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2021-2022學(xué)年河南省鄭州市上街區(qū)上街實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1.設(shè)x∈R,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義結(jié)合集合的包含關(guān)系可解.【詳解】設(shè)p:若,則,q:若,則;則q表示的集合是p表示的集合真子集,即是必要不充分條件,故選:B.2.若正數(shù)a,b滿足,則的最小值為()A.16 B.13 C.20 D.15【答案】A【分析】根據(jù),再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)a,b滿足,則,當(dāng)且僅當(dāng)且,即,時(shí)取等號(hào),此時(shí)取得最小值16.故選:A.3.若對(duì)于一切實(shí)數(shù)不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【分析】,不等式恒成立無實(shí)數(shù)根,利用判別式小于零可得答案.【詳解】∵對(duì)于一切實(shí)數(shù)不等式恒成立,∴二次函數(shù)的圖象在軸上方,∴無實(shí)數(shù)根,∴,解得,故選:A.4.一個(gè)半徑為4的扇形,其弧長(zhǎng)為1,則該扇形的圓心角的弧度數(shù)為(
)A. B. C. D.2【答案】C【分析】利用扇形的弧長(zhǎng)公式,列出方程,即可求解.【詳解】設(shè)該扇形的圓心角的弧度數(shù)為,因?yàn)樯刃嗡诎霃綖?的扇形,其弧長(zhǎng)為1,可得,解得.故選:C.5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A. B.C. D.【答案】D【詳解】由>0得:x∈(?∞,?2)∪(4,+∞),令t=,則y=lnt,∵x∈(?∞,?2)時(shí),t=為減函數(shù);x∈(4,+∞)時(shí),t=為增函數(shù);y=lnt為增函數(shù),故函數(shù)f(x)=ln()的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞),故選D.點(diǎn)睛:形如的函數(shù)為,的復(fù)合函數(shù),為內(nèi)層函數(shù),為外層函數(shù).當(dāng)內(nèi)層函數(shù)單增,外層函數(shù)單增時(shí),函數(shù)也單增;當(dāng)內(nèi)層函數(shù)單增,外層函數(shù)單減時(shí),函數(shù)也單減;當(dāng)內(nèi)層函數(shù)單減,外層函數(shù)單增時(shí),函數(shù)也單減;當(dāng)內(nèi)層函數(shù)單減,外層函數(shù)單減時(shí),函數(shù)也單增.簡(jiǎn)稱為“同增異減”.6.函數(shù)(且)的圖像恒過定點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】令對(duì)數(shù)的真數(shù)等于,求得的值,可得它的圖像恒過定點(diǎn)的坐標(biāo),即可求得答案.【詳解】函數(shù),(且).令,解得當(dāng),函數(shù)(且)的圖像恒過定點(diǎn).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過定點(diǎn)問題,解題關(guān)鍵是掌握對(duì)數(shù)函數(shù)定義和函數(shù)過定點(diǎn)的解法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7.命題“”的否定是()A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即得.【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題可得,所以命題“”的否定是.故選:A.8.若角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊過點(diǎn),則(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出,,從而代入計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)榻堑氖歼吪c軸的非負(fù)半軸重合,終邊過點(diǎn),所以,,所以故選:A9.下列函數(shù)定義域?yàn)榍以诙x域內(nèi)單調(diào)遞增的是A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的定義域以及單調(diào)性,即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A,,為指數(shù)函數(shù),其定義域?yàn)镽,不符合題意;對(duì)于B,,為對(duì)數(shù)函數(shù),定義域?yàn)榍以诙x域內(nèi)單調(diào)遞增,符合題意;對(duì)于C,,其定義域?yàn)?,不符合題意;對(duì)于D,,為對(duì)數(shù)函數(shù),定義域?yàn)榍以诙x域內(nèi)單調(diào)遞減,不符合題意;故選B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域以及單調(diào)性的判定,涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.10.已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對(duì)應(yīng)值表:12346.12.93.51那么函數(shù)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】利用函數(shù)零點(diǎn)的存在定理進(jìn)行函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷,關(guān)鍵要判斷函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào),如果端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào),則函數(shù)在該區(qū)間有零點(diǎn).【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù),且,,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在定理可知故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法,關(guān)鍵要弄準(zhǔn)函數(shù)零點(diǎn)的存在定理,把握好函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào),屬于基礎(chǔ)題.11.已知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】解:若在R上為增函數(shù),則滿足,即,得,得,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選:D.12.