第3章線性系統(tǒng)的時域分析

第三章線性系統(tǒng)的時域分析法3.1系統(tǒng)時間響應(yīng)性能指標3.2一階系統(tǒng)時域分析3.3二階系統(tǒng)時域分析3.4高階系統(tǒng)時域分析3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和穩(wěn)定判據(jù)3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

3.1系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標線性控制系統(tǒng)常用的分析方法:

時域分析法，根軌跡法、頻域分析法時域分析法：

控制系統(tǒng)在一定的輸入信號作用下，根據(jù)系統(tǒng)輸出量的時域表達式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、暫態(tài)（動態(tài)）和穩(wěn)態(tài)性能時域分析

在典型輸入信號作用下，控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)是由動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)組成。動態(tài)響應(yīng)TransientResponse

又稱為過渡過程或瞬態(tài)過程，指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Steady-stateResponse

指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)定是系統(tǒng)能夠運行的首要條件，只有當動態(tài)過程收斂時，研究系統(tǒng)的動態(tài)性能才有意義3.1.1典型輸入信號為了評價線性系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標，需要研究控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的響應(yīng)過程。

常根據(jù)系統(tǒng)常見的工作狀態(tài)來選取典型輸入信號，往往選取最不利的信號作為系統(tǒng)的典型輸入信號。

典型輸入信號：根據(jù)系統(tǒng)常遇到的輸入信號的形式，在數(shù)學(xué)描述上加以理想化的一些基本輸入函數(shù)。1.階躍函數(shù)(Stepfunction)

如電流突然接通、負載突變2.斜坡函數(shù)（速度函數(shù)）(Rampfunction)如船閘升降、機床加工斜面典型輸入信號3.加速度函數(shù)(Accelerationfunction)4.正弦函數(shù)（Simusoidalfunction）如海浪的擾動力5.單位脈沖函數(shù)與單位沖激函數(shù)(Impulsefunction)單位沖激函數(shù)的性質(zhì)時間響應(yīng)的性能指標通常在階躍函數(shù)作用下，測定或計算系統(tǒng)的動態(tài)性能。假定：系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用前處于靜止狀態(tài)，輸出量及各階導(dǎo)數(shù)均等于零。動態(tài)性能指標：

穩(wěn)定的系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下，動態(tài)過程隨時間變化狀況的指標動態(tài)性能指標動態(tài)性能指標示意圖1h(t)t時間tr上升峰值時間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%調(diào)節(jié)時間tsh(t)t上升時間tr調(diào)節(jié)時間ts動態(tài)性能指標示意圖2動態(tài)性能指標1、上升時間tr(RiseTime):

階躍響應(yīng)曲線從零第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。若階躍響應(yīng)曲線不超過穩(wěn)態(tài)值，則定義階躍響應(yīng)曲線從穩(wěn)定值的10%上升到90%所需時間為上升時間單位階躍響應(yīng)2、峰值時間tp

(PeakTime):

階躍響應(yīng)曲線（超過穩(wěn)態(tài)值）到達第一個峰值所需的時間稱為峰值時間單位階躍響應(yīng)3、延遲時間(DelayTime):

階躍響應(yīng)曲線第一次到達終值一半所需的時間單位階躍響應(yīng)4、最大超調(diào)量(MaximumOvershoot):%,Mp5、調(diào)節(jié)時間ts(SettlingTime):

階躍響應(yīng)曲線到達并保持在允許誤差范圍所對應(yīng)的時間稱為過渡過程時間或稱調(diào)節(jié)時間。誤差范圍常用終值的2%或5%6、振蕩次數(shù)N

在0<t<ts內(nèi)，階躍響應(yīng)曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半稱為振蕩次數(shù)。單位階躍響應(yīng)時域動態(tài)性能指標tr或tp評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度；ts同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標。σ%評價系統(tǒng)的阻尼程度。h(t)t時間tr上升峰值時間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%調(diào)節(jié)時間ts系統(tǒng)輸出響應(yīng)的求取

