角、相交線與平行線

第一部分教材知識(shí)梳理第16課時(shí)角、相交線與平行線第四單元三角形中考考點(diǎn)清單考點(diǎn)一線段和直線1.兩個(gè)基本事實(shí)（2011版新課標(biāo)新增內(nèi)容）（1）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線.（2）兩點(diǎn)之間的所有連線中，①_____最短.2.兩點(diǎn)間的距離（2011版新課標(biāo)新增內(nèi)容）兩點(diǎn)之間線段的②______，叫做這兩點(diǎn)之間的距離.線段長(zhǎng)度3.線段的中點(diǎn)（1）定義：如圖，點(diǎn)B在線段AC上，且使線段AB、BC相等,這樣的點(diǎn)B叫做線段AC的中點(diǎn).（2）線段中點(diǎn)的幾何表示：AB=BC=AC，或AC＝2AB＝2BC.考點(diǎn)二角的相關(guān)概念及性質(zhì)1.角的概念從一點(diǎn)O出發(fā)的兩條射線OA，OB所組成的圖形，其中，點(diǎn)O叫做角的頂點(diǎn)，射線OA，OB叫做角的邊.這個(gè)角可記作∠AOB，讀作“角AOB”.2.角的分類分類銳角直角鈍角平角周角度數(shù)0<α<90°α=90°③________________α=180°α=360°

90°＜α＜180°3.角平分線的定義、定理及逆定理(1)定義：在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.(2)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離④______.（3）逆定理：到角兩邊距離⑤_____的點(diǎn)在角的平分線上.相等相等4.余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)(1)如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)⑥_____，就稱這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱互余.(2)如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)⑦_(dá)____，就稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ).(3)性質(zhì)：同(或等)角的余(或補(bǔ))角相等.直角平角考點(diǎn)三相交線1.三線八角(如圖)(1)同位角有：∠1與∠5，∠2與∠6，∠4與∠8,∠3與∠7.(2)內(nèi)錯(cuò)角有：∠2與∠8，∠3與∠5.(3)同旁內(nèi)角有：∠3與∠8，∠2與∠5.2.鄰補(bǔ)角的定義及性質(zhì)（1）定義：有一個(gè)公共頂點(diǎn)和一條公共邊，另一條互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角,叫做鄰補(bǔ)角.（2）性質(zhì)：互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的和為180°.3.對(duì)頂角的定義及性質(zhì)（1）定義：一個(gè)角的兩邊分別為另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.（2）性質(zhì)：對(duì)頂角相等.4.垂線的定義、基本性質(zhì)、定理及逆定理(1)定義：兩條直線AB和CD相交所成的四個(gè)角中，如果有一個(gè)角是⑧_____，就說(shuō)這兩條直線⑨_________，記作“AB⊥CD”，讀作“AB垂直于CD”，其中一條直線叫做另一條直線的⑩______，它們的交點(diǎn)O叫做垂足.(2)基本性質(zhì)a.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線.b.在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的線段中，垂線段最短.直角互相垂直垂線5.點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的_______的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離.6.垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的_________.

逆定理：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在該線段的___________上.111213垂線段距離相等垂直平分線考點(diǎn)四平行線的判定及性質(zhì)1.平行線：在同一平面內(nèi)________的兩條直線叫做平行線.2.基本事實(shí)：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有____條直線平行于這條直線.不相交一14153.平行線的判定（1）同位角相等，兩直線平行；（2）內(nèi)錯(cuò)角______，兩直線平行；（3）同旁內(nèi)角______，兩直線平行；（4）平行于同一條直線的兩條直線平行；（5）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.1617相等互補(bǔ)4.平行線的性質(zhì)（高頻考點(diǎn)）（1）兩直線平行，_______相等；（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角_____；（3）兩直線平行，_________互補(bǔ).181920同位角相等同旁內(nèi)角5.平行線間的距離（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的點(diǎn)到另一條直線上的_______的長(zhǎng)度，叫做平行線間的距離.（2）性質(zhì)：平行線間的距離_________.2122垂線段處處相等?？碱愋推饰龅淅v類型一線段的和差計(jì)算例1（’14長(zhǎng)沙）如圖,C,D是線段AB上的兩點(diǎn),且D是線段AC的中點(diǎn)，例1題圖若AB=10cm，BC=4cm,則AD的長(zhǎng)為()A.2cmB.3cmC.4cmD.6cmB【解析】根據(jù)題意，易得AC=AB－BC=10－4=6cm，而點(diǎn)D

