2022-2023學(xué)年北京市平谷區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市平谷區(qū)高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)試題一、單選題1．直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令直線方程中的得出的值即是直線在軸上的截距.【詳解】令直線中的，得，即直線在軸上的截距為，故選：D2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過空間直角坐標(biāo)系已知線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)求中點(diǎn)坐標(biāo)，只需將各坐標(biāo)相加并除以2，即可得出中點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，即線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B.3．一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4．從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，那么取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用列舉法列出所有可能情況，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】從編號(hào)為1、2、3、4的4個(gè)球中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，其可能結(jié)果有，，，，，共6個(gè)，其中滿足編號(hào)之和不大于4的有，共2個(gè)，所以取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率故選：4．已知圓關(guān)于對(duì)稱，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】把圓關(guān)于直線對(duì)稱轉(zhuǎn)化為直線過圓心,點(diǎn)代入直線計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閳A關(guān)于對(duì)稱,所以直線過圓的圓心即得,解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，故選:.5．已知平面，，直線，，下列命題中真命題是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直和面面垂直的性質(zhì)與判定定理、線面平行的判定定理和性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A：，，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B：，，，由平行線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面可知，故B正確；對(duì)于C：，若，由面面垂直判定定理可知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，或與互為異面直線或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：.6．已知圓：，直線：，則直線被圓所截得的弦長為（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【分析】先根據(jù)圓的一般方程求圓心和半徑,再結(jié)合半徑,弦長和圓心到直線距離的關(guān)系式,計(jì)算即可.【詳解】已知圓：,所以圓心,半徑為,圓心到直線：的距離所以直線被圓所截得的弦長為故選:.7．“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)題意求出方程表示雙曲線的條件，即可判斷出結(jié)論.【詳解】若時(shí)，方程不表示雙曲線；若時(shí)，方程為雙曲線，則，∴是方程表示雙曲線的充分必要條件，故選：.8．已知半徑為2的圓經(jīng)過點(diǎn)，其圓心到直線的距離的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．6【答案】C【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)得到圓的圓心的軌跡方程，再利用點(diǎn)到線的距離公式求解.【詳解】半徑為2的圓經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則所以該圓的圓心的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓故圓心到直線的距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離減半徑，即故選：.9．某地區(qū)工會(huì)利用“健步行APP”開展健步走活動(dòng)．為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中隨機(jī)抽取了1000名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，九組，整理得到頻率分布直方圖如圖所示，則當(dāng)天這1000名會(huì)員中步數(shù)少于11千步的人數(shù)為（

）A．100 B．200 C．260 D．300【答案】D【分析】分別求出健步走的步數(shù)在，，，的人數(shù)，即得解.【詳解】這1000名會(huì)員中健步走的步數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為；健步走的步數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為；健步走的步數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為；健步走的步數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為；.所以這1000名會(huì)員中健步走的步數(shù)少于11千步的人數(shù)為300人.故選：.10．已知，分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且垂直于軸，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】在直角中，由得到的等量關(guān)系，結(jié)合計(jì)算即可得到離心率.【詳解】由已知，且垂直于軸又在橢圓中通徑的長度為，，所以,故,即,,又因?yàn)榻獾霉蔬x：二、填空題11．直線的傾斜角為_______________.【答案】【分析】由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12．北京市某高中有高一學(xué)生300人，高二學(xué)生250人，高三學(xué)生275人，現(xiàn)對(duì)學(xué)生關(guān)于消防安全知識(shí)了解情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一個(gè)容量為的樣本，其中高三學(xué)生有11人，則的值等于______．【答案】【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槌槿×艘粋€(gè)容量為的樣本，其中高三學(xué)生有11人，所以有，故答案為：.13．在直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線的方程是，為上的任意一點(diǎn)．給出下面四個(gè)命題：①曲線上的點(diǎn)關(guān)于軸，軸對(duì)稱；

②曲線上兩點(diǎn)間的最大距離為；③的取值范圍為；

④曲線圍成的圖形的面積小于．則以上命題中正確的序號(hào)有______．【答案】①③【分析】根據(jù)對(duì)稱性,最值及圖像特征分別判斷命題即可.【詳解】對(duì)于①,設(shè)在曲線的方程上,因?yàn)橐苍谇€的方程上,也在曲線的方程上,所以曲線上的點(diǎn)關(guān)于軸，軸對(duì)稱;故①正確對(duì)于③,又因?yàn)榍€的方程是,所以,即得,得,所以,故③正確對(duì)于④當(dāng)時(shí),曲線的方程為,曲線與軸交點(diǎn)與軸交點(diǎn),曲線上的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱可以得到曲線的大致圖像,曲線圍成的圖形的面積大于,故④錯(cuò)誤;對(duì)于②,如圖及曲線的對(duì)稱性可知,曲線上兩點(diǎn)間的最大距離為,故②錯(cuò)誤;故答案為:①③三、雙空題14．已知雙曲線（）的焦距為，則的值為______；此雙曲線的漸近線方程是______．【答案】

