北科自動化控制工程基礎(chǔ)-第二章

*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1設(shè)計控制系統(tǒng)應(yīng)完成哪些工作？控制對象運動規(guī)律的描述控制對象運動規(guī)律定性分析控制對象運動規(guī)律定量分析控制系統(tǒng)的設(shè)計與綜合控制對象和控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章任務(wù)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系22、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1控制系統(tǒng)的運動方程2.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.3方框圖與信號流圖2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式2.5控制系統(tǒng)不同模型間的關(guān)系小結(jié)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系3本章學(xué)習要點簡單物理系統(tǒng)的微分方程的列寫；非線性模型的線性化方法；傳遞函數(shù)和傳遞函數(shù)矩陣的概念；結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的變換與化簡；狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式；控制系統(tǒng)不同模型形式及其之間的轉(zhuǎn)換。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系42.1

控制系統(tǒng)的運動方程例2.1.1研究RLC電路，試找出輸出電壓uc(t)隨輸入電壓ur(t)變化的規(guī)律。解R、C、L以及初始uc(0)確定時,已知ur(t)就可以確定uc(t)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系52.1

控制系統(tǒng)的運動方程例2.1.2如圖：由質(zhì)量為m的木塊、彈性系數(shù)為K的彈簧和阻尼系數(shù)為B的系統(tǒng)，試找出木塊的位移x(t)與外力f(t)之間的關(guān)系。解m、K、B以及初始x(0)確定時,已知f(t)就可以確定x(t)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系62.1控制系統(tǒng)的運動方程

直流他勵電動機電樞電路，取電樞電壓ua為輸入量,電動機角速度ωm為輸出量,討論它們之間的關(guān)系。電樞回路電壓平衡方程：電磁轉(zhuǎn)矩方程：ammtiCM)(=電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程：例2.1.3解電樞反電勢是電樞電流產(chǎn)生的電動轉(zhuǎn)矩是電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù)mMmC是折合到電動機軸上的總負載轉(zhuǎn)矩(t)McJm:電動機和負載折合到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量；fm:電動機和負載折合到電動機軸上的黏性摩擦系數(shù)；*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系72.1

控制系統(tǒng)的運動方程注意觀察三個示例的微分方程可以通過求解得到ur(t)~uc(t)，f(t)~x(t)之間內(nèi)在運動的關(guān)聯(lián)關(guān)系、分析系統(tǒng)的運動特性。進而改造系統(tǒng)-選擇適當?shù)腞、L、C和m、B、K得到希望的運動規(guī)律。許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其物理背景可能完全不一樣，可以用一個運動方程來表示，我們可以不單獨地去研究具體系統(tǒng)而只分析其數(shù)學(xué)表達式，即它們具有相同的數(shù)學(xué)模型。這類系統(tǒng)被稱為相似系統(tǒng)。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系82.1

控制系統(tǒng)的運動方程控制系統(tǒng)的運動—對系統(tǒng)施加控制（即輸入控制信號），從而得到系統(tǒng)輸出量（即受控量）隨時間的變化規(guī)律（即輸出響應(yīng)信號）。控制系統(tǒng)的運動方程—根據(jù)描述系統(tǒng)特性的物理學(xué)定律，如機械，電氣，熱力，液壓等方面的基本定律寫出。展示系統(tǒng)在運動過程中各變量之間的相互關(guān)系，既定性又定量地描述整個系統(tǒng)的運動過程。

數(shù)學(xué)模型—描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間的數(shù)學(xué)表達式，是分析和設(shè)計自動控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。靜態(tài)模型：在靜態(tài)條件下（即變量不隨時間變化），描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程(組)。動態(tài)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程(組)。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系92.1

控制系統(tǒng)的運動方程建立數(shù)學(xué)模型的方法解析法—依據(jù)描述系統(tǒng)運動規(guī)律的運動定律來得到微分方程的方法。實驗法—基于系統(tǒng)輸入輸出的實驗數(shù)據(jù)來建立數(shù)學(xué)模型的方法。數(shù)學(xué)模型的形式時域模型—微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；復(fù)頻域模型—傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、頻率特性。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系102.1

控制系統(tǒng)的運動方程問題：從嚴格意義上講，絕大多數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都不是線性模型（即系統(tǒng)并非是線性系統(tǒng)）。事實上，任何一個元件總是存在一定程度的非線性。即使假設(shè)具有線性的特性，也是局限在一定的范圍內(nèi)。幾種常見的非線性*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系112.1

