高等數(shù)學(xué)第二章

第二章

極限與連續(xù)2.1極限的概念

2.2．求極限的方法

2.3極限的存在性

2.4函數(shù)的連續(xù)性

問題1：現(xiàn)在假設(shè)你的彩票中獎并且給你在以下兩種支付方式中進(jìn)行選擇：一種方式是一次性支付100萬元，另一種方式是從現(xiàn)在開始每年支付10萬元直到永遠(yuǎn)（可以支付給你的后代）.假設(shè)每年的利率是5%，你應(yīng)該選擇那種方式？問題2：我們國家的各個城市現(xiàn)在普遍實行低保制度.其目的是保證低收入家庭的基本生活開支.基本原則是既能夠維持這些家庭的基本生活同時又不影響這些家庭成員以及其他社會成員努力工作的積極性.假設(shè)你是一名社保局的工作人員，應(yīng)如何制定低保支付方案？2.1極限的概念

近”的意思就是想接近到什么程度就接近到什么程們上面選取的滿足要求.左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限（One-sidedlimit）.練習(xí)

6.畫出函數(shù)圖形然后再求解以下問題或說明它不存在.9.設(shè)有函數(shù)定義2.1.4定義2.1.4中的三種極限統(tǒng)稱為自變量趨于無窮大時的極限.練習(xí)

數(shù)列及其極限

假如我們今天將P元錢存入一個生息的銀行賬戶，隨著時間的推移，這P元錢會增加到的金額B被稱為P元錢的將來值（Futurevalue）.為了在將來的某個時點，銀行賬戶中正好產(chǎn)生金額B，現(xiàn)在必須存入到銀行賬戶中的金額P被稱為B的現(xiàn)值（Presentvalue）.問題1：假設(shè)你的彩票中獎并且給你在以下兩種支付方式中進(jìn)行選擇：一種方式是一次性支付100萬元，另一種方式是從現(xiàn)在開始每年支付10萬元直到永遠(yuǎn)（可以支付給你的后代）.假設(shè)每年的利率是5%，你應(yīng)該選擇那種方式？問題分析:首先我們得將未來得到的錢換算成現(xiàn)值.現(xiàn)在得到的10萬元，現(xiàn)值也是10萬元，記為照自變量由小到大的順序排列起來就得到一個數(shù)列都是數(shù)列的例子，它們的第n項依次為因此上面的數(shù)列可以分別寫為：現(xiàn)在我們回答問題1：因此中獎人應(yīng)選擇第二種支付方式.練習(xí)

1.判斷對錯，正確的請說明理由，錯誤的請說明理由或舉出反例都收斂且極限值相等.的圖形的垂直漸近線（Verticalasymptote）的圖形的水平漸近線和垂直漸近線都是垂直漸近線.為了以后的使用，關(guān)于無窮小我們還有以下概念：無窮?。↖nfinitesimalofhigherorder），記為練習(xí)

對于其它的自變量變化過程和數(shù)列，給出極限是無窮大的定義.3.判斷對錯，正確的請說明理由，錯誤的請說明理由或舉出反例無窮小量.（5）無窮小量是零。（6）零是無窮小量。（7）無界變量一定是無窮大量。2.2．求極限的方法

證明必要性直接由定理2.2.1得到.現(xiàn)在我們證明充分性.所以不能用商法則，這時我們首先對函數(shù)進(jìn)行恒等變換.練習(xí)3.對于其它類型的函數(shù)極限和數(shù)列極限，寫出定理定理2.2.1，定理2.2.2，定理2.2.3，定理2.2.4，定理2.2.5，定理2.2.7。4.求下列極限：

練習(xí)

1.對于其它類型的極限，寫出定理2.2.8，并證明之.

