CAP線性代數第一章空間與向量

CAP線性代數第一章空間與向量衡水中學姜宗帥什么是線性代數？已經學過：一元一次方程函數（變換）進一步研究方向：多元高次（非線性）線性代數主要研究：

n元線性方程組、n維向量空間上的線性變換數------向量系數------系數矩陣（運算）研究方法：具體------抽象三維幾何空間------n維向量空間

本章基本內容介紹（1）向量及其線性運算（2）向量的乘法運算（3）平面的方程（4）直線的方程（5）位置關系、夾角與距離第1節(jié)向量及其線性運算一、向量的概念在數學中常用帶方向的線段來表示向量.具有大小和方向的量叫向量或矢量.如速度,力,加速度等.向量的大小叫向量的模.向量的模記為自由向量:與起點無關的向量叫作自由向量.(即可以平行移動)單位向量:模等于1的向量稱為單位向量.反向量(或負向量):與向量大小相等,方向相反的向量叫做的反向量,記為.零向量:模等于0的向量稱為零向量.記為.零向量沒有確定的方向,也可以說方向任意.相等向量:兩個向量與,它們平行、同向且模相等,稱為相等向量.記作.二、向量線性運算向量加法的平行四邊形法則向量加法的三角形法則向量的加法滿足交換律和結合律向量的減法

向量

與

的和向量為

,則向量

定義為

與

的差(向量),記為

.向量與數的乘法(數乘)

設是一實數,向量與的乘積定義為一個向量,該向量的大小和方向按如下方向確定:向量與數的乘法滿足下列性質:(,為實數)(結合律)(分配律)(分配律)

兩個非零向量

與

平行(共線)的充要條件是存在確定的實數

,使得

.與非零向量

同向的單位向量為

當=-1時,是與

大小相等、方向相反的向量,稱為

的反向量,記作.三、向量的分解與投影以分別表示沿x軸,y軸,z軸正向的單位向量,并稱它們?yōu)檫@一坐標系的一組基向量.

1.向量的坐標2.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸的夾角.與三坐標軸的夾角

,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作方向余弦的性質:例1.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量例2.設點A

位于第一卦限,解:已知角依次為求點A

的坐標.則因點A

在第一卦限,故于是故點A

的坐標為向徑OA

與x

軸y軸的夾3.向量在軸上的投影16空間一點在軸上的投影17空間一向量在軸上的投影18關于向量的投影性質(1)證20兩個向量的和在軸上的投影等于這兩個向量在該軸上的投影之和.

關于向量的投影性質(2)（可推廣到多個向量）關于向量的投影性質(3)

實際上，向量的投影就是一類重要的線性變換，保持向量的加法和數乘運算.注意：區(qū)別投影和投影向量

第2節(jié)向量的乘法運算一、向量的內積定義內積滿足下列性質:兩向量的內積等于它們對應坐標的乘積之和.兩個非零向量互相垂直的充要條件是兩個非零向量的夾角的余弦公式例1解例2解定義注意：外積也稱為“叉乘積”“向量積”二、向量的外積//由外積的定義可得：想一想，為什么？外積的幾何意義：?外積的幾何意義2(a)(b)aOb????a’a×baOb??－??a’a×b??外積滿足下列運算規(guī)律：（1）反交換律

（3）分配律：（2）若為任意實數想一想，為什么？直角坐標系下外積的坐標表達式o

外積的坐標表達式很難記憶！怎么辦？一般基底下，向量的外積解解三角形ABC的面積為解三.向量的混合積2.混合積的性質此性質非常重要！3.用直角坐標計算混合積分析:解例2例3.已知不共面的四個點O(0,0,0),A(2,3,1),B(4,5,1)C(1,2,3),求以OA,OB,OC為棱所構成的四面體體積.解討論：內容小結設1.向量運算加減:數乘:內積:外積:混合積:2.向量關系:第3節(jié)平面及其方程一、平面的點法式方程垂直于平面的非零向量叫做平面的法向量.根據平面的點法式方程,得所求平面的方程為