控制系統(tǒng)的運動方程兩類非線性系統(tǒng)具有連續(xù)變化的非線性系統(tǒng)動態(tài)：y(n)=f(t;y,y(1),…,y(n-1),x,x(1),…,x(m))靜態(tài)：y=f(x)本質(zhì)非線性系統(tǒng)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系122.1

控制系統(tǒng)的運動方程

非線性微分方程的求解很困難。在一定條件下，近似地轉(zhuǎn)化為線性微分方程，可以使系統(tǒng)的動態(tài)特性的分析大為簡化。實踐證明，這樣做能夠圓滿地解決許多工程問題，有很大的實際意義。線性化的方法忽略弱非線性環(huán)節(jié)：如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi)，則它們對系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略。臺勞級數(shù)展開法(小偏差法，切線法，增量線性化法)：適用前提—假設(shè)在控制系統(tǒng)的整個調(diào)節(jié)過程中，各個元件的輸入和輸出量只是在平衡點附近作微小變化。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系132.1

控制系統(tǒng)的運動方程忽略二次以上的各項，上式可以寫成：A(x0,y0)平衡點，函數(shù)在平衡點處連續(xù)可微，則可將函數(shù)在平衡點附近展開成臺勞級數(shù)：其中：—非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系142.1

控制系統(tǒng)的運動方程平均斜率法：如果一非線性元件輸入輸出關(guān)系如下圖所示，此時不能臺勞級數(shù)展開法，可用平均斜率法得線性化方程為：其中：*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系152.1

控制系統(tǒng)的運動方程注意：這幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，對于某些嚴重的非線性（本質(zhì)非線性)不能作線性化處理，一般用相平面法及描述函數(shù)法進行分析。(此部分超出本課程的內(nèi)容，可參考非線性控制的章節(jié)或教材。)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系162.1

控制系統(tǒng)的運動方程例2.1.4水位自動控制系統(tǒng)：輸入量為△Q1,輸出量為水位變化量△H，求水箱的微分方程。水箱的橫截面積為C。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系172.1

控制系統(tǒng)的運動方程解根據(jù)托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比，則有：其中為比例系數(shù)。水箱的線性化微分方程:整理得水箱的標準線性化微分方程為:其中：顯然這個式子為非線性關(guān)系,在工作點附近進行臺勞級數(shù)展開。取一次項得：在時間中，水箱內(nèi)流體變化量.則：注意：是常數(shù)；。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系182.1

控制系統(tǒng)的運動方程說明本質(zhì)非線性系統(tǒng)一般不可線性化。多變量情況處理類似。工作點不同，所得線性化方程的線性化系數(shù)不同，即線性化方程不同。非線性系統(tǒng)的線性化方程只在工作點附近才成立。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系192.2

線性系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域模型2.2.1拉普拉斯變換2.2.2傳遞函數(shù)2.2.3傳遞函數(shù)矩陣2.2.4典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)問題：

1）微分方程求解比較困難，不利于工程實現(xiàn)；

2）有時分析控制系統(tǒng)的性質(zhì)時不必求解方程；是否有更方便的形式描述系統(tǒng)？*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系202.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型

拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時域問題通過數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問題，把時間域的高階微分方程變換為復(fù)頻域的代數(shù)方程以便求解。對應(yīng)

時域函數(shù)f(t)(原函數(shù))復(fù)頻域函數(shù)F(s)(象函數(shù))s為復(fù)頻率2.2.1拉普拉斯變換*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系212.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型正變換反變換正變換反變換象函數(shù)F(s)用大寫字母表示,如I(s)，U(s)。原函數(shù)f(t)用小寫字母表示，如i(t),u(t)。12象函數(shù)F(s)存在的條件：拉氏變換的定義t<0,f(t)=0*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系222.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型如果存在有限常數(shù)M和c使函數(shù)f(t)滿足：則

總可以找到一個合適的s值使上式積分為有限值，即f(t)的拉氏變換式F(s)總存在。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系232.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型典型函數(shù)的拉氏變換