3.計算下列極限2.3極限的存在性

問題提出：設(shè)儲蓄帳戶的年利率為12%，一個客戶在其帳戶中存入1000元，在一年內(nèi)，客戶不提取.如果以一年作為一期來計算利息，那么在一年末，客戶帳戶中的金額1000+1000X0.12=1000(1+0.12)=1120(元)若銀行以半年作為一期來進(jìn)行利息計算，年利率為12%，那么半年利率為6%.在第一個半年末的賬戶余額為這樣，第三個季度的開始時點的本金為1000(1+0.06)=1060.這樣，第二個半年的開始時點的本金為1060元，那么在一年末賬戶中的余額為1000(1+0.06)(1+0.06)=1000(1+0.06)2=1030，這樣第二個季度的開始時點的本金1000X(1+0.03)=1030(元)，在第二個季度末的賬戶余額為這樣，第四個季度的開始時點的本金為在第四個季度末（也就是一年末）的賬戶余額為（元）.若銀行以一個月作為一期來進(jìn)行利息計算，那么在一年末賬上面這樣，將存（貸）款的時間（上面的一年）分成若干期（每期的時間相等，如上面的2期、4戶中的余額為期、12期，每期的時間分別為：半年、一個季度、一個月），將上一期所獲得的利息連同上一期的本金一起作為這一期的本金來計算這一期利息，按照這種方式一直計算到最后一期末，這樣的計算利息的方法被稱為復(fù)利計算.毫無疑問利息計算的次數(shù)越多，在年末所獲得的利息越多.現(xiàn)在的問題是當(dāng)計算次數(shù)無限多時（稱為連續(xù)復(fù)利計算，之所以稱為連續(xù)復(fù)利是因為每時每刻都在算，沒有間斷）利息會多到什么程度呢？就是一年內(nèi)利息計算的次數(shù)），則相應(yīng)的每一期的利率為設(shè)一個客戶在其帳戶中存入P元.那么在第一期末的賬戶余額為直接的觀察很難回答上面的問題.因此我們可以將上面的問題分成兩步，第一步：先看它是否有極限？第二步：再看它極限是多少？這樣做的好處是顯而易見的，如果沒有，當(dāng)然就沒有上面“多少”的問題了.設(shè)銀行的年利率為100%，將一年分成限是否存在？這樣無休止地抽取下去，得到一個數(shù)列有了定理2.3.2,我們可以說:如果銀行的利率是100%，一個客戶在其帳戶中存入P元,那么按連續(xù)復(fù)利計算，一年末的賬戶余額為的精確定義參看本章第7節(jié)的相關(guān)內(nèi)容）.現(xiàn)在我們回答本節(jié)開始提出的問題：按照連續(xù)復(fù)利計算，一年末：賬戶的余額為多少？這樣上面的問題就變成了由復(fù)合函數(shù)求極限法則和定理2.3.5的第二個結(jié)論，定理2.3.6練習(xí)

1.寫出其它類型極限的歸結(jié)原則.2.求下列極限

定理2.3.6（致密性定理）定理2.3.7（柯西收斂原理）2.4函數(shù)的連續(xù)性首先，如果一個函數(shù)的圖形以不抬起筆的方式畫出來，那么這個函數(shù)的定義域一定得是一個區(qū)間.如圖但是，只有定義域是個區(qū)間還不夠，比如，如圖的函數(shù)意這三個點的極限和它的函數(shù)值之間的關(guān)系.而在其它的點沒有上述三種情形出現(xiàn)，也就是說如果一個函數(shù)在其定義域上的各點不出現(xiàn)上述三種情形的任意一種，那么這個函數(shù)的圖形就能用一筆畫出來.連續(xù)性的定義例1找出下列函數(shù)的不連續(xù)點：定理2.4.1對于余弦函數(shù)的證明是類似的，留做練習(xí).練習(xí)

1.證明定理2.4.1；對于右連續(xù)和左連續(xù)寫出定理2.4.1.2.一個停車場第一個小時（或不到一小時）收費2元，以后每小時（或不到整時）收費1元，每天最多收費10元.寫出收費作為停車時間的函數(shù)表達(dá)式，討論此函數(shù)的間斷點以及它們對于停車人的意義.3.證明余弦函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。4.找出下列函數(shù)的間斷點并指出類型；在這些間斷連續(xù)函數(shù)的運算

定理2.4.2（連續(xù)函數(shù)的四則運算法則）續(xù)點）,則點C是下列函數(shù)的連續(xù)點（左連續(xù)點、右連續(xù)點）：推論1連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商在其定義域上的各點都是連續(xù)的.推論2多項式函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，即它在上連續(xù)；有理函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，即它在自己的定義域上連續(xù).推論3正切函數(shù)和余切函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).定理2.4.3（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）定理2.4.3可以簡單地敘述為：連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)在其定義域上仍是連續(xù)函數(shù)練習(xí)1.證明連續(xù)函數(shù)的四則運算法則。2.證明定理2.4.3.3.證明定理2.4.4的其余結(jié)論。2.5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是唯一的，但最大值點或最小值點不是唯一的.推論反三角函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).2.6連續(xù)性和不連續(xù)性的經(jīng)濟應(yīng)用