極點運動模態(tài)實數(shù)單極點σm重實數(shù)極點σ一對復(fù)數(shù)極點σ+jωm重復(fù)數(shù)極點σ+jω

根據(jù)拉氏反變換的部分分式法可知，有理分式C(S)的每一個極點（分母多項式的根）都對應(yīng)于c(t)中的一個時間響應(yīng)項，稱為運動模態(tài)。每種模態(tài)代表一種類型的運動型態(tài)。運動模態(tài)零極點與運動模態(tài)的關(guān)系C(t)就是由C(s)的所有極點所對應(yīng)的時間響應(yīng)項（運動模態(tài)）的線性組合。系統(tǒng)輸出信號拉氏變換的極點是由傳遞函數(shù)的極點和輸入信號拉氏變換的極點組成。傳遞函數(shù)極點所對應(yīng)的運動模態(tài)稱為系統(tǒng)的自由運動模態(tài)或振型(modeofvibration)。傳遞函數(shù)的零點不形成運動模態(tài)，但卻影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重，因而，也影響時間響應(yīng)及其曲線形狀。傳遞函數(shù)的極點對應(yīng)的時間響應(yīng)分量稱為瞬（暫）態(tài)分量；輸入信號拉氏變換的極點對應(yīng)的時間響應(yīng)分量稱為穩(wěn)態(tài)分量;零極點與運動模態(tài)的關(guān)系3.2一階系統(tǒng)的時域分析輸入信號r(t)與輸出信號c(t)的關(guān)系

用一階微分方程表示的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)常見的溫度控制系統(tǒng)和液壓控制系統(tǒng)中的被控對象都是一階系統(tǒng)將典型輸入信號加入系統(tǒng)

通過分析系統(tǒng)時域響應(yīng)來得到系統(tǒng)的性能指標（動態(tài)、穩(wěn)態(tài)）一階系統(tǒng)的時域分析1單位階躍響應(yīng)

穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量Unit-StepResponseofFirst-orderSystemR(s)的極點形成系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量。傳遞函數(shù)的極點是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。延遲時間：上升時間：調(diào)節(jié)時間：超調(diào)量：穩(wěn)態(tài)誤差：響應(yīng)速度與時間常數(shù)T成反比，T越小，響應(yīng)速度越快。td=0.69Ttr=2.2Tts=3T(=5%)4T(=2%)ess=02一階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)R(s)＝1可知，輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，這時輸出稱為單位沖激響應(yīng)，記作h(t)

Unit-impulseresponseoffirst-ordersystems3一階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)Cs=t-T是穩(wěn)態(tài)分量，也就是速度函數(shù)與輸入信號斜率相同，時間滯后一個時間常數(shù)T。Ct按指數(shù)規(guī)律衰減到零，衰減速度由極點決定Unit-rampResponseoffirst-orderSystems4一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)跟蹤誤差隨時間推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤。表1:一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng)系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。輸出響應(yīng)輸入信號3.3二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)1.典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型無阻尼自振角頻率，單位是rad/s阻尼比（相對阻尼系數(shù)），阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值兩種二階系統(tǒng)的典型形式二階系統(tǒng)的特征根二階系統(tǒng)的特征方程為：特征根等于：特征根分析s1,s2為位于復(fù)平面的左半部的一對共軛復(fù)根特征根分析s1,s2為一對相等的負實根阻尼比特征根（閉環(huán)極點）無阻尼過阻尼臨界阻尼系統(tǒng)輸出量發(fā)散欠阻尼分析當取不同值時的二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)C(t)及性能指標針對不同的典型輸入信號二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

(1)欠阻尼()二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)有阻尼自振角頻率求反拉氏變換，可得(1)欠阻尼()二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，表明系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差;

暫態(tài)響應(yīng)為按指數(shù)衰減的正弦振蕩形態(tài)，其振蕩頻率為(1)欠阻尼()二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)衰減的振蕩衰減速度與什么相關(guān)？與特征根分布關(guān)系如何阻尼比的減小將導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)的振蕩加劇，且衰減速度變慢；

臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)當時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào),單調(diào)上升過程(2)臨界阻尼()(3)過阻尼()1、過阻尼狀態(tài)的兩個特征根均為負實數(shù)，其響應(yīng)為兩個衰減的指數(shù)項的線性組合。2、響應(yīng)速度與兩個特征根相關(guān)的兩個時間常數(shù)共同決定3、響應(yīng)曲線是無振蕩單，無超調(diào)，調(diào)上升。不同于一階系統(tǒng)；tc(t)0二階過阻尼系統(tǒng)一階系統(tǒng)響應(yīng)1(3)過阻尼()（4）