(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系242.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型(4)正弦函數(shù)的象函數(shù)(5)余弦函數(shù)的象函數(shù)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系252.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性性質(zhì)時間比例性質(zhì)（相似定理）其中σ為實常數(shù)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系262.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型微分性質(zhì)時域?qū)?shù)性質(zhì)頻域?qū)?shù)性質(zhì)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系27積分性質(zhì)延遲性質(zhì)頻域延遲時域延遲在時間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有對應(yīng)的衰減變換。時間信號f(t)在時間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在復(fù)數(shù)域有對應(yīng)的坐標平移。2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系28初值定理f(t)和的拉氏變換存在，也存在，則終值定理f(t)和的拉氏變換存在，，并且除在原點處唯一的極點外，sF(s)在包含jω軸的右半平面是解析的（即t→∞時，f(t)為常數(shù)），則時域函數(shù)的初值，可以由變換域求得。時域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系292.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.1已知微分方程如下，試求初值皆為零時輸出量的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。解初值皆為零有由微分性質(zhì)對微分方程作拉氏變換得：*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系302.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型拉普拉斯反變換的求法(1)按定義(2)對簡單形式的F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù)(P28)f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1Sinωt1(t)1/sCosωtt1/(s+a)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系31(4)把F(S)分解為簡單項的組合部分分式展開法(3)利用拉氏變換的性質(zhì)解由延遲性質(zhì)知：思考的原函數(shù)2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.2*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系32利用部分分式可將F(s)分解為：象函數(shù)的一般形式：待定常數(shù)12.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系332.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型待定常數(shù)的確定：方法1方法2求極限的方法*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系342.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.3求如下象函數(shù)的原函數(shù)。解解法1解法2原函數(shù)的一般形式：*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系352.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型一對共軛復(fù)根為一分解單元,設(shè)：2*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系362.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.4解*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系372.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型其中：3*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系382.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.5解*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系392.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型n=m時將F(s)化成真分式和多項式之和小結(jié):由F(s)求f(t)的步驟求真分式分母的根，確定分解單元將真分式展開成部分分式，求各部分分式的系數(shù)對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系402.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.6解*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系412.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型利用拉普拉斯變換求解微分方程例2.2.7已知：求：解根據(jù)已知條件對方程兩邊作拉氏變換：作拉氏反變換：*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系422.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.2系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（1）定義：單輸入單輸出線性定常動態(tài)對象的傳遞函數(shù)G(S)是零初值下該對象的輸出量的拉普拉斯變換Y(S)與輸入量的拉普拉斯變換U(S)之比。回答本節(jié)開始的問題*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系432.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型RLC電路取ur為輸入，uc為輸出，得:拉氏變換得：則傳遞函數(shù)為：例2.2.7解*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系442.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.8解根據(jù)牛頓第二定律，得取外力f(t)為輸入；位移x(t)為輸出得微分方程：拉氏變換后得：傳遞函數(shù)為：*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系452.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型

一般有n≥m。同一個系統(tǒng)，當輸入量和輸出量的選擇不相同時，可能會有不同的傳遞函數(shù)。不同的物理系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號的能力，反映系統(tǒng)本身的動態(tài)性能。它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與外部作用等條件無關(guān)。（2）傳遞函數(shù)的性質(zhì)G(s)與系統(tǒng)的微分方程有直接聯(lián)系。G(s)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系462.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型（3）傳遞函數(shù)的常用表示形式時間常數(shù)形式根的形式*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系472.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系482.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型特征多項式：G(s)的分母多項式D(s)特征方程：D(s)=0極點/特征根：D(s)=0的根零點：N(s)=0的根零極點對消系統(tǒng)的階數(shù)：max(n,m)，（一般n≥m）系統(tǒng)的類型放大系數(shù)與傳遞函數(shù)有關(guān)的幾個重要概念：—系統(tǒng)的放大系數(shù)K—根軌跡放大系數(shù)Kg零極點圖*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系492.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型（4）傳遞函數(shù)局限①G(s)原則上不反映y(0)≠0時的系統(tǒng)的全部運動規(guī)律.②G(s)只適用于單輸入，單輸出系統(tǒng)。③

