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2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型

2.2.1傳遞函數(shù)是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過(guò)程中引申出來(lái)的概念。微分方程是在時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時(shí)分析較麻煩。用拉氏變化法求解微分方程時(shí)，可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型－傳遞函數(shù)。定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初使條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。2/6/20231式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，和是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：

2/6/20232求例2-5機(jī)械系統(tǒng)與電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和解：機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)例2/6/20233G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大?。o(wú)關(guān)。電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，且所具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。性質(zhì)1性質(zhì)22.2.2傳遞函數(shù)性質(zhì)2/6/20234如果將置換性質(zhì)3G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因?yàn)樵S多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。性質(zhì)4如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)，一旦建立G(s)可以給出該系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的完整描述，與其它物理描述不同。性質(zhì)5傳遞函數(shù)數(shù)學(xué)模型是（表示）輸出變量和輸入變量微分方程的運(yùn)算模型傳遞函數(shù)與微分方程之間有關(guān)系。性質(zhì)62/6/20235傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響

為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)極點(diǎn)是微分方程的特征跟，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。性質(zhì)72/6/20236零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越近，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小2/6/202372.2.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的。典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：1比例環(huán)節(jié)2慣性環(huán)節(jié)式中K-增益特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應(yīng)式變送器等。2/6/20238式中T-時(shí)間常數(shù)

特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入,其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。

實(shí)例：RC網(wǎng)絡(luò),直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。實(shí)例：測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。3微分環(huán)節(jié)理想微分一階微分二階微分2/6/202394積分環(huán)節(jié)式中ξ－阻尼比

-自然振蕩角頻率（無(wú)阻尼振蕩角頻率）特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。5振蕩環(huán)節(jié)2/6/2023106純時(shí)間延時(shí)環(huán)節(jié)式中－延遲時(shí)間特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時(shí)間間隔。實(shí)例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。2/6/2023112.2.4典型元部件的傳遞函數(shù)電位器－將線位移或角位移變換為電壓量的裝置。

單個(gè)電位器用作為信號(hào)變換裝置。2/6/202312單位角位移，輸出電壓(v/rad)E-電位器電源(v)

－電位器最大工作角(rad)

2/6/202313是兩個(gè)電位器電刷角位移之差，稱誤差角。

2/6/202314轉(zhuǎn)子角速度（rad/s）輸出斜率（v/rad/s）直流測(cè)速發(fā)電機(jī)交流測(cè)速發(fā)電機(jī)測(cè)速發(fā)電機(jī)－測(cè)量角速度并將它轉(zhuǎn)換成電壓量的裝置2/6/202315

控制系統(tǒng)的方塊圖及其基本組成2.3控制系統(tǒng)的方塊圖、信號(hào)流圖與梅遜公式2/6/202316信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向，在直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。（2）比較點(diǎn)（合成點(diǎn)、綜合點(diǎn)）SummingPoint

兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號(hào)進(jìn)行加減比較的元件?！?”表示相加，“-”表示相減?！?”號(hào)可省略不寫。控制系統(tǒng)的方塊圖是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)流向的圖解表示法。2.3.1方塊圖元素

（1）方塊（BlockDiagram）:表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關(guān)系。2/6/202317注意：進(jìn)行相加減的量，必須具有相同的量剛。(3)分支點(diǎn)（引出點(diǎn)、測(cè)量點(diǎn)）BranchPoint表示信號(hào)測(cè)量或引出的位置注意：同一位置引出的信號(hào)大小和性質(zhì)完全一樣。2/6/2023182.3.2幾個(gè)基本概念及術(shù)語(yǔ)(1)前向通路傳遞函數(shù)--假設(shè)N(s)=0

打開(kāi)反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。等價(jià)于C(s)與誤差E(s)之比(2)反饋回路傳遞函數(shù)假設(shè)N(s)=0

主反饋信號(hào)B(s)與輸出信號(hào)C(s)之比。2/6/202319(3)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Open-loopTransferFunction假設(shè)N(s)=0

主反饋信號(hào)B(s)與誤差信號(hào)E(s)之比。(4)閉環(huán)傳遞函數(shù)Closed-loopTransferFunction假設(shè)N(s)=0

輸出信號(hào)C(s)與輸入信號(hào)R(s)之比。推導(dǎo)：因?yàn)?/p>

右邊移過(guò)來(lái)整理得

即

請(qǐng)記住**2/6/202320(5)誤差傳遞函數(shù)假設(shè)N(s)=0

誤差信號(hào)E(s)與輸入信號(hào)R(s)之比。代入上式，消去G(s)即得：將2/6/202321輸出對(duì)擾動(dòng)的結(jié)構(gòu)圖利用公式**，直接可得：

(6)輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=02/6/202322（7）誤差對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=0

誤差對(duì)擾動(dòng)的結(jié)構(gòu)圖

利用公式**，直接可得：**2/6/202323線性系統(tǒng)滿足疊加原理，當(dāng)控制輸入R(s)與擾動(dòng)N(s)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出及誤差可表示為：

2.3.3方塊圖的繪制（1）考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框（塊）表示。（2）根據(jù)各元部件的信號(hào)流向，用信號(hào)線依次將各方塊連接起來(lái)，便可得到系統(tǒng)的方塊圖。系統(tǒng)方塊圖-也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種。

注意：由于N(s)極性的隨機(jī)性，因而在求E(s)時(shí)，不能認(rèn)為利用N(s)產(chǎn)生的誤差可抵消R(s)產(chǎn)生的誤差。2/6/202324一階RC網(wǎng)絡(luò)

解：由圖利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得：對(duì)其進(jìn)行拉氏變換得：

例畫出下列RC電路的方塊圖。2/6/202325將圖（b）和(c)組合起來(lái)即得到圖(d)，圖(d)為該一階RC網(wǎng)絡(luò)的方塊圖。2/6/202326解：（1）根據(jù)電路定理列出方程，寫出對(duì)應(yīng)的拉氏變換，也可直接畫出該電路的運(yùn)算電路圖如圖(b)；（2）根據(jù)列出的4個(gè)式子作出對(duì)應(yīng)的框圖；（3）根據(jù)信號(hào)的流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來(lái)。

畫出下列R-C網(wǎng)絡(luò)的方塊圖

由圖清楚地看到，后一級(jí)R2-C2網(wǎng)絡(luò)作為前級(jí)R1-C1網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載，對(duì)前級(jí)R1-C1網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓產(chǎn)生影響，這就是負(fù)載效應(yīng)。例2/6/2023272/6/202328如果在這兩極