ref.科學計算數(shù)值積分微分

數(shù)值積分與數(shù)值微分電子科技大學第五章數(shù)值積分和數(shù)值微分數(shù)值積分概述Newton-Cotes求積公式Gauss求積公式5.1數(shù)值積分概述求積公式和它的代數(shù)精度插值型求積公式對于積分但是在工程技術(shù)和科學研究中,常會見到以下現(xiàn)象:如果知道f(x)的原函數(shù)F(x)，則由Newton-Leibniz公式有（1）f(x)的解析式根本不存在，只給出了f(x)的一些數(shù)值；（2）f(x)的原函數(shù)F(x)求不出來，如F(x)不是初等函數(shù)；（3）f(x)的表達式結(jié)構(gòu)復雜，求原函數(shù)較困難。以上這些現(xiàn)象，Newton-Leibniz公式很難發(fā)揮作用，只能建立積分的近似計算方法。5.1.1求積公式和它的代數(shù)精度上式稱數(shù)值求積公式。由定積分的定義知，定積分是和的極限，若用和式近似，則可表示為基本思想：利用積分區(qū)間上一些離散點的函數(shù)值的線性組合計算定積分的近似值。無需尋求原函數(shù)。為了使一個求積公式能對更多的積分具有較好的實際計算意義，就要求它對盡可能多的被積函數(shù)都準確地成立。因此定義代數(shù)精度的概念:定義1.若求積公式則稱該求積公式具有m次的代數(shù)精度。代數(shù)精度也稱代數(shù)精確度使其代數(shù)精度盡量高，并指出其代數(shù)精度。例設(shè)有求積公式試確定系數(shù)解：令公式依次對都精確成立，即故該求積公式應為對有即對也精確成立，但對不能精確成立，因此該求積公式具3次代數(shù)精度。解得若已知函數(shù)f(x)在[a,b]上一組節(jié)點值a≤x0<x1<…<xn≤b以及函數(shù)值f(x0)，f(x1),…,f(xn)，構(gòu)造f(x)的n次Lagrange插值多項式：5.1.2插值型求積公式則若記則－－插值型求積公式Ai為求積系數(shù)。余項：（1）當f(x)取次數(shù)≤n的多項式時，R≡0，即含n+1個節(jié)點的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度。注：（2）特別地，當f(x)≡1時，有5.2Newton-Cotes求積公式Newton-cotes公式的導出幾種低階求積公式及其余項偶階求積公式的代數(shù)精度復合求積公式5.2.1Newton-Cotes公式的導出設(shè)函數(shù)f(x)∈C[a,b],將積分區(qū)間[a,b]n等分，步長h=(b-a)/n，節(jié)點xk=a+kh為等距節(jié)點。Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點下使用Lagrange插值多項式建立的數(shù)值求積公式。由插值型求積公式知可得引進變換x=a+th，則有dx=hdt，xk-xj=(k-j)h，x-xj=(t-j)h，所以插值型求積公式化為稱Newton-cotes公式，式中ck(n)

稱柯特斯系數(shù)。記在Newton-Cotes公式中，n=1,2,4時的公式是最常用也最重要的三個公式，稱為低階公式。1.梯形(trapezia)公式及其余項Cotes系數(shù)為求積公式為5.2.2

幾種低階求積公式及其余項上式稱為梯形求積公式,也稱兩點公式，記為梯形公式的余項為即幾何意義如右圖：第二積分中值定理梯形(trapezia)公式具有1次代數(shù)精度。故2.Simpson公式及其余項Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為Simpson求積公式，也稱三點公式或拋物線公式。記為Simpson公式的余項：Simpson公式具有3次代數(shù)精度。即3.Cotes公式及其余項Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為Cotes求積公式，也稱五點公式。記為Cotes公式的余項：Cotes公式具有5次代數(shù)精度。注：n8時，Cotes系數(shù)出現(xiàn)負數(shù)，會引起誤差增大，計算不穩(wěn)定。因此，在實際應用中一般不使用高階Newton-Cotes公式，而是采用低階復合求積法(下節(jié))。Cotes系數(shù)表：n

Ck(n)1234581/21/21/64/61/61/83/83/81/87/9016/452/1516/457/9019/28825/9625/14425/14425/9619/288…………989/283505888/28350-928/2835010496/28350-4540/28350…5.2.3偶階求積公式的代數(shù)精度研究Simpson公式，是二階Newton-Cotes公式，因此至少具有二次代數(shù)精度。將f(x)=x3代入Simpson公式：直接對f(x)=x3求積，得有I2(f)=I，又易證Simpson公式對f(x)=x4不能夠準確成立。故Simpson公式具有3次代數(shù)精度。定理：

