2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期診斷性評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高二上學(xué)期診斷性評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．橢圓的焦距是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程直接求解即可.【詳解】由得：，解得：，焦距為.故選：A.2．直線經(jīng)過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令求解.【詳解】解：令，得，此時(shí)，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，故選：D3．已知以點(diǎn)A(2，－3)為圓心，半徑長(zhǎng)等于5的圓O，則點(diǎn)M(5，－7)與圓O的位置關(guān)系是()A．在圓內(nèi) B．在圓上C．在圓外 D．無法判斷【答案】B【詳解】因?yàn)?所以點(diǎn)M在圓上，選B.4．“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)，則且或且，此時(shí)方程表示的曲線一定為雙曲線；則充分性成立；若方程表示的曲線為雙曲線，則，則必要性成立，故選：.5．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A在橢圓上，點(diǎn)B在的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)B的軌跡是（

）A．兩條平行線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓【答案】D【分析】結(jié)合橢圓和圓的定義求得正確答案.【詳解】根據(jù)橢圓的定義可知，由于，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.故選：D6．直線與直線垂直，則的值是A．－1或 B．1或 C．－或－1 D．－或1【答案】D【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以故選D.7．過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，作傾斜角為45°的直線，則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為()A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)為F（2，0），直線的斜率k=tan45°=1，從而得到直線的方程為y=x﹣2．直線方程與拋物線方程聯(lián)解消去y得x2﹣12x+4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=12，再根據(jù)拋物線的定義加以計(jì)算，即可得到直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)．【詳解】∵拋物線方程為y2=8x，2p=8，=2，∴拋物線的焦點(diǎn)是F（2，0）．∵直線的傾斜角為45°，∴直線斜率為k=tan45°=1可得直線方程為：y=1×（x﹣2），即y=x﹣2．設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)解，消去y得x2﹣12x+4=0，∴x1+x2=12，根據(jù)拋物線的定義，可得|AF|=x1+=x1+2，|BF|=x2+=x2+2，∴|AB|=x1+x2+4=12+4=16，即直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為16．故選B．【點(diǎn)睛】本題給出經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線傾斜角為45°，求直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)．著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．8．過定點(diǎn)作圓的切線．則切線的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得切線方程，【詳解】依題意可知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，即，圓的圓心為，半徑為，所以，解得或，所以切線方程為或，即或.故選：C9．已知雙曲線過點(diǎn)且漸近線為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的方程為 B．雙曲線的離心率為C．曲線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn) D．直線與雙曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得雙曲線方程，進(jìn)而逐項(xiàng)求解判斷即可.【詳解】由題意設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入解得，所以雙曲線方程為，A正確；因?yàn)?，，所以，，B錯(cuò)誤；因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，代入均不滿足，C錯(cuò)誤；聯(lián)立得，，所以直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，D錯(cuò)誤；故選：A10．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若在右支上存在點(diǎn)A，使得點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線離心率e的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，其中，設(shè)直線方程為，其中利用點(diǎn)到直線的距離為，得到關(guān)于表達(dá)式，再利用可得答案.【詳解】設(shè)，，其中，設(shè)直線方程為，則.因點(diǎn)到直線的距離為，則則，則.故選：D二、填空題11．直線的傾斜角是__________．【答案】【分析】根據(jù)斜率和傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系確定正確答案.【詳解】直線的斜率為，傾斜角范圍是[0,π），所以傾斜角為.故答案為：12．拋物線的準(zhǔn)線方程為________．【答案】【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為；故填.13．圓的圓心到直線的距離是____________．【答案】【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】由圓有圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心為，則到直線的距離為：，故答案為：.14．已知雙曲線M滿足以下條件：①離心率為2；②焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；③對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸．則滿足上述條件的雙曲線M的一個(gè)方程是____________．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)條件寫出一個(gè)雙曲線方程即可.【詳解】由雙曲線中，故離心率為2，且焦點(diǎn)在x軸上，曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，所以雙曲線滿足題設(shè).故答案為：（答案不唯一）15．已知點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①；②圓C的圓心為；③圓C的半徑為25；④點(diǎn)也是圓C上一點(diǎn)．其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________．【答案】①②④【分析】利用點(diǎn)坐標(biāo)求得，進(jìn)而確定正確答案.【詳解】由于點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，所以，①正確，圓的方程為，即，故圓心為，半徑為，②正確，③錯(cuò)誤.，所以點(diǎn)也是圓C上一點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④三、雙空題16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)為．且．雙曲線和橢圓有相同焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，若．則_________，________．【答案】

【分析】根據(jù)可得，，由此可得；假設(shè)在第一象限，由求出，，根據(jù)余弦定理得，將，代入可得，再根據(jù)離心率公式可求出結(jié)果.【詳解】在橢圓中，因?yàn)樯享旤c(diǎn)為．且，所以，所以，所以，所以.設(shè)雙曲線方程為，假設(shè)點(diǎn)在第一象限，則由得，，在中，由余弦定理得，所以，整理得，得，所以，所以，解得.故答案為：；.四、解答題17．已知的邊AC，AB上的高所在直線方程分別為﹐頂點(diǎn)．(1)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求BC邊所在的直線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的邊AC的高所在直線方程為和頂點(diǎn)，得到直線AC的方程，與的邊AB上的高所在直線方程聯(lián)立求解；（2）利用（1）的方法，再求得頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式寫出直線AB所在的直線方程.【詳解】（1）解：因?yàn)榈倪匒C的高所在直線方程為，所以﹐又頂點(diǎn)，所以直線AC的方程為，即，又的邊AB上的高所在直線方程為，由，解得，所以頂點(diǎn)；（2）由的邊AB上的高所在直線方程為，得﹐又頂點(diǎn)，所以直線AB的方程為，即，又的邊AC的高所在直線方程分別為，由，解得，所以頂點(diǎn)；所以BC邊所在的直線方程，即．18．已知圓，點(diǎn)．P是圓C上的任意一點(diǎn)．(1)求圓C的圓心坐標(biāo)與半徑大小；(2)求的最大值與最小值．【答案】(1)圓心為，半徑(2)最大值、最小值分別為16、8.【分析】（1）寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可確定圓心和半徑；（2）設(shè)，則有，問題轉(zhuǎn)化為求的范圍，即圓上點(diǎn)到原點(diǎn)O距離平方的范圍，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題設(shè)，故圓心為，半徑；（2）令，則，而為圓上點(diǎn)到原點(diǎn)O距離的平方，所以，只需確定的范圍，即可確定的最值，因?yàn)?，故，所以的最大值、最小值分別為16、8.19．圓過點(diǎn)A(1，－2)，B(－1，4)，求：（1）周長(zhǎng)最小的圓的方程；（2）圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程．【答案】（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.【分析】（1）根據(jù)當(dāng)AB為直徑時(shí)，過A，B的圓的半徑最小進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)垂徑定理，通過解方程組求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可以求出圓的方程.【詳解】解：（1）當(dāng)AB為直徑時(shí)，過A，B的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小，即AB中點(diǎn)(0，1)為圓心，半徑r＝|AB|＝.故圓的方程為x2＋(y－1)2＝10；（2）由于AB的斜率為k＝－3，則AB的垂直平分線的斜率為，AB的垂直平分線的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.由解得即圓心坐標(biāo)是C(3，2)．又r＝|AC|＝＝2.所以圓的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.20．已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，焦點(diǎn)F在y軸正半軸，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，且．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F，求直線l的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)，得，再根據(jù)焦半徑公式求，即可求拋物線方程；（2）首先設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求，即可求拋物線方程.【詳解】（1）設(shè)拋物線方程，，，由條件可知，，，得，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（2）由（1）可知，直線的斜率存在，且焦點(diǎn)，設(shè)直線，聯(lián)立，得，得，所以直線l的方程是.21．已知橢圓過點(diǎn)．離心率為，右焦點(diǎn)為﹐過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為﹒(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)由題意，列關(guān)于的方程組求解，即可得橢圓的方程；（2）討論直線與軸重合以及垂直的情況可得，然后討論直線與軸不重合也不垂直的情況，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，寫出韋達(dá)定理，表示出直線和直線的斜率之和，從而代入韋達(dá)定理計(jì)算，可得，從而得直線和直線的傾斜角互補(bǔ)，即可證明.【詳解】（1）由題意，列式得，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線為的垂直平分線，所以.當(dāng)直線與軸