山西省運城市北景中學2022年高三數(shù)學理月考試卷含解析

山西省運城市北景中學2022年高三數(shù)學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.甲、乙兩位同學在5次考試中的數(shù)學成績用莖葉圖表示如圖，中間一列的數(shù)字表示數(shù)學成績的十位數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示數(shù)學成績的個位數(shù)字．若甲、乙兩人的平均成績分別是、，則下列說法正確的是（）A．＜，甲比乙成績穩(wěn)定 B．＜，乙比甲成績穩(wěn)定C．＞，甲比乙成績穩(wěn)定 D．＞，乙比甲成績穩(wěn)定參考答案：B考點：莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．專題：概率與統(tǒng)計．分析：由莖葉圖可得原式數(shù)據(jù)，可得各自的平均值和方差，比較可得結(jié)論．解答：解：由題意可知甲的成績?yōu)椋?2，77，78，86，92，乙的成績?yōu)椋?8，88，88，90，91，∴=（72+77+78+86+92）=81，=（78+88+88+90+91）=87，=[（72﹣81）2+（77﹣81）2+（78﹣81）2+（86﹣81）2+（92﹣81）2]≈7.94，=[（78﹣87）2+（88﹣87）2+（88﹣87）2+（90﹣87）2+（91﹣87）2]≈5.20，∴＜，且＜，乙比甲成績穩(wěn)定．故選：B點評：本題考查莖葉圖，考查平均值和方差，屬基礎(chǔ)題2.下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.已知隨機變量服從正態(tài)分布N(M,4)，且P(＜)+P(≤0)=1，則M=（

）

A.

B.2

C.1

D.參考答案：D4.邊長為的三角形的最大角與最小角的和是（）

A．B．C．D．

參考答案：B邊7對角為，則由余弦定理可知，所以，所以最大角與最小角的和為，選B.5.記，則的值為A.1 B.2 C.129 D.2188參考答案：C【詳解】中，令，得.∵展開式中∴故選C.點睛：二項式通項與展開式的應用：(1)通項的應用：利用二項展開式的通項可求指定項或指定項的系數(shù)等.(2)展開式的應用：①可求解與二項式系數(shù)有關(guān)的求值，常采用賦值法.②可證明整除問題(或求余數(shù)).關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項式，并將它展開進行分析判斷.③有關(guān)組合式的求值證明，常采用構(gòu)造法.6.如圖所示，在邊長為1的正方形中任取一點，則點恰好取自陰影部分的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.在函數(shù)，，，偶函數(shù)的個數(shù)是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B，是奇函數(shù),和是偶函數(shù)，是非奇非偶函數(shù)8.和直線軸對稱的直線方程為

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：A9.設(shè)雙曲線的離心率，右焦點，方程的兩個根分別為，，則點在

A．圓內(nèi)

B．圓上C．圓外

D．以上三種情況都有可能參考答案：A10.命題“，≥恒成立”的否定是（

）A．，<恒成立；

B．，≤恒成立；C．，≥成立；

D．，<恒成立.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.執(zhí)行右面的框圖，若輸出結(jié)果為，則輸入的實數(shù)的值是

參考答案：12.在△ABC中，AB=BC=2，AC=3，設(shè)O是△ABC的內(nèi)心，若=p+q，則的值為．參考答案：【考點】9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】在兩邊分別同乘以向量，從而得到，．畫出圖形并取AC邊的中點D，O在BD上，所以，由余弦定理可求得cos∠BAC=，這樣進行數(shù)量積的計算即可得到關(guān)于p，q的兩個方程，解方程組即可求出p，q，從而求出．【解答】解：如圖，O為△ABC的內(nèi)心，D為AC中點，則：O在線段BD上；cos∠DAO=，根據(jù)余弦定理：cos∠BAC=；由得：；∴=；∴①；同理；∴可以得到②；∴①②聯(lián)立可求得；∴．故答案為：．13.如果隨機變量，且，則＝

．參考答案：根據(jù)對稱性可知，所以。14.若有窮數(shù)列滿足，就稱該數(shù)列為“相鄰等和數(shù)列”，已知各項都為正整數(shù)的數(shù)列{an}是項數(shù)為8的“相鄰等和數(shù)列”，且，則滿足條件的數(shù)列{an}有

個．參考答案：4設(shè)，由題意知，，，.∵數(shù)列各項都為正整數(shù)，∴，則滿足條件的數(shù)列有4個.15.已知是拋物線的焦點，過且斜率為的直線交于兩點．設(shè)<,若，則λ的值為

．參考答案：16.