低保支付方案的制定

假定該城市的最低生活費用為750元人民幣/月表示工作發(fā)放的低保金，那么既不影響工作積極性又能保證（2010年），該城市的最低工資標(biāo)準(zhǔn)為15元/小時.設(shè)t是一個人的工作時間，基本生活的一個比較合理的低保方案是：顯然這個函數(shù)是連續(xù)遞增的，因此一個人選擇工作的時間越長總是意味著收入更多，這樣的話每個人都會選擇積極工作以使自己的經(jīng)濟狀況好一些，同時又能使所有的人都能夠維持基本的生活.可分性和生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)不具有這個性質(zhì).比如，汽車廠生產(chǎn)要用螺栓，設(shè)表示螺栓的數(shù)量，表示生產(chǎn)汽車的顯然螺栓的數(shù)量只能是自然數(shù)才有意義然而，如果一個汽車廠每年生產(chǎn)2萬輛汽車，每輛車使用1050個螺栓，那么下面的處理方法看起其中點（1050,1）（2100，2),（3150，3）等是真實的變量關(guān)系.值不是1050的整數(shù)倍，那么最接近1050的整數(shù)倍的數(shù)可能是較合理的近來是合情合理的：顯然如果有人在公司的決策過程中利用連續(xù)函數(shù)近似值.這樣，即便商品不是無限可分的，也常假設(shè)其是，而不會過多歪曲事實.帶獎金的工資明細(xì)表假設(shè)銷售員得到一份工資合同，規(guī)定月工資由三部分構(gòu)成：（1）基本工資2000元(2）1%的提成；（3）如果月銷售額達(dá)到或超過15萬元，可得額外獎勵3000元.這個工資合同可以簡單地用下面的函數(shù)來表示：在點150000處不連續(xù)，這個不連續(xù)性會導(dǎo)致上面的工資合同不利于調(diào)動全體銷售員的工作積極性.考慮下列情景：有三個銷售員小王、小張和小李，其當(dāng)月銷售額（不包含最后一天）分別是：小王16萬元，小張13.5萬元，小李5均衡價格的存在性

萬元.1%的提成給予三個銷售員相同的內(nèi)在激勵.但是3000元獎金對三個銷售員最后一天的工作會產(chǎn)生不同的激勵.假設(shè)在一天內(nèi)銷售幾萬元的商品是可能的，但是銷售10萬元的商品實際上是不可能的，那么可以期待銷售員小張在最后一天會比另外兩個銷售員更加努力地工作.

生產(chǎn)者會發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)該產(chǎn)品利潤豐厚，而顧客會感到價格過高，這樣必然導(dǎo)致供過于求，即使得在這個價格下該種商品的供給恰好等于需求，這個價格被稱為均衡價格或市場出清價格.考慮下列線性需求函數(shù)和供給函數(shù)：上述關(guān)于價格存在性的討論有助于決定這些函數(shù)的參數(shù)條件，這些條件是保證存在正均衡價格所必需的.在上面的幾個經(jīng)濟問題中，要求所考慮的函數(shù)都是連續(xù)（不是連續(xù)的，需將其連續(xù)化），否則我們不能得到需要的答案.但有些經(jīng)濟問題的解恰好是在不連續(xù)點得到的，這時你要勉強將所考慮函函數(shù)連續(xù)化會使得其反.為此，我們看下面的經(jīng)濟模型.價格競爭的伯特蘭模型如果市場中有不止一個制造者/消費者，但是數(shù)量不足以達(dá)到完全競爭的要求，則稱市場是寡頭壟斷.伯特蘭（Bertrand）模型描述了公司在此情形下的可能行為.為簡化討論，假設(shè)市場上只有兩家公司.假設(shè)兩個公司在價格上進(jìn)行競爭，即每個公司制定價格以滿足在此價格下對其產(chǎn)品的實際需求.假設(shè)公司制造的產(chǎn)品同質(zhì)，如果一個公司索取的價格更低，那么所有的消費者都會購買該公司的產(chǎn)品.如果兩個公司制定的價格相同，那么可以假設(shè)消費者的購買量將在兩個公司之間平均分配.因此我們需考慮價格改變時每個公司的收益會如何變化.為了搞清在此情況下公司將如何選擇，考慮如下簡單的情形：設(shè)市場對該產(chǎn)品的需求函數(shù)為假設(shè)公司2制定了不同的價格，比如說在此情形下，如果公司1的定價超過7，則公司1的銷售量將變成0；如果公司1的定價也是7，則公司1和公司2評分市場.這時兩個公司的銷售量都是3，公司1的收益如果公司1的定價只要比處是不連續(xù)的.從經(jīng)濟這種不連續(xù)性是特別重要的，因為類似于上面經(jīng)濟模型的解往往都是在不連續(xù)點得到的.為表明這一點，考慮公司2給定的任意價格只要公司1都會低于此價格出售其產(chǎn)品，這樣公司1就會獲得全部市場份額，這樣的話，公司2的銷售量是0，因此公司2的定價只能是4（低于4的話，回虧本），這樣公司1的價格也只能是4，否則的話公司2也會采取上面公司2的策略.所以該種商品的市場價格一定等于單位商品的成本.霍特林（Hotelling）位置模型