G(s)只適用于線性定常系統(tǒng)——由于拉氏變換是一種線性變換.*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系50G(s)的零點、極點表示在S平面上——零極點圖G(s)G(s)零極點分布圖系統(tǒng)性能G(s)2.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系512.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.3傳遞函數(shù)矩陣將傳遞函數(shù)的概念推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)，傳遞函數(shù)G（s）推廣為傳遞函數(shù)矩陣G（s）。設(shè)系統(tǒng)有p個輸入量、q個輸出量如下圖。u1u2up。。。y1y2yq。。。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系522.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.9如圖，直流他勵電動機；ua是外加的輸入變量電樞電壓（伏），ωm表示電動機的角轉(zhuǎn)速（弧度/秒），為輸出量。討論它們之間的關(guān)系。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系532.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型由例2.1.3系統(tǒng)運動方程為：解拉氏變換得：整理得：*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系54

比例環(huán)節(jié)

控制系統(tǒng)通常由若干個基本部件組合而成，這些基本部件稱為典型環(huán)節(jié)。包括：比例環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、比例微分環(huán)節(jié)、一階慣性環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)。（1）典型環(huán)節(jié)2.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.4典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系55比例環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)當時2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系56

一階慣性環(huán)節(jié)當時，微分方程是一階的,且輸出響應(yīng)需一定的時間才能達到穩(wěn)態(tài)值。其中T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。2.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系57慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)求拉氏反變換得

2.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系58

積分環(huán)節(jié)其中K=1/T，

T為積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，表示積分的快慢程度。積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)2.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系59

微分環(huán)節(jié)其中K為微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，表示微分速率的大小。2.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型

理想微分環(huán)節(jié)

一階微分環(huán)節(jié)（又稱比例微分環(huán)節(jié)、實用微分環(huán)節(jié)）

*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系60

二階振蕩環(huán)節(jié)這種環(huán)節(jié)包括有兩個儲能元件，當輸入量發(fā)生變化時，兩種儲能元件的能量相互交換。在階躍函數(shù)作用下，其暫態(tài)響應(yīng)可能作周期性的變化。式中：

——自然振蕩角頻率——

阻尼比由二階微分方程描述的系統(tǒng)。2.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系61當輸入量為階躍函數(shù)時，輸出量的拉氏變換為：當時，上式特征方程的根為共軛復(fù)數(shù)。因式分解得：振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)：輸出量為：2.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系62

延遲/時滯環(huán)節(jié)2.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型帶鋼厚度檢測環(huán)節(jié)寫成一般形式:零初始條件下，拉氏變換為

傳遞函數(shù)為

例*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系63時滯環(huán)節(jié)的輸出量時滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

對于時滯時間很小的時滯環(huán)節(jié)，常把它展開成泰勒級數(shù)，并略去高次項，得：時滯環(huán)節(jié)在一定條件下可近似為慣性環(huán)節(jié)！2.2線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系642.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.4典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)元部件名稱傳遞函數(shù)電位器測速電機電加熱爐單容水槽雙容水槽（2）典型元部件(有純延遲)(也可有延遲，略)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系65線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型

直流他勵電動機電樞電路，取電樞電壓ua為輸入量,電動機角速度ωm為輸出量,討論它們之間的關(guān)系。電樞回路電壓平衡方程：電磁轉(zhuǎn)矩方程：ammtiCM)(=電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程：例2.1.3解*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系662.3方框圖與信號流圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對信號進行單向運算的方框和一些信號流向線組成，它包含4種基本單元。2.3.1系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖1）信號線2）引出點（或測量點）3）比較點（或綜合點）4）方框（或環(huán)節(jié)）*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系672.3方框圖與信號流圖*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系682.3方框圖與信號流圖思考:將兩部分電路分開分別討論然后在結(jié)合到一起結(jié)果和前面得到的是否相同?*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系692.3方框圖與信號流圖速度控制系統(tǒng)例2.3.1*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系702.3方框圖與信號流圖解（1）比較環(huán)節(jié)和速度調(diào)節(jié)器環(huán)節(jié)式中：式中：*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系712.3方框圖與信號流圖式中整理得

*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系722.3方框圖與信號流圖（2）速度反饋的傳遞函數(shù)式中：為速度反饋系數(shù)

*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系732.3方框圖與信號流圖（3）電動機及功率放大裝置*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系742.3方框圖與信號流圖（4）系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖

*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系752.3方框圖與信號流圖2.3.2系統(tǒng)的等效變換（1）典型連接的等效傳遞函數(shù)串聯(lián)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系762.3方框圖與信號流圖并聯(lián)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系772.3方框圖與信號流圖反饋連接*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系782.3方框圖與信號流圖（2）相加點及分支點的換位運算原則:換位前后的輸入/輸出信號間關(guān)系不變。