是AC

中點(diǎn)，因此AD=AC=3cm.類型二余角、補(bǔ)角及角平分線例2如圖，已知直線AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，例2題圖則∠C的度數(shù)為()A.150°B.130°C.120°D.100°C【解析】本題考查了平行線、角平分線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理.∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵DB平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=

∠CBD=180°-150°=30°，∴∠C=180°-30°-30°=120°.針對(duì)演練1.若一個(gè)角的補(bǔ)角是它的余角的3倍，則這個(gè)角的度數(shù)是()A.30°B.45°C.60°D.75°B【解析】本題考查了一個(gè)角的余角和補(bǔ)角的性質(zhì).設(shè)這個(gè)角為x，則180°-x=3（90°-x），解得x=45°.2.(’14廣州)已知OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為點(diǎn)D、E，PD＝10，則PE的長(zhǎng)度為_(kāi)_____.10【解析】如解圖,因?yàn)榻瞧椒志€上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等,又因?yàn)辄c(diǎn)P到線段OA的距離為10,所以點(diǎn)P到線段OB的距離也為10.第2題解圖類型三相交線例3（’14合肥38中模擬）如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上一點(diǎn),已知線段PA＝8,則線段PB的長(zhǎng)度為_(kāi)____.例3題圖8【解析】∵CD是線段AB的垂直平分線，P為CD上一點(diǎn)，∴根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.故PA＝PB=8.針對(duì)演練1.（’14涼山州）下列圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是()C【解析】?jī)蓷l直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩個(gè)角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角，由此可得出正確答案.根據(jù)對(duì)頂角的定義可得A、B、D都不是對(duì)頂角，只有C選項(xiàng)符合對(duì)頂角的定義.

方法指導(dǎo):本題考查對(duì)頂角的概念，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，如：兩條直線相交，有一個(gè)公共頂點(diǎn),反向延長(zhǎng)線等.2.如圖所示，DE是線段AB的垂直平分線，下列結(jié)論一定成立的是()A.ED=CDB.∠DAC=∠BC.∠C＞2∠BD.∠B+∠ADE=90°第2題圖D【解析】∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°，其他選項(xiàng)無(wú)法證明其是正確的．類型四平行線的性質(zhì)計(jì)算例4(’14重慶A卷）如圖，直線AB∥CD,直線EF分別交直線AB、CD于點(diǎn)E、F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥FE，交直線AB于點(diǎn)G.若∠1=42°，則∠2的大小是（）A.56°B.48°C.46°D.40°例4題圖B【解析】本題考查了平行線性質(zhì)及垂線性質(zhì)的運(yùn)用.∵AB∥CD，∴∠1=∠EFD=42°,∵FG⊥FE,∴∠EFG=90°，∴∠2=180°-∠EFG-∠EFD=180°-90°-42°=48°.【思維方式】利用平行線性質(zhì)求角度：先觀察要求角與已知角的位置關(guān)系，再選擇合理的角度進(jìn)行等量代換，因此需要熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).另外在解題中要注意平角、直角及三角形內(nèi)角和、三角形內(nèi)外角關(guān)系等知識(shí)的運(yùn)用.針對(duì)演練1.(’14無(wú)錫)如圖，AB∥CD，則根據(jù)圖中標(biāo)注的角，下列關(guān)系中成立的是()A.∠1=∠3B.∠2+∠3=180°C.∠2+∠4＜180°D.∠3+∠5＝180°第1題圖D【解析】選項(xiàng)正誤逐項(xiàng)分析A∵OC與OD不平行，∴∠1=∠3不成立B∵OC與OD不平行，∴∠2+∠3=180°不成立C∵AB∥CD，∴∠2+∠4=180°D√∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°×××2.（’14陜西）如圖，AB∥CD，∠A=45°，∠C＝28°，則∠AEC的大小為（）A.17°B.62°C.63°D.73°第2題圖D【解析】本題考查平行線性質(zhì)求角度.∵AB∥CD，∴∠ABC=∠C，∵∠AEC=∠A＋∠ABC,∴∠AEC=∠A＋∠C，∵∠A=45°,∠C=28°,∴∠AEC=45°＋28°=73°.思維方式：平行線中所成的角一般從以下兩點(diǎn)考慮求解：（1）利用平行線性質(zhì)所得的同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等及同旁內(nèi)角互補(bǔ).（2）三角形內(nèi)角和定理，三角形外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和.3.(’14綏化)如圖，直線a、b被直線c所截，a∥b，∠1+∠2的度數(shù)是_______.