【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求出,再求漸近線方程即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線（）的焦距為,所以,即又因?yàn)?所以,即,可得;因?yàn)殡p曲線漸近線方程為,又因?yàn)?所以雙曲線漸近線方程為故答案為:;15．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，則拋物線的方程是______；若是上一點(diǎn)，的延長線交軸于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則______．【答案】

【分析】利用：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,已知焦點(diǎn)坐標(biāo)求得,得到拋物線的方程；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義求得到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而得到所求.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，可得，則拋物線的方程是.由為的中點(diǎn)，在軸上，的橫坐標(biāo)為0，的橫坐標(biāo)為1，得M的橫坐標(biāo)為，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，是拋物線上的點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線：的準(zhǔn)線方程為,，.故答案為：；.四、解答題16．如圖，在正方體中，正方體的棱長為2，為的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，向量法即可證出；（2）求出平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)線面角的向量公式即可求出；（3）根據(jù)點(diǎn)到平面的距離向量公式即可求出．【詳解】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,（2）因?yàn)檎襟w的棱長為2，∴，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，∴，設(shè)直線與平面所成角為，則|＝||＝，故直線與平面所成角的正弦值為．（3）∵，∴由（2）知，平面所的法向量為，∴平面，所以到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，17．某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案．方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過．假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是，，，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響．求：（1）該應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率；（2）該應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率．【答案】（1）;（2）;【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接計(jì)算即可；（2）分情況結(jié)合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解.【詳解】（1）記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為，，，則，，，應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率：；（2）應(yīng)聘者用方案二選擇任意兩科的概率為，考試通過的概率：.18．已知橢圓：（）的短軸長為4，離心率為．點(diǎn)為圓：上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記線段與橢圓交點(diǎn)為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式及，即可求得和的值，求得橢圓方程；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，根據(jù)，，即可求得的取值范圍；【詳解】（1）由題意可知：，，，則，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）由題意可知：，設(shè)，則，∴，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的取值范圍；19．某高中高一500名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；(3)估計(jì)隨機(jī)抽取的100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，估計(jì)測(cè)評(píng)成績的75%分位數(shù)；(4)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．【答案】(1)(2)人(3)眾數(shù)為；測(cè)評(píng)成績的75%分位數(shù)為(4)【分析】（1）由對(duì)立事件結(jié)合頻率分布直方圖先得出數(shù)不小于60的頻率，即可得出分?jǐn)?shù)小于60的頻率，則可得出總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計(jì)值；（2）先由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于50的頻率，即可得出分?jǐn)?shù)不小于50的人數(shù)，在集合題意即可得出總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（3）總數(shù)為頻率分布直方圖中頻率最高的分?jǐn)?shù)區(qū)間的中間值，測(cè)評(píng)成績的75%分位數(shù)先得出從前到后的頻率之和為0.75時(shí)在那個(gè)區(qū)間，在通過頻率求出；（4）先由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)，在通過已知得出樣本中的男女生比例，即可得出總體中男女生的比例估計(jì).【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于60的頻率為：，則分?jǐn)?shù)小于60的頻率為：，故從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計(jì)為；（2）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為：，則分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為：人，則總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為：人；（3）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在區(qū)間的頻率最高，則隨機(jī)抽取的100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)估計(jì)為，由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)小于70的頻率為，分?jǐn)?shù)小于80的頻率為，則測(cè)評(píng)成績的75%分位數(shù)落在區(qū)間上，則測(cè)評(píng)成績的75%分位數(shù)為；（4）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為人，因?yàn)闃颖局蟹謹(jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為人，又因?yàn)闃颖局杏幸话肽猩姆謹(jǐn)?shù)不小于70，所以樣本中的男生共有人，則樣本中的女生共有人，所以總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為.20．如圖，四棱雉中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)求證：平面平面；(3)設(shè)平面與平面夾角為60°，，，求長．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)【分析】（1）連交于點(diǎn)，連接，由線面平行判定定理可證；（2）證明CD⊥平面PAD,則應(yīng)用面面垂直的判定定理證明即可；（3）建立空間坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用法向量的夾角公式運(yùn)算得出AB的長．【詳解】（1）連交于點(diǎn)，連接，∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn).∴，平面，平面平面（2）∵平面，平面，，∵為矩形，,又,平面,平面∴平面，又平面．平面平面；（3）以為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)AB＝，則A（0，0，0），C（a，，0），D（0，，0），P（0，0，1），E（0，，），∴（a，，0），（0，，），（0，0，1），顯然（1，0，0）為平面AED的一個(gè)法向量，設(shè)平面ACE的法向量為（x，y，z），則，即，令z得（，﹣1，），∵平面與平面夾角為60°，∴|cos|＝||，解得，即AB．21．已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，點(diǎn)在橢圓C上，且右焦點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與直線OM平行，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．連接MA、MB與x軸交于點(diǎn)D，E．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）通過且即可得出軸，再通過勾股定理即可得出，再結(jié)合通過橢圓的定義得出a的值，通過焦點(diǎn)得出c的值，即可得出b的值，即得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)直線l與直線O