=0（零阻尼）系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài)，振蕩頻率為n反之，如果系統(tǒng)以n

做等幅震蕩，則可以斷定，系統(tǒng)特征根必有共軛虛根（對高階系統(tǒng)也成立），系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。不穩(wěn)定單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)閉環(huán)極點0000取不同值（>0）時二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的曲線

二階欠阻尼單位階躍響應(yīng)性能指標t)(tc)(ptc1ptst誤差帶0rta.上升時間當阻尼比一定時，系統(tǒng)響應(yīng)速度與成正比當n一定時，阻尼比越小，上升時間越短b.峰值時間c.超調(diào)量阻尼比越大，超調(diào)量越小，反之亦然d.調(diào)整時間當阻尼比時e.振蕩次數(shù)N動態(tài)性能指標：反映系統(tǒng)阻尼程度綜合指標，反映響應(yīng)速度與阻尼程度反映系統(tǒng)響應(yīng)速度t)(tc)(ptc1ptst誤差帶0rt二階系統(tǒng)欠阻尼情況的階躍響應(yīng)性能指標在控制工程中，除了不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、快速的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時間。

二階系統(tǒng)一般取性能指標已知系統(tǒng)參數(shù)，求系統(tǒng)性能指標已知性能指標要求，調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)

典型例題例1要求系統(tǒng)性能指標為1、求解，n

求解K,KA例2.如圖所示單位反饋隨動系統(tǒng)，K=16s-1,T=0.25s,求：（1）求

和ts;（2)若要求=16%，當T不變時K應(yīng)當取何值？解（1）求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為因此有：（2）為使

=16%，由式當T=0.25不變時，則有二階系統(tǒng)性能的改善例3.加入速度反饋后，對系統(tǒng)性能指標有何影響？可增大阻尼比，減小超調(diào)量3.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

方法一：定義方法二：對系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)直接進行拉氏反變換，得不同值時二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng).

方法三：利用線性定常系統(tǒng)的齊次性，將二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)對時間求導(dǎo)數(shù)，即可得到二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。≥1，即為臨界阻尼或過阻尼，脈沖響應(yīng)g(t)不改變符號；

單位脈沖響應(yīng)曲線第一次與時間軸交點的時間為峰值時間tp;3.4高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

常見高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如下圖所示：主導(dǎo)極點求高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)很是困難，通常將多數(shù)高階系統(tǒng)化為一、二階系統(tǒng)加以分析。通常對于高階系統(tǒng)來說，離虛軸最近的一個或兩個閉環(huán)極點在時間響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，而其他離虛軸較遠的極點，他們在時間響應(yīng)中相應(yīng)的分量衰減較快，只起次要作用，可以忽略。這就是所謂的主導(dǎo)極點的概念

高階系統(tǒng)中離虛軸最近的極點，如與虛軸的距離小于其他極點離虛軸距離的1/5，且該極點附近沒有零點，可以認為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點決定，稱之為主導(dǎo)極點。非主導(dǎo)極點對應(yīng)時間響應(yīng)在上升時間之前能基本衰減完，只影響0~tr一段，對過渡時間ts等性能指標無影響。主導(dǎo)極點可為實數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)。具有一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點的高階系統(tǒng)可當作二階系統(tǒng)分析。主導(dǎo)極點偶極子：同一位置或相距很近的閉環(huán)零、極點，對系統(tǒng)的影響很小。高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)也可分為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量時間響應(yīng)的形式由輸入信號拉氏變換的極點決定，即輸入信號決定暫態(tài)分量就是系統(tǒng)的自由運動模態(tài)，形式由傳遞函數(shù)極點決定。高階系統(tǒng)時間響應(yīng)高階系統(tǒng)時間響應(yīng)1、暫態(tài)分量的各個運動模態(tài)衰減的快慢取決于對應(yīng)的極點和虛軸的距離，越遠衰減得越快。2、各模態(tài)對應(yīng)的系數(shù)和初相角取決于零極點的分布。若某一極點越靠近零點，則相應(yīng)的系數(shù)越小。若某極點遠離零點，越靠近原點和其他極點則相應(yīng)系數(shù)越大。3、系統(tǒng)零點和極點共同決定了系統(tǒng)響應(yīng)曲線形狀。對系數(shù)很小的運動模態(tài)或衰減很快的運動模態(tài)可以忽略，這時高階系統(tǒng)就近似為較低階系統(tǒng)。穩(wěn)定性是指系統(tǒng)當擾動作用消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能。不穩(wěn)定的系統(tǒng)會在微小的擾動作用下偏離原平衡態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散3.5線型定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性平衡位置的穩(wěn)定性力學(xué)系統(tǒng)中，外力為零時，位移保持不變的位置稱平衡位置。

