清華大學結構力學第章位移法

第八章位移法§8-1位移法的基本概念§8-2等截面直桿的剛度方程§8-3無側移剛架和有側移剛架的計算§8-4位移法的基本體系§8-5對稱結構的計算2§8-1位移法的基本概念一、關于位移法的簡例只要求出結點B位移，各桿伸長變形即可求出。然后進一步可以求出桿件內力第一步，分析單桿（剛度方程）3第二步，組裝結構變形協(xié)調條件：節(jié)點平衡條件：即于是得基本未知量求出后，每根桿件的位移和軸力可求出。4上述方法既可用于超靜定結構（n>3），又可用于靜定結構（n=2）。位移法要點如下：基本未知量是結構的結點位移基本方程是平衡方程建立基本方程的過程分為兩步：a.離散結構，進行桿件分析，得出桿件的剛度方程；b.組裝結構，得到基本方程。桿件分析是結構分析的基礎。（剛度法）5二．位移法計算剛架基本思路分別分析桿AB和AC.相對于桿AB和AC,A點分別視為固定支座.桿AB和AC分別受載荷和支座位移作用.基本未知量取為A點水平線位移和轉角.6結點位移是處于關鍵地位的未知量?；舅悸罚菏紫劝褎偧懿鸪蓷U件，進行桿件分析——桿件在已知端點位移和已知荷載作用下的計算；其次把桿件組合成剛架，利用平衡條件，建立位移法基本方程，借以求出基本未知量。7§8-2等截面直桿的剛度方程一、符號規(guī)則1．桿端彎矩

規(guī)定順時針方向為正，逆時針方向為負。桿端彎矩的雙重身份：1）對桿件隔離體，桿端彎矩是外力偶，順時針方向為正，逆時針方向為負。2）若把桿件裝配成結構，桿端彎矩又成為內力，彎矩圖仍畫在受拉邊。MBAMCBABCMBC兩個問題：已知端點位移下求桿端彎矩；已知荷載作用下求固端彎矩。82．結點轉角順時針為正，逆時針為負。

桿件兩端相對側移△，其與弦轉角β

的正負號一致。而β以順時針方向為正，逆時針方向為負。3．桿件兩端相對側移BAABABCD()()Fp91.兩端固定梁二、等截面直桿的剛度方程ABEIABEIMABMBAAiBAiBABiMABMBA10由上圖可得：即為:此外，可得桿端剪力為11

以上矩陣為剛度矩陣,系數(shù)稱為剛度系數(shù),該系數(shù)只與截面尺寸和材料性質有關的常數(shù),稱為形常數(shù).以上就是彎曲桿件的剛度方程。為緊湊起見，可寫成矩陣形式122.一端固定、一端輥軸支座的梁

BAEIBAiBAi133.一端固定、一端滑動支座的梁BAEIMABMBA144.

等截面直桿只要兩端的桿端位移對應相同，則相應的桿端力也相同。

1)BAMABMBABAMABMBA152)BAMABMBABAMABMBA3)BAMABBAMAB161.兩端固定梁三、固端彎矩qABFpAB

單跨超靜定梁在荷載作用下產生的桿端彎矩稱為固端彎矩。固端彎矩以順時針方向為正，逆時針方向為負。172.一端固定、一端輥軸支座的梁ABFpBAq183.一端固定、一端滑動支座的梁各種單跨超靜定梁的固端彎矩可查教材附表。ABABFpq19在既有荷載作用，又有端點位移情況下，桿端彎矩為：桿端剪力為：20四、正確判別固端彎矩的正負號ABABqqqBABAq21§8-3無側移剛架和有側移剛架的計算一、無側移剛架的位移法求解建立位移法方程有兩種方法：1）直接利用平衡條件建立位移法方程。2）利用位移法基本體系建立位移法方程。22解:取結點角位移θB作為基本未知量（鉸支座C角位移可不選），由上節(jié)表可求各桿固端彎矩：

故各桿桿端彎矩如下（各桿的線剛度相等）：23取結點B為隔離體，列出力矩平衡方程（位移法基本方程）：代入，平衡方程寫為由此可求出基本未知量至此，位移法關鍵問題得到解決。最后可求出各桿桿端彎矩：24組裝原則：1.結點處各桿變形要協(xié)調一致，選取基本未知量時保證結點處的變形協(xié)調條件；2.裝配好的結點滿足平衡條件，由基本方程滿足。25解：令例8-3-1

用位移法求圖示剛架的M圖，各桿EI相同。1.利用平衡條件建立位移法方程ABCDE8kN/miii1）未知量：θB

θD()

()262）列出桿端彎矩表達式a)

固端彎矩ABCDE8kN/miiiib)

θB

產生桿端彎矩iABCDEiii()c)

