北京郵電大學(xué)復(fù)變函數(shù)第六章

第六章共形映射復(fù)變函數(shù)與積分變換§6.1共形映射的概念一、解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、共形映射的概念小結(jié)與思考一、解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1.伸縮率與旋轉(zhuǎn)角yxC.yx.如圖．Cyx..yx..存在，則稱此極限值為曲線C經(jīng)函數(shù)ω=f(z)映射后在z0處的伸縮率．

定義1

當(dāng)z沿曲線C趨向于z0點(diǎn)時(shí)，如果Cyx.yx.曲線C經(jīng)函數(shù)ω=f(z)映射后在z0處的旋轉(zhuǎn)角．

定義２

設(shè)曲線C在z0處的切線傾角為，Cyx..yx.

2．伸縮率不變性結(jié)論:

方向無關(guān).所以這種映射具有伸縮率的不變性.

3．旋轉(zhuǎn)角不變性與保角性說明:旋轉(zhuǎn)角的大小與方向跟曲線C的形狀無關(guān).映射w=f(z)具有旋轉(zhuǎn)角的不變性...則有結(jié)論:的夾角在其大小和方向上都等同于經(jīng)過方向不變的性質(zhì),此性質(zhì)稱為保角性.

注意是必要的,否則保角性將不成立．綜上所述,有質(zhì):(1)伸縮率不變性；(2)保角性．定理一二、共形映射的概念

定義說明:但僅保持夾角的絕對值不變而方向相反,則稱之為第二類保角映射.由定義，定理一又可以敘述為定理二

定義

設(shè)ω=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的第一類保角映射，如果當(dāng)z1≠z2時(shí)，有f(z1)≠f(z2)（即雙方單值），則稱f(z)為共形映射．問題:關(guān)于實(shí)軸對稱的映射是第一類保角映射嗎?答案:將z

平面與

w平面重合觀察，y(v)x(u)..夾角的絕對值相同而方向相反.否.解反之放大.小結(jié)與思考熟悉解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,了解共形映射的概念及其重要性質(zhì).思考題思考題答案§6.2共形映射的

基本問題一、共形映射的基本問題二、解析函數(shù)的保域性與邊界對應(yīng)原理三、保形映射的存在唯一性一、共形映射的基本問題問題一：對于給定的區(qū)域D和定義在D上的解析函數(shù)w=f(z)，求象集G=f(D)，并討論f(z)是否將D保形地映射為G；問題二：給定兩個(gè)區(qū)域D和G，求一個(gè)解析函數(shù)w=f(z)

，使得f(z)將D保形地映射為G；問題二一般稱為基本問題，我們一般用單位圓作為一個(gè)中間區(qū)域．如下圖：二、解析函數(shù)的保域性與邊界對應(yīng)原理

定理1

(保域性定理)

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且不恒為常數(shù)，則象集合G=f(D)是區(qū)域．

定理２(邊界對應(yīng)原理)

設(shè)區(qū)域D的邊界為簡單閉曲線C，函數(shù)ω=f(z)在上解析，且將C雙方單值地映射成簡單閉曲線，當(dāng)z沿C的正向繞行時(shí)，相應(yīng)的ω的繞行方向定為的正向，并令G是以為邊界的區(qū)域，則ω=f(z)將D共形映射成G．注1解析函數(shù)把區(qū)域變成區(qū)域；注2邊界對應(yīng)確定映射函數(shù)；注3注意邊界對應(yīng)的方向性．三、保形映射的存在唯一性說明該條件的幾何解析：§6.3分式線性映射一、分式線性映射的概念二、幾種簡單的分式線性映射三、分式線性映射的性質(zhì)四、唯一決定分式線性映射的條件一、分式線性映射的概念稱為分式線性映射.說明:否則,由于那么整個(gè)z平面映射成w平面上的一點(diǎn).小知識分式線性映射的逆映射,也是分式線性映射.2)由3)分式線性映射分式線性映射可分解為整式線性映射與的復(fù)合.一個(gè)一般形式的分式線性映射是由下列四種特殊的簡單映射復(fù)合而成:例1二、幾種簡單的分式線性映射平移映射(為方便起見,令w平面與z平面重合)二、幾種簡單的分式線性映射平移映射(為方便起見,令w平面與z平面重合)旋轉(zhuǎn)映射事實(shí)上,設(shè)那么因此,把z繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)角度，相似映射設(shè)那么相似映射特點(diǎn)：對于復(fù)平面上任一點(diǎn)，保持輻角不變，而將模放大或縮小．關(guān)于橫軸對稱反演映射此映射可進(jìn)一步分解為欲由點(diǎn)z作出點(diǎn)w,可考慮如下作圖次序:關(guān)鍵:對稱點(diǎn)的定義:設(shè)C為以原點(diǎn)為中心,r為半徑的圓周.在以滿足關(guān)系式那么就稱這兩點(diǎn)為關(guān)于這圓周的對稱點(diǎn).規(guī)定:無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn)是圓心O....設(shè)P在C外,從P作C的切線PT,由T作OP的垂作圖:.故可知:.關(guān)于單位圓對稱關(guān)于實(shí)軸對稱..三、分式線性映射的性質(zhì)1.一一對應(yīng)性例如:結(jié)論:分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上一一對應(yīng).2.共形性（保形性）若規(guī)定:兩條伸向無窮遠(yuǎn)的曲線在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的交角,等于它們在映射