相加點后移*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系792.3方框圖與信號流圖相加點前移分支點后移*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系802.3方框圖與信號流圖分支點前移

分支點換位

*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系812.3方框圖與信號流圖相加點變位*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系822.3方框圖與信號流圖相加點和分支點一般不能變位*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系832.3方框圖與信號流圖利用方塊圖變換法則

(a)相加點A前移，分支點D后移*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系842.3方框圖與信號流圖(b)消除局部反饋回路

*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系852.3方框圖與信號流圖（C）消除主反饋回路

方塊圖的化簡方法不是唯一的，應(yīng)充分地利用各種變換技巧，選擇最簡捷的路徑，以達到省力省時的目。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系862.3方框圖與信號流圖(3)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)定義：閉環(huán)系統(tǒng)反饋信號的拉氏變換與偏差信號的拉氏變換之比（反饋通道斷開），定義為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，用表示。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系872.3方框圖與信號流圖系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是正向通道傳遞函數(shù)與反向通道傳遞函數(shù)的乘積。

——正向通道傳遞函數(shù)——反向通道傳遞函數(shù)*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系882.3方框圖與信號流圖無交叉局部反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函

例2.3.2解*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系892.3方框圖與信號流圖有交叉局部反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函

例2.3.3解*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系902.3方框圖與信號流圖(4)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)定義：在初始條件為零時，系統(tǒng)的輸出量與輸入量的拉氏變換之比稱為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，用表示。對于單位反饋系統(tǒng)，有*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系912.3方框圖與信號流圖(5)系統(tǒng)對給定作用和擾動作用的傳遞函數(shù)原則：對于線性系統(tǒng)來說，可以運用疊加原理，即對每一個輸入量分別求出輸出量，然后再進行疊加，就得到系統(tǒng)的輸出量。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系922.3方框圖與信號流圖只有給定作用

只有擾動作用*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系932.3方框圖與信號流圖兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)

*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系942.3方框圖與信號流圖信號流圖是一種用圖線表示線性方程組中變量間因果關(guān)系的方法。設(shè)一組線性方程式如下：信號流圖的表示形式2.3.3信號流圖*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系952.3方框圖與信號流圖信號流圖中的術(shù)語:(1)源點：只有輸出支路的節(jié)點稱為源點或稱為輸入節(jié)點。它一般表示系統(tǒng)的輸入變量。(2)匯點：只有輸入支路的節(jié)點稱為匯點或稱為輸出節(jié)點。它一般表示系統(tǒng)的輸出變量。(3)混合節(jié)點：既有輸入支點又有輸出支點的節(jié)點稱為混合節(jié)點。(4)通路：從某一節(jié)點開始，沿支路箭頭方向經(jīng)過各相連支路到另一節(jié)點（或同一節(jié)點）構(gòu)成的路徑，稱為通路。通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸（通路增益）。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系962.3方框圖與信號流圖(5)開通路：與任一節(jié)點相交不多于一次的通路稱為開通路。(6)閉通路：如果通路的終點就是通路的起點，并且與任何其他節(jié)點相交不多于一次的通路稱為閉通路或稱為回環(huán)。回環(huán)中各支路傳輸?shù)某朔e稱為回環(huán)增益（或傳輸）。(7)前向通路：是指從源點開始并終止于匯點且與其他節(jié)點相交不多于一次的通路，該通路的各傳輸乘積稱為前向通路增益。(8)不接觸回環(huán)：如果一信號流圖有多個回環(huán)，各回環(huán)之間沒有任何公共節(jié)點，就稱為不接觸回環(huán)，反之稱為接觸回環(huán)。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系972.3方框圖與信號流圖梅遜增益公式：

