高中數(shù)學(xué)集合

第一節(jié)集合

完全與教材同步，主干知識(shí)精心提煉。素質(zhì)和能力源于基礎(chǔ)，基礎(chǔ)知識(shí)是耕作“半畝方塘”的工具。視角從【考綱點(diǎn)擊】中切入，思維從【考點(diǎn)梳理】中拓展，智慧從【即時(shí)應(yīng)用】中升華?？茖W(xué)的訓(xùn)練式梳理峰回路轉(zhuǎn)，別有洞天。去盡情暢游吧，它會(huì)帶你走進(jìn)不一樣的精彩！三年34考高考指數(shù):★★★★★1.了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系.2.能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.3.理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集.4.在具體情境中,了解全集與空集的含義.5.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集.6.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.7.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.1.集合的運(yùn)算是高考考查的重點(diǎn).2.常與函數(shù)、方程、不等式交匯，考查學(xué)生借助Venn圖、數(shù)軸等工具解決集合的運(yùn)算問題的能力，要求學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí).3.以選擇題、填空題的形式考查，屬低檔題.1.集合的基本概念（1）元素的特性①________②________③________（2）集合與元素的關(guān)系（3）集合的分類①________②________③_______確定性互異性無(wú)序性∈

有限集無(wú)限集空集（4）常見集合的符號(hào)(5)集合的表示方法①_________②_________③__________列舉法描述法Venn圖法________NN*或N+ZQR?自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集空集__________________【即時(shí)應(yīng)用】(1)判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫“√”或“×”）：①Z={全體整數(shù)}()②R={實(shí)數(shù)集}={R}()③{(1，2)}={1，2}()④{1，2}={2，1}()（2）若集合A={1，a2}，則實(shí)數(shù)a不能取的值為________.【解析】(1)①不正確，正確寫法為Z={整數(shù)};②不正確，正確寫法為R={實(shí)數(shù)}；而{R}表示以實(shí)數(shù)集為元素的集合；③不正確，集合{（1，2）}表示元素為點(diǎn)（1，2）的點(diǎn)的集合，而{1，2}則表示元素為數(shù)1，2的數(shù)的集合，它們是不相等的；④正確，根據(jù)集合中元素的無(wú)序性可知{1，2}={2，1}.（2）由a2≠1,得a≠±1.答案：（1）①×②×③×④√（2）±12.集合間的基本關(guān)系A(chǔ)中任意一個(gè)元素都是B中的元素A?B或BA

集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A

AB或BA

空集是____________的子集,是____________的真子集??A?B(B≠?)集合A的___________都是集合B的元素，反過(guò)來(lái)，集合B的___________也都是集合A的元素A?B且B?A?A=B任意一個(gè)集合任何非空集合每一個(gè)元素每一個(gè)元素【即時(shí)應(yīng)用】(1)滿足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M的個(gè)數(shù)是__________.(2)若A={x|x>2或x<1},B={x|a<x<a+1},若BA，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______.【解析】(1)由已知可得M中一定有1,2,3且含有4,5,6中的一個(gè)或兩個(gè),則共有6種情況.(2)由題意知a+1≤1或a≥2,即a≤0或a≥2.答案：（1）6（2）a≤0或a≥23.集合的基本運(yùn)算A∩BA∪B若全集為U，且A?U,則集合A的補(bǔ)集為___A∩BABABAU{x|x∈A且x∈B}{x|x∈A或x∈B}={x|x∈U且xA}∈【即時(shí)應(yīng)用】(1)滿足條件M∪{1}={1，2，3}的集合M的個(gè)數(shù)是________.(2)設(shè)集合A={x|x2+x-6>0},B={x|y=},則A∩B=______.(3)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x＜-1或x＞4},那么集合A∩()等于________.【解析】（1）由題意知M={2,3}或M={1，2，3},共2個(gè).(2)∵A={x|x<-3或x>2},B={x|x≤3},∴A∩B={x|x<-3或2<x≤3}.(3)∵={x|-1≤x≤4},∴A∩()={x|-1≤x≤3}.答案：（1）2（2）{x|x<-3或2<x≤3}(3){x|-1≤x≤3}

例題歸類全面精準(zhǔn)，核心知識(shí)深入解讀。本欄目科學(xué)歸納考向，緊扣高考重點(diǎn)?！痉椒c(diǎn)睛】推門只見窗前月：突出解題方法、要領(lǐng)、答題技巧的指導(dǎo)與歸納；“經(jīng)典例題”投石沖破水中天：例題按層級(jí)分梯度進(jìn)行設(shè)計(jì)，層層推進(jìn)，流暢自然，配以形異神似的變式題，幫你舉一反三、觸類旁通。題型與方法貫通，才能高考無(wú)憂！