下所映成的通過原點(diǎn)的兩條象曲線的交角.綜上所述知:綜上所述:定理一分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是共形映射．3.保圓性所謂保圓性指在擴(kuò)充復(fù)平面上將圓周映射為圓周的性質(zhì).特殊地，直線可看作是半徑為無窮大的圓周.1)映射特點(diǎn):所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性.2)映射若z平面上圓方程為:令有代入z平面圓方程得其象曲線方程:即所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性.3)分式線性映射定理二

分式線性映射將擴(kuò)充z平面上的圓周映射成擴(kuò)充w平面上的圓周,即具有保圓性.說明:如果給定的圓周或直線上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那末它就映射成半徑為有限的圓周;有一個(gè)點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那末它就映射成直線.如果4.保對稱性對稱點(diǎn)的特性........結(jié)論充要條件是:即分式線性映射具有保對稱性.定理三證分式線性映射[證畢]四、唯一決定分式線性映射的條件含有三個(gè)獨(dú)立的常數(shù)．定理

只需給定三個(gè)條件就能決定一個(gè)分式線性映射.證依次映射成設(shè)將相異點(diǎn)由此得所以三對對應(yīng)點(diǎn)可唯一確定一個(gè)分式線性映射.將上式整理即可得到形為的分式線性映射，從而證明了存在性．重復(fù)上述步驟,仍得到相同形式的結(jié)果.唯一性：兩個(gè)典型區(qū)域間的映射...解...例1所求分式線性映射為化簡得:注意:本題中如果選取其他三對不同點(diǎn),也能得出滿足要求但不同于本題結(jié)果的分式線性映射.可見,把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不唯一,有無窮多個(gè).另解:設(shè)實(shí)軸映射成單位圓周,則所求映射具有下列形式:...由于z為實(shí)數(shù)時(shí),上半平面映為單位圓的分式線性映射的一般形式說明:解

依上題結(jié)論得例2從而所求映射為解...例3因此可設(shè)所求分式線性映射為:故所求分式線性映射為:將單位圓映為單位圓的常用映射．例4

解依上題結(jié)論得所以所求映射為分析..上半平面單位圓域圓域例5伸長平移解如圖示..則所求映射為:...另解如圖示:.....于是所求的映射為小結(jié)分式線性映射是共形映射的一個(gè)重要內(nèi)容,應(yīng)熟練掌握并會(huì)應(yīng)用分式線性映射的各種性質(zhì)尋找一些簡單而典型的區(qū)域之間的共形映射；掌握上半平面到上半平面,上半平面到單位圓,單位圓到單位圓的分式線性映射.小知識分式線性映射首先由德國數(shù)學(xué)家默比烏斯(1790~1868)研究,所以也稱為默比烏斯映射.對每一個(gè)固定的w,此式關(guān)于z是線性的;對每一個(gè)固定的z,此式關(guān)于w也是線性的,因此稱上式是雙線性的.分式線性映射也稱雙線性映射.默比烏斯默比烏斯資料AugustM?biusBorn:17Nov1790inSchulpforta,Saxony(nowGermany)

Died:26Sept1868inLeipzig,Germany§6.4幾個(gè)初等函數(shù)

構(gòu)成的共形映射一、冪函數(shù)二、指數(shù)函數(shù)小結(jié)與思考一、冪函數(shù)則:1)(特殊地:單位圓周映射為單位圓周)2)))特殊地:)上岸0沿正實(shí)軸剪開的w平面下岸映射特點(diǎn):把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域,但張角變成為原來的n倍.

因此將角形域的張角拉大（或縮?。r(shí)，就可利用冪函數(shù)

所構(gòu)成的共形映射.)??如果要把角形域映射成角形域，常利用冪函數(shù).例1解)因此所求映射為:?....解例２00個(gè)映射.0??例３0解0實(shí)現(xiàn)此步的映射是分式線性函數(shù):00.000000.0因此所求映射為:二、指數(shù)函數(shù)001)002)0000特殊地:??映射特點(diǎn):如果要