θD

產生桿端彎矩iABCDEiii()273）建立位移法方程并求解由結點B和結點D的平衡條件可得：12MBDMBABMDBMDCMDED284）作彎矩圖將求得的θB

、θD

代入桿端彎矩表達式得：M圖(kN.m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.7329（1）在基本未知量中，要包括結點線位移；（2）在桿件計算中，要考慮線位移的影響；（3）在建立平衡方程時，要增加與結點線位移對應的平衡方程。1.基本未知量的選取只分析線位移的選?。翰缓雎暂S向變形，則平面剛架每個結點有兩個線位移，上圖各有2、3、4個結點，故分別有4、6、8個結點線位移。二、有側移剛架的位移法求解30引入假設：(1).忽略軸力產生的軸向變形；(2).結點轉角和各桿弦轉角都很微小。則盡管桿件發(fā)生彎曲變形，但桿件兩端結點之間的距離仍保持不變。31因不考慮各桿長度的改變，還可以用幾何構造分析的方法確定結點的獨立線位移的個數(shù)。把所有剛結點（包括固定支座）改為鉸結點，則此鉸結體系的自由度數(shù)就是原結構的獨立節(jié)點線位移的數(shù)目。（為了使此鉸結體系成為幾何不變而需添加的鏈桿數(shù)）322．基本方程的建立基本未知量分為剛結點角位移和獨立結點線位移兩類，與此對應，基本方程也分為兩類。如圖，基本未知量為剛結點B的轉角和柱頂?shù)乃轿灰啤?3分析各桿兩端的位移，可寫出各桿的桿端彎矩如下：34基本未知量中，每一個轉角有一個相應的節(jié)點力矩平衡方程，每一個獨立結點線位移有一個相應的截面平衡方程。平衡方程個數(shù)與基本未知量個數(shù)相等，正好求解全部基本未知量。35例8-2，求剛架彎矩圖，忽略橫梁軸向變形。解：（1）基本未知量只有一個獨立線位移，本例沒有剛結點，沒有轉角基本未知量。（2）各柱的桿端彎矩和剪力各柱線剛度為36由此知桿端彎矩為由每柱的平衡求得桿端剪力為（3）位移法方程取柱頂以上橫梁部分為隔離體，由水平方向平衡條件，得37代入可求得（4）桿端彎矩和剪力（5）根據(jù)桿端彎矩可畫出彎矩圖（6）討論剪力按剛度分配,然后求彎矩381）未知量：2kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i)例8-3-2

用位移法求圖示剛架內力圖。解：()()2）列出桿端彎矩表達式39a）固端彎矩b）θD

產生的桿端彎矩2kN/m14kNEABCDii/22iEABCDii/22i()EABCDii/22i()c）產生的桿端彎矩403）建立位移法方程并求解MDCMDAMDED由結點D平衡：B2kN/mA14kNECDFQDAMDAMADFQEBMBEDA柱：作CE梁隔離體，求柱剪力。141EB柱2kN/mA14kNECDBFQDAMDAMADFQEBMBECE梁242解方程組①、②，得4）作內力圖43EABCD1412216EABCD14383EFNEB=3kN14141433DFNDA=-17kNEABCD17FN=0344§8-4位移法基本體系1．位移法基本體系、基本結構基本未知量統(tǒng)一用表示。（1）位移法的基本體系：在剛結點B加約束控制B的轉角（不控制線位移）；在結點C加水平支桿控制結點C的水平位移。（2）基本結構：在結點B加約束使結點B不能轉動；在結點C加水平支桿使結點C不能水平移動。45（3）基本體系原結構：簡化計算，與力法措施相反，效果相同。

2．利用基本體系建立基本方程：（1）基本體系原結構的條件第一步，控制附加約束，使結點位移全部為0，剛架處于鎖住狀態(tài)，即基本結構。施加荷載，可求出基本結構中內力，同時附加約束產生約束反力（約結構沒有）；第二步，控制附加約束，使基本結構發(fā)生結點位移，這時附加約束中的約束反力將隨之改變。當結點位移與原結構實際值相等，則附加約束的約束力即完全消失，附加約束將不起作用，基本體系與原結構完全相同。46b.單位位移單獨作用——相應約束力為

基本體系轉化為原結構的條件是：基本結構在給定荷載以及給定結點位移共同作用下，附加約束中產生的總約束力等于零。即為建立位移法基本方程的條件。（2）基本方程，利用疊加原理a.荷載單獨作用——相應約束力為c.單位位移單獨作用——相應約束力為

47疊加得，即為位移法基本方程。3．計算過程（1）基本結構在荷載作用下的計算先求各桿固端彎矩，作基本結構在荷載作用下的彎矩圖取結點B為隔離體，求得“先鎖住后放松”、“先拆后搭”48495051具有n個基本未知量的問題，位移法基本方程為上式也稱為位移法典型方程。稱為結構的剛度矩陣。剛度系數(shù)，對稱矩陣，主系數(shù)大于0，副系數(shù)52§8-5對稱結構的計算

結構對稱是指結構的幾何形狀、支座條件、材料性質及各桿剛度EA、EI、GA均對稱。

利用結構對稱性簡化計算，基本思路是減少位移法的基本未知量。一、奇數(shù)跨剛架

分析與對稱軸相交截面的位移條件，在根據(jù)對稱性取半邊結構時，該截面應加上與位移條件相應的支座。1.對稱荷載53

對稱結構在對稱荷載作用下，其內力和變形均對稱。

在取半邊結構時，B截面加上滑動支座，但橫梁線剛度應加倍。

與對稱軸相交截面B的位移條件為:未知量FPFP

Bi2i1i12i2i1BC

FP54

Bii1i2ii1i2i

FP

FPii1i22iBCA未知量

FP552．反對稱荷載

對稱結構在反對稱荷載作用下，其內力和變形均反對稱。

FPi2i1BC未知量FP

FP

B

i2i1i1

i256Bi2i1i1

FP

FPB2i2i1

C未知量

FP57二、偶數(shù)跨剛架偶數(shù)跨剛架不存在與對稱軸相交的截面。1.對稱荷載

FP

FPBi2iii2i1

FPBi2i582.反對稱荷載FPBII1/2I2

將中柱改為跨度為的小跨，則原結構變?yōu)槠鏀?shù)跨。利用奇數(shù)跨結構在反對稱荷載作用下的結論就可以得到圖示簡化結果。dlFPFPBIII1I2

I2

dlFPFPBIII1/2I1/2I2

I2

FPBII1/2I2

59例8-4-1

作圖示結構M

圖。三、舉例FPi0i0i1i12i1解：

i0i0i1