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山西省運(yùn)城市華夏中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)x,y滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,則的最小值為()A.4
B. C.1
D.2參考答案:A2.已知集合A,B,C滿足A∪B={a,b,c},則滿足條件的組合(A,B)共有()組.A.4 B.8 C.9 D.27參考答案:D【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算.【分析】根據(jù)當(dāng)A=?,A={a},A=,A={c},A={a,b},A={a,c},A={b,c},A={a,b,c}等種情況分類討論,能求出滿足條件的組合(A,B)共有多少組.【解答】解:∵集合A,B,C滿足A∪B={a,b,c},∴當(dāng)A=?時(shí),B={a,b,c};當(dāng)A={a}時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{b,c};當(dāng)A=時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{a,c};當(dāng)A={c}時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{a,b};當(dāng)A={a,b}時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{a,c},{b,c},{c};當(dāng)A={a,c}時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{a,b},{b,c},;當(dāng)A={b,c}時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{a,c},{a,b},{a};當(dāng)A={a,b,c}時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{a,c},{b,c},{a,b},{a},,{c},?.∴滿足條件的組合(A,B)共有27組.故選:D.3.已知的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,記展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第k項(xiàng),則k=(
)A.6 B.7 C.6或7 D.5或6參考答案:B【分析】由的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可得,然后運(yùn)用通項(xiàng)求出系數(shù)最大項(xiàng)【詳解】∵的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,第項(xiàng)系數(shù)為,時(shí)最大,故展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng).故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理,屬于基礎(chǔ)題.分清二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù),這是本題的易錯(cuò)點(diǎn),所要求的是項(xiàng)的系數(shù)的最大值,而不是二項(xiàng)式系數(shù)的最大值.4.設(shè)函數(shù)的圖象上的點(diǎn)處的切線的斜率為,記,則函數(shù)的圖象大致為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A5.若變量滿足約束條件,則的最小值為()A.17
B.14
C.5
D.3參考答案:C略6.已知,是兩條不同的直線,是一個(gè)平面,則下列命題正確的是
A.若,,則
B.若,,則C.若∥,,則∥
D.若∥,∥,則∥參考答案:A7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A、B兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn),并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表:
甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103
則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A、B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性()A.甲
B.乙
C.丙
D.丁參考答案:D略8.正五邊形ABCDE中,若把頂點(diǎn)A、B、C、D、E染上紅、黃、綠、三種顏色中的一種,使得相鄰頂點(diǎn)所染顏色不相同,則不同的染色方法共有種(
)(A)30 (B)15 (C)60 (D)20參考答案:A9.正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為()A.
B.
C.
D.參考答案:D
解析:正方體的棱長(zhǎng)是內(nèi)切球的直徑,正方體的對(duì)角線是外接球的直徑,設(shè)棱長(zhǎng)是
10.若隨機(jī)變量X的分布列:X01P0.2m
已知隨機(jī)變量且,,則a與b的值為(
)A. B. C. D.參考答案:C【分析】先根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列可求m的值,結(jié)合,,可求a與b的值.【詳解】因?yàn)椋?,所?;因?yàn)?,,所以解得,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的期望和方差,注意兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系對(duì)期望方差的影響.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個(gè)球,摸出紅球的概率是0.41,摸出白球的概率是0.27,那么摸出黑球的概率是.參考答案:0.32【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.【分析】利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式求解.【解答】解:口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個(gè)球,摸出紅球的概率是0.41,摸出白球的概率是0.27,∴摸出黑球的概率是1﹣0.41﹣0.27=0.32.故答案為:0.32.12.已知拋物線C:y2=﹣4x的焦點(diǎn)F,A(﹣1,1),則曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F與點(diǎn)A的距離之和的最小值為
.參考答案:2【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【專題】計(jì)算題;方程思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,再由拋物線的定義知:當(dāng)P、A和P在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)Q三點(diǎn)共線時(shí),這個(gè)距離之和最小,即可得出結(jié)論.【解答】解:∵拋物線方程為y2=﹣4x,∴2p=4,可得焦點(diǎn)為F(﹣1,0),準(zhǔn)線為x=1設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線l上的射影點(diǎn)為Q點(diǎn),A(﹣1,1)則由拋物線的定義,可知當(dāng)P、Q、A點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí),點(diǎn)P到點(diǎn)(﹣1,1)的距離與P到該拋物線焦點(diǎn)的距離之和最小,∴最小值為1+1=2.故答案為:2.【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線上的動(dòng)點(diǎn),求該點(diǎn)到定點(diǎn)Q和焦點(diǎn)F距離之和的最小值,著重考查了拋物線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.13.如圖,在正方體中,.分別是.的中點(diǎn),則異面直線與所成角的大小是_______參考答案:90。略14.數(shù)列{an}滿足an+1+(﹣1)nan=2n﹣1,則{an}的前60項(xiàng)和為.參考答案:1830考點(diǎn):數(shù)列遞推式;數(shù)列的求和.專題:計(jì)算題;壓軸題.