(x-2)-2(y+3)+3z=0

x-2y+3z-8=0.求過點(2,-3,0)及法向量=(1,-2,3)的平面方程.例1解二、平面的一般式方程因為平面過原點,所以將x=y=z=0代入平面的一般方程,得D=0,故過原點的平面方程為

Ax+By+Cz=0(1)過原點的平面方程(2)平行于坐標軸的平面方程如果平行于x軸,則平面的法向量=(A,B,C)與x軸的單位向量=(1,0,0)垂直,故,即

A1+B0+C0=0所以A=0.由此得平行于x軸的平面方程為

By+Cz+D=0類似有:平行于y軸的平面方程為Ax+Cz+D=0平行于z軸的平面方程為Ax+By+D=0因為過坐標軸的方程必過原點,且與該坐標軸平行,所以可得過x軸的平面方程為:

By+Cz=0類似地過y軸的平面方程為：Ax+Cz=0過z軸的平面方程為：Ax+By=0(3)過坐標軸的平面方程如果平面垂直于z

軸,則法向量可以取與z平行的任一組非零向量(0,0,C),則平面方程為

Cz+D=0.類似有垂直于x軸的平面方程為Ax+D=0垂直于y軸的平面方程為

By+D=0(4)垂直于坐標軸的平面方程例2解指出下列平面的位置特點，并作出圖形:(1)x+y=4;(2)z=2.(1)式中不含z,所以平面平行于z軸.(2)z=2表示過點(0,0,2)且垂直于z軸的平面例3解定理

設兩個平面于一條直線，則以為軸的同軸平面束的方程是

中是不全為零的任意實數.(*)交其

我們把空間中過同一條直線的一切平面的集合叫做同軸平面束，叫做平面束的軸.

三、同軸平面束

又因與的交點坐標既滿足平面的方程,又滿足平面的方程,因此必滿足方程(*).于是，(*)式總代表過直線的平面.

事實上,將(*)式可改寫為

此(*)式是一個三元一次方程,它表示一平面.其中否則便有不能全為零，這與和是二相交平面的假設相矛盾,因

證明(1)對于的任意兩個不同時為零的值,(*)式表示一個過直線的平面.取即可.

設在平面上任取點使其不在軸上，那么(*)式表示的平面要過點的條件是即要求

,故因不全為0,(2）對于過直線的任意一個平面,都可以選取適當的值，使得的方程具有(*)式的形式.例4求過點P(-1，0，1)，且經過兩個平面x+3y-z=0和x-y+z+1=0的交線的平面的方程.解3x+y+z+2=0四、平面小結：[1]平面的點法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程[4]同軸平面束空間直線可看成兩平面的交線.該式稱為空間直線的一般式方程L注(2)直線L的一般方程形式不是唯一的.(1)第4節(jié)直線及其方程一、空間直線的一般式方程二、空間直線的點向式方程和參數式方程

與已知直線平行的非零向量叫做這條直線的方向向量.從而有:叫做直線的點向式方程或對稱式方程.直線的對稱式方程與參數式方程

很容易互相轉化注意：此處允許分母為0如何將直線的對稱式方程化成一般式方程？當m,n,p均不為0時？例1解例2解-72-解設所求直線的方向向量為根據題意知取所求直線的方程例3求過點且與兩平面和的交線平行的直線方程.-73-例4求直線在平面上的投影直線方程。解所求直線在與已知平面垂直的平面上，和已知平面垂直，過已知直線且與已知平面垂直的平面方程，首先求過已知直線的平面束方程為即-74-所求直線方程為因此第5節(jié)位置關系、夾角與距離一、兩平面的位置關系二、直線與平面的位置關系則三、直線與直線的位置關系例1設兩條直線分別為對r和t加以討論，分析兩條直線在空間中的位置關系.四、夾角例1解到直線的距離為

點d

解法一求出的一個方向向量記的方向向量為又點依題意，與相交必共面,因此混合積因為與平行，所以有于是有又聯立上述兩個方程解得.因此