（1）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖像在x=x0處的切線平行，求x0的值

（2）當曲線有公共切線時，求函數(shù)上的最值

（3）求證：當m＞－2時，對一切正整數(shù)n，不等式f（x）＞g（x）在區(qū)間[n，n＋1]上恒成立

參考答案：解：（1），，則，即解得，或（舍去）（2）由（1）得切點橫坐標為，∴，∴∴，，令，則－0＋↘極小值↗與的變化如下表

又∵，，∴，（3）函數(shù)＝－在區(qū)間上是增函數(shù)，且，∴當x≥1時，≥即＞在區(qū)間[1，＋∞）上恒成立∴原命題成立．17.在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a∈R），曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），設(shè)直線l與曲線C交于A、B兩點，當弦長|AB|最短時，直線l的普通方程為

．參考答案：x+y﹣4=0【考點】直線的參數(shù)方程．【分析】普通方程為y﹣1=a（x﹣3），過定點P（3，1），當弦長|AB|最短時，CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，即可得出結(jié)論．【解答】解：直線l的參數(shù)方程為，普通方程為y﹣1=a（x﹣3），過定點P（3，1）曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），普通方程為（x﹣2）2+y2=4，當弦長|AB|最短時，CP⊥AB，∵kCP==1，kAB=﹣1∴直線l的普通方程為x+y﹣4=0，故答案為：x+y﹣4=0．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某公司準備將1000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個建設(shè)項目選擇，若投資甲項目一年后可獲得的利潤ξ1（萬元）的概率分布列如表所示：ξ1110120170Pm0.4n且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投資乙項目一年后可獲得的利潤ξ2（萬元）與該項目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進行產(chǎn)品的價格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨立且調(diào)整的概率分別為p（0＜p＜1）和1﹣p．若乙項目產(chǎn)品價格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X（次數(shù)）與ξ2的關(guān)系如表所示：X012ξ241.2117.6204.0（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求ξ2的分布列；（Ⅲ）若該公司投資乙項目一年后能獲得較多的利潤，求p的取值范圍．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的性質(zhì)列出方程組，能求出m，n的值．（Ⅱ）ξ2的可能取值為41.2，117.6，204，分雖求出相應的概率，由此能求出ξ2的分布列．（Ⅲ）求出可得E（ξ2），由于該公司投資乙項目一年后能獲得較多的利潤，從而E（ξ2）＞E（ξ1），由此能求出p的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題意得，解得m=0.5，n=0.1．（Ⅱ）ξ2的可能取值為41.2，117.6，204，P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（1﹣p），，P（ξ2=204）=p（1﹣p），所以ξ2的分布列為：ξ241.2117.6204Pp（1﹣p）p2+（1﹣p）2p（1﹣p）（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，由于該公司投資乙項目一年后能獲得較多的利潤，所以E（ξ2）＞E（ξ1），所以﹣10p2+10p+117.6＞120，解得0.4＜p＜0.6，所以p的取值范圍是（0.4，0.6）．19.（12分）某企業(yè)投資甲、乙兩個項目的利潤率分別為隨機變量和．根據(jù)市場調(diào)查，和的分布列分別為5%10%2%8%12%P0.80.2P0.20.50.3（1）在甲、乙兩個項目上各投資100萬元，和分別表示投資項目甲和乙所獲得的利潤，求方差，；

（2）將萬元投資甲項目，萬元投資乙項目，表示投資甲項目所得利潤的方差與投資乙項目所得利潤的方差的和．求的最小值．（注：）參考答案：解析：（1）由題設(shè)可知和的分布列分別為

-510P0.80.2

-2812P0.20.50.3

，，，．

6分（2），當時，為最小值．

12分20.已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函數(shù)g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)g（x）的極小值；（III）設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于兩A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），證明：＜k＜．參考答案：【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，根據(jù)切線方程求出a的值即可；（Ⅱ）求出g（x）的導數(shù)，得到函數(shù)g（x）的導數(shù)，從而求出函數(shù)g（x）的極小值即可；（Ⅲ）法一：表示出k，問題轉(zhuǎn)化為即證，令（t＞1），即證（t＞1），令k（t）=lnt﹣t+1（t＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；法二：依題意得，令h（x）=lnx﹣kx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：（Ⅰ）依題意得g（x）=lnx+ax2﹣3x，則由函數(shù)g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸得：g'（1）=1+2a﹣3=0∴a=1（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得=∵函數(shù)g（x）的定義域為（0，+∞），令g'（x）=0得或x=1函數(shù)g（x）在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故函數(shù)g（x）的極小值為g（1）=﹣2（8分）（III）證法一：依題意得，要證，即證因x2﹣x1＞0，即證令（t＞1），即證（t＞1）（9分）令k（t）=lnt﹣t+1（t＞1）則∴k（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，（10分）∴k（t）＜k（1）=0即lnt﹣t+1＜0，∴l(xiāng)nt＜t﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①令（t＞1）則＞0∴h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，（11分）∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②綜①②得（t＞1），即．（12分）證法二：依題意得，令h（x）=lnx﹣kx，則，由h'（x）=0得，當時，h'（x）＜0，當時，h'（x）＞0，∴h（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又h（x1）=h（x2），∴，即（12分）【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題、考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．21.（本小題滿分16分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)有三個極值點，求的取值范圍；（2）若依次在處取到極值，且，求的零點；（3）若存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立，試求正整數(shù)的最大值.參考答案：（1）①∵有3個極值點，∴有3個不同的根，

--------2分令，則，從而函數(shù)在，上遞增，在上遞減.∵有3個零點，∴，∴.

-----------------4分（2）是的三個極值點∴----6分∴，∴或（舍∵）∴，

所以，的零點分別為，1，.

-------------------10分（3）不等式，等價于，即.轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.即不等式在上恒成立.即不等式