ex-—e，所以/(x)—1—7，故應(yīng)選Bx2三、計(jì)算題（每小題7分，共35分）j3-履3+xsinx^^.x解：j3一＜X3+X&Xdx=3j c1.c一一xcos2x+—sin2x+c45. c1.c一一xcos2x+—sin2x+c45.jxe—xdx解：jxe—xdx=—jxde—x=—(xe—x—je-xdx)=—xe—x—e—x+c四、極值應(yīng)用題（每小題12分，共24分）1-設(shè)矩形的周長(zhǎng)為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。解：設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x厘米，則另一邊長(zhǎng)為60—x厘米，以60—x厘米的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體，則體積V為：23=3lnx—x2—cosx+c32.j(2x—1)10dx解：j(2x—1)10dx=2j(2x—1)10d(2x—1)=2-10+1(2x—1)10+1+c1=(2x—1)11+c22.1sin—J―^dxx21解：jd解：jdx=—jsin1d(1)=cos1+cxxxxx24?jxsin2xdx解：jxsin2xdx=-上jxdcos2x-——(x解：jxsin2xdx=2 2

L=2x+3-216L=2x+3-216XdL 648—=2——dx X2,c648，即：L=2X+ XTOC\o"1-5"\h\zdL八 216_令丁=0得：x=18（取正值），這時(shí) =12dX X由于根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，確實(shí)有最小值，故當(dāng)矩形的長(zhǎng)為18米，寬為12米時(shí)，才能使所用建筑材料最省五、證明題（本題5分）函數(shù)/（X）=X—ex在（—8,0）是單調(diào)增加的?證明：因?yàn)閒'(x)=1—ex，當(dāng)xg(—8,0)時(shí)，f'(x)=1—ex>0所以函數(shù)f（x）=X—ex在（—8,0）是單調(diào)增加的?微積分初步形成性考核作業(yè)（四）定積分及應(yīng)用、微分方程一、填空題（每小題2分，共20分）1?j1(sinxcos2x—x2)dx=.—1解：j1(sinxcos2x—x2)dx=j1sinxcos2xdx—j1x2dx=—2j1x2dx=—-—1 —1 —1 0 3r正2?j2(x?由定積分的幾何意義知，"方2—x2dx=。0—4?由定積分的幾何意義知，"方2—x2dx=。02H-=22—匕0TOC\o"1-5"\h\z解：j2(X5—4x+cosx)dx=j2(x5—4x)dx+j2cosxdx=2j2cosxdx=2sinxH-=22—匕02 2 23?已知曲線y=f（x）在任意點(diǎn)x處切線的斜率為、.'x，且曲線過(guò)（4,5），則該曲線的方程是。23 2-解：由j<xdx=3x2+c得所求的曲線方程由y=3x2+c確定尸2尸 1因?yàn)榍€過(guò)（4,5），所以5=—-42+c，解得：c=—3231因此所求的曲線方程為y=3X2—-4?若j1(5X3—3x+2)dx=?—1解：j1(5x3—3x+2)dx=j1(5x3一3x)dx+j12dx=4j1dx=4—1 —1 —1 0解：由定積分的幾何意義知，Ia<a2—x2dx就等于圓x2+y2=a2在第1象限的面積，即01圓x2+y2=a2面積的彳，因此0Iaa2—x2dx=-兀a24?—Ieln(x2+1)dx=dx1 .解：—Ieln(x2+1)dx=0dx1.j0e2xdx=?—8解：10e2xdxlimI0e2xdx=—limI0e2xd(2x)=—8 bf—sb 2bf—sb「 1Chm—e2x, 2b—-s0 1. 1=—lim(1—e2b)——2bf—s 2b8?微分方程礦=y,y（0）=1的特解為.解：由y'—y得=y， =dx，兩邊同時(shí)積分，得lny—x+cdxy因?yàn)閥(0)=1，所以ln1=0+c，所以c-0從而lny=x，因此微分方程y'=y,y（0）—1的特解為y=ex9?微分方程y'+3y=0的通解為.解：y'+3y=0，四+3y=0，空+3dx=0，lny+3x=cdx y 1lny—c一3x，y=ec1—3x，即y—ec1-e—3x所以微分方程y'+3y=0的通解為y=ce-3x10.微分方程(y〃)3+4xy(4)=y7sinx的階數(shù)為.解：微分方程（y"）3+4xy（4）=y7sinx的階數(shù)為4階二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）1?在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過(guò)點(diǎn)（1,4）的曲線為（A）?A?y=x2+3B?y=x2+4C?y=x2+2D?y=x2+12.若11(2x+k)dx=2,則k=(A)?01C.0D.23?下列定積分中積分值為0的是（A）?A?1B?-1A」1y2dxB?I】=^x"-12 —12I"(x3+cosx)dxD?I"(x2+sinx)dx—兀 一"4?設(shè)f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分faf(x)dx=(D)-aA?2fof(x)dxB?fof(x)dxC?\af(x)dxD?0-a -a 0皿5?j2sinx|dx=(d)?K_-2A?0B?兀C?yD?26?下列無(wú)窮積分收斂的是(B)?A?卜exdxb?J*”e-xdxc?j*」dxd?f+^^=dx0 0 1x1<x7?下列無(wú)窮積分收斂的是(B)?A?J*FnxdxB?J*”e-2xdxC?j*”-^dxd?J*”上dx0 0 1x 1■<x8?下列微分方程中，(D)是線性微分方程?A?jx2+lnj=礦b?y'y+xy2=exc?y〃*xy，=eyD?y〃sinx-y，ex=yInx9?微分方程y'=0的通解為(C)?A?y=Cxb?y=x+Cc?y=C10?下列微分方程中為可分離變量方程的是(B)dy dy dy dy . .A.=x*y;B.=xy*y;C.=xy*sinx;D. =x(y*x)dx dx dx dx三、計(jì)算題(每小題7分，共56分)1?Jln2ex(1+ex)2dx01*5lnx2?J dx1xe1+5lnx解：J dx1x解：Jln2ex(1+ex)2dx=1