式中：P——系統(tǒng)的總傳輸增益；pk

——第k條前向通道的傳輸增益；n——從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通路數(shù)；——信號流圖的特征式。Δk——與第k條前向通道不接觸的那部分信號流圖的Δ；*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系982.3方框圖與信號流圖特征式的意義為：——信號流圖中所有不同回環(huán)的傳輸之和；——信號流圖中每兩個互不接觸回環(huán)的傳輸乘積之和；…………——m個互不接觸回環(huán)的傳輸乘積之和；——稱為第k條通路特征式的余因子，是在Δ中除去第k條前向通路相接觸的各回環(huán)傳輸（即將其置零）。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系992.3方框圖與信號流圖兩個前向通道：P1，P2三個回路：La，Lb，Lc一對不相交回路：La，Lc例2.3.4解*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1002.3方框圖與信號流圖*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1012.3方框圖與信號流圖求：例2.3.5解（1）（2）*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1022.3方框圖與信號流圖（3）（4）*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1032.3方框圖與信號流圖信號流圖的繪制（1）11/R1-1-1-11/C1s1/R2R(s)C(s)I1(s)-I2(s)U1(s)I2(s)1/C2s*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1042.3方框圖與信號流圖11/R1-1-1-11/C1s1/R2R(s)C(s)I1(s)-I2(s)U1(s)I2(s)1/C2s信號流圖的繪制（2）*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1052.3方框圖與信號流圖單獨回路有L1、L2和L3，互不接觸回路有L1L2，即：前向通路只有一條，即所以R(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)H3(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)梅遜公式例

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)P2=G4G3P1=G1G2G3△1=1△2=1+G1H1*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1072.3方框圖與信號流圖用梅森公式法求C(s)/R(s)、E(s)/R(s)

、C(S)/N(S)。例2.3.6解兩兩互不接觸回路有L1L2=G1G2H1H2回路Δ=1+G1H1+G2H2+G1G2H3+G1G2H1H2*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1082.3方框圖與信號流圖(2)若以E(s)為輸出，R(s)為輸入，求E(s)/R(s)：兩兩互不接觸回路仍為L1L2無論輸入輸出是什么，回路是不變的，所以Δ不變.(1)求C(s)/R(s)：*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1092.3方框圖與信號流圖(3)求C(s)/N(s)：(4).若求R(s),N(s)同時作用下的總輸出：*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1102.3方框圖與信號流圖例：利用梅遜公式，求：C(s)/R(s)解：畫出該系統(tǒng)的信號流程圖

*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1112.3方框圖與信號流圖該系統(tǒng)中有四個獨立的回路：L1=-G4H1，L2=-G2G7H2，L3=-G6G4G5H2，L4=-G2G3G4G5H2互不接觸的回路有一個L1L2。所以，特征式

Δ=1-（L1+L2+L3+L4）+L1L2該系統(tǒng)的前向通道有三個：P1=G1G2G3G4G5 Δ1=1，P2=G1G6G4G5 Δ2=1P3=G1G2G7 Δ3=1-L1

因此，系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)為*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1121G1-1-11R(s)C(s)G2KG3-111-1Δ=1+G1+G2+G3+2G1G2+G1G3+G2G3+2G1G2G3前向通道四個：P1=G1G2G3K，Δ1=1；P2=G2G3K，Δ2=1+G1P3=G1G3K Δ3=1+G2

；P4=-G1G2G3K Δ4=1*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1132.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式問題：（1）系統(tǒng)運動方程是時變的傳遞函數(shù)不存在？（2）多輸入多輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣不好處理？（3）能否反映系統(tǒng)的中間變量的變化？（4）非線性系統(tǒng)如何描述？高階線性微分方程求解方法：（1）拉氏變換（2）一階線性微分方程組解決問題方法*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1142.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式例2.4.1研究RLC電路，試找出輸出電壓uc(t)隨輸入電壓ur(t)變化的規(guī)律。解*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1152.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式例2.4.2如圖：由質(zhì)量為m的木塊、彈性系數(shù)為K的彈簧和阻尼系數(shù)為B的系統(tǒng)，試找出木塊的位移x(t)與外力f(t)之間的關(guān)系。解*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1162.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式在例2.4.2中?。簒1(t)=x(t),x2(t)=v(t),u(t)=f(t),y(t)=x(t)在例2.4.1中取：x1(t)=uc(t),x2(t)=i(t)，u(t)=ur(t),y=uc*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1172.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式狀態(tài)變量——一組能夠完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的相互獨立的最小個數(shù)的變量。

x1(t),x2(t),…,

xn(t)狀態(tài)向量——以狀態(tài)變量為分量構(gòu)成的向量，維數(shù)與狀態(tài)變量的個數(shù)相同，一般等于系統(tǒng)中儲能元件的個數(shù)。xT(t)=(x1(t),x2(t),…,