當n為偶數(shù)時，Newton-Cotes公式至少具有n+1次代數(shù)精度。證明：只要驗證當n為偶數(shù)時，公式對f(x)=xn+1余項為零即可。由余項公式又故一般地，可以證明下述論斷：此時，被積函數(shù)是奇函數(shù)，故R[f]=0。證畢。若n為偶數(shù)，則n/2為整數(shù)，再令t=u+n/2，得引進變換x=a+th，則xj=a+jh，當積分區(qū)間[a,b]的長度較大，而節(jié)點個數(shù)n+1固定時，直接使用Newton-Cotes公式的余項將會較大。而如果增加節(jié)點個數(shù)，即n+1增加時，公式的舍入誤差又很難得到控制。為了提高公式的精度,又使算法簡單易行,往往使用復合方法：即將積分區(qū)間[a,b]分成若干個子區(qū)間，然后在每個小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式，最后將每個小區(qū)間上的積分的近似值相加。5.2.3復合求積公式將[a,b]n等分，h=(b-a)/n，在每個子區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，得1、復合梯形公式－－復合梯形公式記復合梯形公式的余項：由于即有由得設(shè)被積函數(shù)f(x)∈C2[a,b]，又由將[a,b]n等分，在每個子區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上采用Simpson公式，若記xk+1/2=xk+h/2，則可得復合Simpson公式形式為2、復合Simpson公式復合Simpson公式的余項：則當n足夠大時，復合Simpson公式的余項為：3、復合Cotes公式復合Cotes公式的余項：比較三種復合公式的余項：例1.解:為簡單起見,依次使用8階復合梯形公式、4階復合Simpson公式和2階復合Cotes公式?？傻酶鞴?jié)點的值如下表：

010.1250.997397870.250.989615840.3750.976726740.50.958851080.6250.936155640.750.908851680.8750.8771925710.84147098分別由復合Trapz、Simpson、Cotes公式有原積分的精確值為精度最高精度次高精度最低含2n+2個待定參數(shù)xk,Ak

(k=0,1,…,n)，當x取等距節(jié)點時得到的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n次，若適當選取xk(k=0,1,…,n)，有可能使求積公式具2n+1次代數(shù)精度，這類求積公式稱Gauss求積公式。xk

為Gauss點。5.3Gauss求積公式公式只要取f(x)=xm對m=0,1,……,2n+1精確成立，即解得Ak

及xk即可得Gauss求積公式。例 構(gòu)造下列積分的Gauss求積公式：解：令其對f(x)=1，x，x2，x3

精確成立，得故求積公式為上式即為兩點Gauss求積公式，至少具3次代數(shù)精度。注：對積分區(qū)間[a,b]，作變換則求積公式為由上例知，據(jù)定義求xk，Ak

，計算復雜。故從分析Gauss點的特性來構(gòu)造Gauss公式。定理：插值型求積公式的節(jié)點a≤x0<x1<…<xn≤b是Gauss點的充要條件是以這些節(jié)點為零點的多項式與任何次數(shù)不超過n次的多項式P(x)帶權(quán)正交，即證明：《必要性》設(shè)P(x)為n次多項式，則ωn+1(x)P(x)為2n+1次多項式。若x0,x1,…,xn是Gauss點，則求積公式對f(x)=ωn+1(x)P(x)精確成立，即《充分性》對任意2n+1次多項式f(x)，用ωn+1(x)去除f(x)，記商為P(x)，余式為Q(x)，（其中P(x)，Q(x)都為n次多項式），即由得即由于求積公式對n次多項式精確成立，則又由ωn+1(xk)=0知，Q(xk)=f(xk)求積公式對一切次數(shù)≤2n+1的多項式均精確成立，故xk為Gauss點。幾種常用的Gauss型求積公式：對不同的

ρ

(x)，選不同的正交多項式系，可導出不同的Gauss求積公式。1、Gauss－Legendre求積公式：Legendre多項式：區(qū)間為[-1,1]，ρ

(x)≡1，由{1,x,…,xn,…}正交化得到的多項式。表達式：性質(zhì)：（1）正交性：（2）奇偶性：（3）遞推關(guān)系：(n=1,2,……)（4）Pn(x)在[-1,1]內(nèi)有n個不同的實零點。因Legendre多項式是[-1,1]上的正交多項式，故Pn+1(x)的零點就是求積公式的Gauss點，上式稱Gauss－Legendre求積公式。n=1時，可得兩點Gauss－Legendre求積公式：n=2時，三點G