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和分式的意義計(jì)算即可.【詳解】由題意知,,解得且,所以函數(shù)的定義域?yàn)?,故選:C13.與為同一函數(shù)的是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)定義域和對(duì)應(yīng)法則,逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A,函數(shù)與的對(duì)應(yīng)法則不同,所以兩函數(shù)不是同一函數(shù),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,函數(shù),與函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則相同,且定義域均為R,所以兩函數(shù)為同一函數(shù),故B正確;對(duì)于C,函數(shù)的定義域?yàn)?,的定義域?yàn)镽,兩函數(shù)定義域不同,不是同一函數(shù),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,函數(shù)的定義域?yàn)?,的定義域?yàn)镽,兩函數(shù)定義域不同,不是同一函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選:B.14.已知,,,則,,的大小關(guān)系為(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,即可得解.【詳解】由題意,,,,所以.故選:B.15.=()A.﹣38 B.﹣37 C.﹣39 D.﹣40【答案】B【分析】由已知結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】.故選:B.16.若,,則等于A. B. C. D.【答案】C【詳解】,故選C.點(diǎn)睛:在三角化簡(jiǎn)求值類題目中,常??肌敖o值求值”的問題,遇見這類題目一般的方法為——配湊角:即將要求的式子通過配湊,得到與已知角的關(guān)系,進(jìn)而用兩角和差的公式展開求值即可.二、解答題17.已知不等式的解集為集合,集合.(1)若,求;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)或【分析】(1)可得出時(shí),可得出集合,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可;(2)根據(jù),并且即可得出或,從而可得出的取值范圍.【詳解】(1)時(shí),解得,,且,∴;(2)由解得,,,且,或,或,∴實(shí)數(shù)的取值范圍為或.18.已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)用函數(shù)單調(diào)性定義證明是上的增函數(shù).【答案】(1);(2)證明見解析.【分析】(1)f(x)是R上奇函數(shù),則f(0)=0,或根據(jù)求解m;(2)分離常數(shù)化簡(jiǎn)f(x)解析式,用定義法研究其單調(diào)性即可.【詳解】(1)∵函數(shù)是奇函數(shù),∴,,,即,.(2),設(shè),則,∴.,∴,∴.∴,函數(shù)在上單調(diào)遞增.19.已知函數(shù)(且).(1)求函數(shù)的定義域;(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由;(3)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值.【答案】(1);(2)偶函數(shù),理由見解析;(3).【分析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零可得出關(guān)于的不等式組,由此可解得函數(shù)的定義域;(2)判斷出函數(shù)為偶函數(shù),再利用偶函數(shù)的定義可說明結(jié)論成立;(3)利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的最大值.【詳解】(1)解:對(duì)于函數(shù),有,解得,故函數(shù)的定義域?yàn)?(2)解:函數(shù)為偶函數(shù),理由如下:函數(shù)的定義域?yàn)?,且,因此,函?shù)為偶函數(shù).(3)解:當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,則,且函數(shù)為增函數(shù),故,即函數(shù)的最大值為.20.已知函數(shù)的最大值為1,且圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為,求:(1)和的值;(2)當(dāng),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】(1)由題意,利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出和的值;(2)由題意可知,利用整體代入即可得出正弦函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】(1)由得所以,函數(shù)的最大值為,得;即函數(shù);又因?yàn)閳D象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為,所以,,即.(2)對(duì)于函數(shù),令,得,可得函數(shù)的增區(qū)間為;故當(dāng)時(shí),函數(shù)的增區(qū)間為.21.已知函數(shù)的部分圖象如圖.(1)求函數(shù)的解析式;(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,縱坐標(biāo)不變,再將所得圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,當(dāng)時(shí),求值域.【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)圖象由函數(shù)最值求得,由函數(shù)周期求得,由特殊點(diǎn)求得,即可求得解析式;(2)根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求得的解析式,再利用整體法求函數(shù)值域即可.【詳解】(1)由圖象可知,的最大值為,最小值為,又,故,
周期,,,則,從而,代入點(diǎn),得,則,,即,,又,則..(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變,故可得;再將所得圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象故可得;,,,.22.已知函數(shù)(其中),若點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心.(1)求的解析式,并求距軸最近的一條對(duì)稱軸的方程;(2)先列表,再作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.【答案】(1),函數(shù)的圖象距軸最近的一條對(duì)稱軸的方程為;(2)答案見解析.【分析】(1
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