xn(t))狀態(tài)空間——以狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,

xn(t)為坐標軸構(gòu)成的歐氏空間。狀態(tài)空間的基本概念*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1182.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式狀態(tài)變量的特點獨立性：狀態(tài)變量之間線性獨立；多樣性：狀態(tài)變量的選取并不唯一，實際上存在無窮多種方案；等價性：兩個狀態(tài)向量之間只差一個非奇異線性變換；現(xiàn)實性：狀態(tài)變量通常取為涵義明確的物理量；抽象性：狀態(tài)變量可以沒有直觀的物理意義。*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1192.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式狀態(tài)方程和輸出方程-狀態(tài)空間表達式狀態(tài)方程輸出方程線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式n維系統(tǒng)的狀態(tài)方程的標準形式寫成向量形式*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1202.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式輸出方程的標準形式寫成向量形式：y=g（x，u，t）狀態(tài)空間表達式的標準形式*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1212.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式與狀態(tài)空間表達式相關(guān)的術(shù)語*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1222.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式加法器：積分器：放大器：狀態(tài)空間表達式的方框圖表示與模擬結(jié)構(gòu)圖表示*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1232.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式∫B(t)C(t)A(t)D(t)表示系統(tǒng)信號的傳遞關(guān)系+*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1242.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式模擬結(jié)構(gòu)圖用來反映系統(tǒng)狀態(tài)變量間的信息傳遞關(guān)系∫∫uy--*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1252.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式狀態(tài)空間表達式建立方法由物理機理分析直接建立由微分方程建立由傳遞函數(shù)建立（例2.4.1，2.4.2）（1）由物理機理分析直接建立的步驟由牛頓定理，基爾霍夫定律等寫出運動方程選擇適當狀態(tài)變量寫出狀態(tài)空間表達式*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1262.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式（2）由微分方程建立的方法微分方程不含有輸入項的導(dǎo)數(shù)項微分方程含有輸入項的導(dǎo)數(shù)項*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1272.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式微分方程不含有輸入項的導(dǎo)數(shù)項整理得能控標準型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1282.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式另一種取狀態(tài)變量的方法所以有*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1292.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式整理得能觀標準型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1302.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式微分方程含有輸入項的導(dǎo)數(shù)項*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1312.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式uyx1x2x3*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1322.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式其中x4為輔助狀態(tài)

*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1332.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式用代數(shù)方法確定待定系數(shù)。整理有解此方程即可得

*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1342.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式狀態(tài)空間表達式為：推廣到n維：*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1352.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式由微分方程所描述的系統(tǒng)，試寫出其狀態(tài)空間表達式。a2=18,a1=192,a0=640b3=0,b2=0,b1=160,b0=640例2.4.2解β3=b3=0β2=b2-a2β3=0β1=b1-a2β2-a1β3=160β0=b0-a2β1-a1β2-a0β3

=640-18*160=-2240系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系136另一種實現(xiàn)方法*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系137-*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系138*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1392.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式能控標準型：能觀標準型：*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系1402.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式（3）由傳遞函數(shù)建立傳遞函數(shù)微分方程并聯(lián)分解(極點互異的情況)當p1…pn兩兩互異時，傳函可分解為：其中*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系141uy此時，系統(tǒng)的狀態(tài)模擬圖可繪為：2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系142如圖所選狀態(tài)，則有：

p1c1pncnxnx1uy2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式約當標準型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系143已知系統(tǒng)傳函為：

求狀態(tài)空間表達式。

將G(s)分解為：

求以上4個系數(shù)：

取

解2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式例2.4.4*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系144整理有：

2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達式約當標準型*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系145現(xiàn)在考慮運動對象的狀態(tài)方程與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)某p輸入q輸出的對象的狀態(tài)方程和輸出方程如下：

其中A為n×n的矩陣。在零初值條件下，對式（2.5.1）取拉普拉斯變換，得sX(s)=AX(s)+BU(s).

移項，得(sIn-A)X(s)=BU(s).其中多項式矩陣（sIn-A）必為非奇異。2.5控制系統(tǒng)不同模型間的轉(zhuǎn)換

*北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系146可求出X(s)=(sIn-A)-1BU(s).對式（2.5.2）取拉普拉斯變換后以上式代入，即得

Y(s)=(C(sIn-A)-1B+D)U(s),與式Y(jié)(s)=G(s)U(s)比較，就知道該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是

G(s)=C(sIn-A)-1B+D.（2.5.3）許多情況下D=0，則有