集合的基本概念【方法點(diǎn)睛】1.注意集合中元素的互異性對(duì)于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性.2.常見集合的意義【例1】（1）設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是()（A）9（B）8（C）7（D）6（2）已知-3∈A={a-2，2a2+5a，12}，則a=_______.【解題指南】(1)從P+Q的定義入手，可列表求出a+b的值.(2)-3是A中的元素，說(shuō)明A中的三個(gè)元素有一個(gè)等于-3，可分類討論.【規(guī)范解答】（1）選B.根據(jù)新定義將a+b的值列表如下：由集合中元素的互異性知P+Q中有8個(gè)元素，故選B.aa+b(2)∵-3∈A,∴a-2=-3或2a2+5a=-3，∴a=-1或當(dāng)a=-1時(shí)，a-2=2a2+5a=-3,不合題意;當(dāng)時(shí)，A={-3，12},符合題意,故答案：【互動(dòng)探究】若將本例第（2）題改為A={a-2,2a2+5a,12}，求a的取值范圍.【解析】由題意知∴a≠-4,a≠-1,a≠a≠14，即a的取值范圍是a∈R且a≠-4，a≠-1，a≠a≠14.【反思·感悟】1.求解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是求出答案后，不進(jìn)行檢驗(yàn)，忽視了元素的互異性.2.研究一個(gè)集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制條件,當(dāng)集合用描述法表示時(shí),注意弄清其元素表示的意義是什么.【變式備選】（2012·濰坊模擬）已知集合A={x|x2-2x+a>0}，且1A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()（A）（-∞,1）（B）(-∞,1］（C）［1,+∞)（D）(0,+∞)【解析】選B.當(dāng)1∈A時(shí)，把1代入x2-2x+a>0成立，即1-2+a>0，∴a>1,∴1A時(shí)，a≤1.

集合間的基本關(guān)系【方法點(diǎn)睛】1.解決集合相等問題的一般思路若兩個(gè)集合相等,首先分析已知元素在另一個(gè)集合中與哪一個(gè)元素相等,有幾種情況等,然后列方程組求解,要注意挖掘題目中的隱含條件.2.判斷兩集合關(guān)系的方法判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡(jiǎn)集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系.【提醒】題目中若有條件BA，則應(yīng)分B=和B≠兩種情況討論.

【例2】（1）已知a∈R,b∈R,若{a,1}={a2,a+b,0},則a2013+b2013=___________.（2）已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若BA,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.（3）設(shè)A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若BA，求實(shí)數(shù)a組成的集合C.【解題指南】(1)由兩集合相等及a≠0知，b=0,從而a2=1.(2)分B=與B≠兩種情況討論.(3)化簡(jiǎn)集合A，結(jié)合方程ax-1=0的解的情況，分B=和B≠兩種情況討論.【規(guī)范解答】(1)由題意知，a≠0,∴=0,∴b=0.∴{a,0,1}={a,0,a2}.∴a2=1，即a=±1.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)a=1時(shí)不合題意，當(dāng)a=-1時(shí)，符合題意.∴a=-1,∴a2013+b2013=(-1)2013+02013=-1.答案：-1(2)當(dāng)B=時(shí),有m+1≥2m-1,得m≤2,①當(dāng)B≠時(shí),有解得2＜m≤4,②由①②求并集得:m≤4.答案：m≤4(3)∵A={3,5},BA,∴當(dāng)B=時(shí)，方程ax-1=0無(wú)解，則a=0,此時(shí)有BA;當(dāng)B≠時(shí)，則a≠0,由ax-1=0，得即{}{3,5},∴∴【互動(dòng)探究】若本例（3）條件不變.(1)當(dāng)集合BA時(shí)，試求實(shí)數(shù)a的值.(2)當(dāng)A∩B={3}時(shí)，試求實(shí)數(shù)a組成的集合C.【解析】(1)若BA，則B=，{3}，{5}∴(2)若A∩B={3}，則B={3},【反思·感悟】1.解答本例（2），（3）時(shí)，易忽視B=這種情況，使解題不完整，造成失分.2.已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.求解時(shí)可合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析.3.子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n個(gè)元素，則其子集個(gè)數(shù)為2n,真子集個(gè)數(shù)為2n-1.【變式備選】1.設(shè)集合A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},則滿足C(A∩B)的集合C的個(gè)數(shù)是()（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】選C.∵A∩B={(x,y）|}={（1，2）},∴C=或C=(1,2),共兩個(gè).2.已知集合A={x|0<ax+1≤5}，集合B={x|<x≤2}.(1)若AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，試說(shuō)明理由.【解析】A中不等式的解集應(yīng)分三種情況討論:①若a=0,則A=R；②若a<0,則A={x|}；③若a>0,則A={x|}.(1)當(dāng)a=0時(shí)，若AB，此種情況不存在.當(dāng)a<0時(shí)，若AB,如圖，則∴a<-8.當(dāng)a>0時(shí)，若AB，如圖，則∴a≥2.綜上知，當(dāng)AB時(shí)，a<-8或a≥2.(2)當(dāng)a=0時(shí)，顯然BA；當(dāng)a<0時(shí)，若BA，如圖，則∴當(dāng)a>0時(shí)，若BA，如圖，則∴0<a≤2.綜上知，當(dāng)BA時(shí)，(3)當(dāng)且僅當(dāng)AB且BA時(shí)，A=B,由（1）（2）知a=2.