霍特林（Hotelling）位置模型用于說明這樣一個問題：為什么經(jīng)營同種商品的公司經(jīng)常會在同一地點開設(shè)？比如建材市場、農(nóng)貿(mào)市場等等.為了說明簡單，假設(shè)有A,B兩個公司位于位于一條條直線距離為1公里的街上.為了方便，我們認(rèn)為這條街就是閉區(qū)間[0,1].這樣街道上的點就可以用屬于[0,1]上的數(shù)字L來表示.假設(shè)兩個公司都出售同質(zhì)、同價的商品，并且兩個公司為顧客提供的服務(wù)也都相同.這樣從概率的角度來看，如果這兩個公司位于同一位置，那么這兩個公司所獲得的顧客數(shù)量應(yīng)該相同，各獲得一半的顧客.再假設(shè)顧客沿街均勻分布，每個顧客都購買一單位產(chǎn)品，設(shè)單位產(chǎn)品的價格和成本分別為如果共有N個顧客，那么市場的潛在總利潤為于是每個公司都盡可能選擇一個能獲得最大市場份額的位置.左邊的顧客去

A公司，點

右邊的顧客去B公司，因此A公司占有60%的市場份額，而B公司占有40%的市場份額.因為A公司可選擇的位置是從0到1的所有點，的市場份額，而B公司占有90%的市場份額.現(xiàn)在隨著A公司將位置向右移動，但仍選擇則

公司的市場份額會逐漸增加到20%.然而，一旦

公司的位置確切地抵達(dá)點公司將平分市場，因為此時對顧客而言兩個公司是沒有差別的.因此在點0.2處，A公司的市場份額不連續(xù)地跳到50%.如果A公司選在處，則其市場份額躍至80%，并且隨著A公司位置的右移市場份額會逐漸變少.我們用表示A公司的市場份額，則份額函數(shù)為從上面的分析來看，B公司的位置如果恰好選在中點0.5處，那么無論A公司的位置選在何處，B公司的市場份額都至少占50%，當(dāng)然A公司也和B公司的想法一樣，因此兩家公司都會選在中點0.5處的位置.練習(xí)

假設(shè)政府以5%的稅率對每個人的收入中超過2000元的部分征稅.現(xiàn)在政府希望獲得額外的稅收收入，但是又要避免加重低收入或中等收入者的負(fù)擔(dān).因此政府決定對每個年收入60000元及以上的人一次性征收1000元附加稅.畫出稅后收入曲線，

y是稅前收入

的函數(shù).討論征稅方案中可能由不連續(xù)性引起的對人們工作積極性的影響.2.假設(shè)某銷售員每月的收入是5000元基本工資加上與銷售業(yè)績掛鉤的提成和獎金.假設(shè)提成比例是15%.當(dāng)每月銷售額超過150000元時一次性支付獎金6000元.如果月銷售額超過250000元時一次性支付獎金10000元.寫出銷售員的業(yè)績與收入之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的間斷點和間斷點的類型.3.假設(shè)某銷售員每月的收入是3000元基本工資加上與銷售業(yè)績掛鉤的提成.當(dāng)每月銷售額不超過150000元時提成比例是10%.但如果月銷售額超過250000元時提成比例是20%（已全部銷售額為基數(shù)）.寫出銷售員的業(yè)績與收入之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的間斷點和間斷點的類型.

2.7初等函數(shù)第一章經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型中，我們首先介紹了三種基本函數(shù)：線性函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，然后通過四則運算給出了多項式函數(shù)、有理函數(shù)和三角函數(shù).上一節(jié)，通過使用介值定理給出了反三角函數(shù).現(xiàn)在繼續(xù)通過使用介值定理介紹指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).雖然這些函數(shù)在中學(xué)時我們都學(xué)過，但那時學(xué)的比較粗糙，很多地方都是模模糊糊.比如，到底是什么？再比如，為什么說指數(shù)函數(shù)的值域是？等等，諸如此類問題在本節(jié)我們徹底解決.算術(shù)根

定理2.7.1

定理2.7.2（算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)不等式）有理數(shù)次方冪步定義有理數(shù)次方冪.關(guān)于有理數(shù)方冪，我們有無理數(shù)次方冪

對于許多問題，用來建立模型