分析:令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,則bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=bn+16可得數(shù)列{bn}是以16為公差的等差數(shù)列,而{an}的前60項(xiàng)和為即為數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)和,由等差數(shù)列的求和公式可求解答:解:∵,∴令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,a4n+1+a4n+3=(a4n+3+a4n+2)﹣(a4n+2﹣a4n+1)=2,a4n+2+a4n+4=(a4n+4﹣a4n+3)+(a4n+3+a4n+2)=16n+8,則bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16∴數(shù)列{bn}是以16為公差的等差數(shù)列,{an}的前60項(xiàng)和為即為數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)和∵b1=a1+a2+a3+a4=10∴=1830點(diǎn)評(píng):本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的和,等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列15.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=,an+bn=1,bn+1=(n∈N*),則b2015=.參考答案:【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】由已知條件推導(dǎo)出bn+1=,b1=,從而得到數(shù)列{}是以﹣2為首項(xiàng),﹣1為公差的等差數(shù)列,由此能求出b2015.【解答】解:∵an+bn=1,且bn+1=,∴bn+1=,∵a1=,且a1+b1=1,∴b1=,∵bn+1=,∴﹣=﹣1,又∵b1=,∴=﹣2.∴數(shù)列{}是以﹣2為首項(xiàng),﹣1為公差的等差數(shù)列,∴=﹣n﹣1,∴bn=.則b2015=.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的第2015項(xiàng)的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用.16.已知x,y都是正數(shù),如果xy=15,則x+y的最小值是
.參考答案:2【考點(diǎn)】基本不等式.【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;不等式.【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.【解答】解:∵x,y都是正數(shù),xy=15,則x+y=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào).故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.17.函數(shù)的定義域?yàn)镽,,對(duì)任意R,>3,則>3x+4的解集為
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)定義在上的函數(shù),滿足當(dāng)時(shí),,且對(duì)任意,有,(1)解不等式(2)解方程
參考答案:(1)先證,且單調(diào)遞增,因?yàn)?時(shí),所以.又,假設(shè)存在某個(gè),使,則與已知矛盾,故任取且,則,,所以===.所以時(shí),為增函數(shù).解得:(2),,,原方程可化為:,解得或(舍)略19.已知,函數(shù).(1)若有極小值且極小值為0,求a的值.(2)當(dāng)時(shí),,求a的取值范圍參考答案:(1)(2).試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)a的正負(fù)討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況,當(dāng)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn),且為極小值,再根據(jù)極小值為0,求的值;當(dāng)時(shí)討論兩個(gè)零點(diǎn)大小,先確定極小值取法,再根據(jù)極小值為0,求的值;(2)先化簡(jiǎn)不等式為,再對(duì)時(shí),變量分離,轉(zhuǎn)化為討論對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題最小值,先根據(jù)與同號(hào)得>0,再根據(jù)放縮證明最小值恒大于零且趨于零,綜合可得的取值范圍.試題解析:(Ⅰ).①若,則由解得,當(dāng)時(shí),遞減;當(dāng)上,遞增;故當(dāng)時(shí),取極小值,令,得(舍去).②若,則由,解得.(i)若,即時(shí),當(dāng),.遞增;當(dāng)上,遞減;當(dāng)上,遞增.故當(dāng)時(shí),取極小值,令,得(舍去)(ii)若,即時(shí),遞增不存在極值;(iii)若,即時(shí),當(dāng)上,遞增;,上,遞減;當(dāng)上,遞增.故當(dāng)時(shí),取極小值,得滿足條件.故當(dāng)有極小值且極小值0時(shí),(Ⅱ)方法一:等價(jià)于,即,即
①當(dāng)時(shí),①式恒成立;以下求當(dāng)時(shí)不等式恒成立,且當(dāng)時(shí)不等式恒成立時(shí)的取值范圍.令,即,記.(i)當(dāng)即時(shí),是上的增函數(shù),所以,故當(dāng)時(shí),①式恒成立;(ii)當(dāng)即時(shí),令,若,即時(shí),則在區(qū)間(1,0)上有兩個(gè)零點(diǎn),其中,故在上有兩個(gè)零點(diǎn):,在區(qū)間和上,遞增;在區(qū)間上,遞減;故在區(qū)間上,取極大值,
②注意到,所以,所以,注意到,在區(qū)間上,遞增,所以,當(dāng)時(shí),.故當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,,而在區(qū)間上.當(dāng)時(shí),,也滿足當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故當(dāng)時(shí),①式恒成立;
(iii)若,則當(dāng)時(shí),,即,即當(dāng)時(shí),①式不可能恒成立.綜上所述,所求的取值范圍是.方法二:等價(jià)于,
③當(dāng)時(shí),③式恒成立;當(dāng)時(shí),③式等價(jià)于:,令,則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),③式恒成立;以下證明:對(duì)任意的正數(shù),存在,使,取,則,令,解得,即時(shí),,綜上所述,所求的取值范圍是.點(diǎn)睛:對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題,一般有三個(gè)方法,一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子,另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù),通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法,根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論,三是數(shù)形結(jié)合法,將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù),通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.20.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn).(Ⅰ)證明AD⊥D1F;(Ⅱ)求AE與D1F所成的角;(Ⅲ)證明面AED⊥面A1FD1;
參考答案:(Ⅰ)
∴AD⊥D1F(Ⅱ)
∴AE⊥D1F
AE與D1F所成的角為900(Ⅲ)由以上可知D1F⊥平面AED
∴面AED⊥面A1FD1;21.設(shè)f(x)=(m+1)x2﹣mx+m﹣1.(1)當(dāng)m=1時(shí),求不等式f(x)>0的解集;(2)若不等式f(x)+1>0的解集為,求m的值.參考答案:【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系;一元二次不等式與一元二次方程.【專題】計(jì)算題.【分析】(1)直接把m=1代入,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求2x2﹣x>0即可;(2)直接根據(jù)一元二次不等式的解集與對(duì)應(yīng)方程的根之間的關(guān)系求解即可.【解答】(本題12分)解:(1)當(dāng)m=1時(shí),不等式f(x)>0為:2x2﹣x>0?x(2x﹣1)>0?x>
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