集合的基本運(yùn)算【方法點(diǎn)睛】1.集合運(yùn)算的常用方法一般地，集合元素離散時(shí)借助Venn圖運(yùn)算；集合元素連續(xù)時(shí)借助數(shù)軸運(yùn)算，借助數(shù)軸運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意端點(diǎn)值的取舍.2.常用重要結(jié)論(1)A∩B=A?AB;(2)A∪B=A?AB.【提醒】在解決有關(guān)A∩B=，A∪B=，AB等集合問題時(shí)，一定先考慮是否成立，以防漏解，另外要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【例3】(1)(2011·山東高考）設(shè)集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},則M∩N=()(A)［1，2）(B)［1，2］(C)（2，3］(D)［2，3］(2)（2011·湖南高考)設(shè)全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M∩={2，4}，則N=()(A){1，2，3}(B){1，3，5}(C){1，4，5}(D){2，3，4}(3)(2011·遼寧高考)已知M，N為集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩，則M∪N=()（A）M（B）N（C）I（D）【解題指南】（1）化簡(jiǎn)集合M，借助數(shù)軸求解.(2)借助于Venn圖知從而（3）借助于Venn圖尋找集合M，N的關(guān)系.【規(guī)范解答】(1)選A.∵M(jìn)={x|-3<x<2},∴M∩N={x|1≤x<2}.(2)選B.∵U=M∪N,∴∴N={1，3，5}.（3）選A.如圖，∵N∩,∴NM，∴M∪N=M.【互動(dòng)探究】本例（2）中增加條件N∩={3，5}，試求M∩N.【解析】由本例（2）可知N={1，3，5}，同理可求M={1，2，4}，∴M∩N={1}.【反思·感悟】1.求解本例（2），（3）時(shí)，借助于Venn圖，可使抽象問題直觀化，從而發(fā)現(xiàn)集合間的關(guān)系.2.求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果仍然是集合,區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，并結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)行直觀表達(dá)，達(dá)到解題的目的.【變式備選】已知A，B均為集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，∩A={9}，則A=()（A）{1，3}（B）{3，7，9}（C）{3，5，9}（D）{3，9}【解析】選D.畫出Venn圖如圖所示，則A={3，9}.

把握高考命題動(dòng)向，體現(xiàn)區(qū)域化考試特點(diǎn)。本欄目以最新的高考試題為研究素材，解析經(jīng)典考題，洞悉命題趨勢(shì)，展示現(xiàn)場(chǎng)評(píng)卷規(guī)則。對(duì)例題不僅僅是詳解評(píng)析，更是從命題層面評(píng)價(jià)考題，從備考角度提示規(guī)律方法，拓展思維，警示誤區(qū)。【考題體驗(yàn)】讓你零距離體驗(yàn)高考，親歷高考氛圍，提升應(yīng)戰(zhàn)能力。為你順利穿越數(shù)學(xué)高考時(shí)空增添活力，運(yùn)籌帷幄、決勝千里?！緞?chuàng)新探究】以集合為背景的新定義題【典例】（2011·廣東高考）設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果

a,b∈S有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，T∪V=Z且a,b,c∈T有abc∈T;

x,y,z∈V,有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是()(A)T,V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的(B)T,V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的(C)T,V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的(D)T,V中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的【解題指南】通過(guò)符合題目條件的特例對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析.【規(guī)范解答】選A.若T={偶數(shù)}，V={奇數(shù)}，則T、V中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的，故B、C不正確；若T={非負(fù)整數(shù)}，V={負(fù)整數(shù)}，則T關(guān)于乘法是封閉的，V關(guān)于乘法不封閉，故D不正確；事實(shí)上，T、V必有一個(gè)含有1，由題目條件知含有1的這個(gè)集合一定關(guān)于乘法封閉.綜合以上分析只有A正確，故選A.【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)對(duì)本題的深入研究，我們可以得到以下的創(chuàng)新點(diǎn)撥和備考建議：1.（2012·佳木斯模擬）設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，M＝{x|x2＞4}