平衡位置的穩(wěn)定性取決于：擾動消失后，系統(tǒng)能否能自行返回到原平衡位置。懸掛的擺，垂直位置是穩(wěn)定平衡位置。倒立的擺，垂直位置是不穩(wěn)定平衡位置?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性不論擾動引起的初始偏差有多大，擾動消失后，系統(tǒng)能夠以足夠的準確度恢復(fù)到初始平衡態(tài)，此類系統(tǒng)稱為大范圍穩(wěn)定系統(tǒng)。如只有擾動引起的初始偏差小于某一范圍時，系統(tǒng)才能在擾動消失后恢復(fù)初始平衡態(tài)，此類系統(tǒng)稱為小范圍穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定的線性系統(tǒng)必然在大范圍內(nèi)和小范圍內(nèi)都穩(wěn)定。假設(shè)系統(tǒng)具有一個平衡工作點，在該平衡工作點上，當輸入信號為零時，系統(tǒng)的輸出信號也為零?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性1892年俄國學(xué)者李雅普諾夫控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

控制系統(tǒng)穩(wěn)定性：

線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零（原工作點），則稱系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；

反之，若在初始擾動下，系統(tǒng)動態(tài)過程隨時間推移而發(fā)散則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)自身的固有特性，與外界條件無關(guān)線性定常系統(tǒng)微分方程一般形式：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的條件考慮初始條件，對上式取拉氏變換：線性系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)特征方程式的根都位于S的左半平面

充要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的條件系統(tǒng)穩(wěn)定性幾點說明1、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)輸入信號無關(guān)，而非線性系統(tǒng)常與外界信號有關(guān)。2、穩(wěn)定系統(tǒng)，輸出信號中的暫態(tài)分量都趨于零。3、線性定常系統(tǒng)，如不穩(wěn)定，輸出信號將隨時間的推移趨于無限大。實際系統(tǒng)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，其物理變量往往形成大幅值的等幅振蕩或趨于所能達到的最大值。4、如有閉環(huán)極點實部為零（位于虛軸上），其余極點都具有負實部，這時稱系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。此時，系統(tǒng)輸出信號將出現(xiàn)等幅振蕩，振蕩的角頻率就是純虛根的正虛部。反之，如做等幅振蕩，可知有純虛根。工程上，臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定，因為參數(shù)的微小變化會使極點具有正實部而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定如何判別系統(tǒng)穩(wěn)定性？1、求出閉環(huán)極點？2、實驗？高階系統(tǒng)難求如果不穩(wěn)定，可能導(dǎo)致嚴重后果特征方程根的分布（避免求解）→穩(wěn)定判據(jù)3.5.1勞斯穩(wěn)定判據(jù)(Routh’sstabilitycriterion)系統(tǒng)特征方程系數(shù)ai>0即所有系數(shù)為正數(shù)，系統(tǒng)不缺項。線性系統(tǒng)穩(wěn)定必要條件系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)穩(wěn)定性例：勞斯表系統(tǒng)特征方程為：則勞思表中各項系數(shù)如下：勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值系統(tǒng)穩(wěn)定勞斯判據(jù)充要條件如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定！?。》栕兓拇螖?shù)等于該特征方程式在S右半平面上根的個數(shù)。

已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為例3-5試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表該表第一列系數(shù)符號不全為正，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；且符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在S的右半平面。已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為

例3-6求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：列勞斯表由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值?？傻茫簞谒古袚?jù)的特殊情況勞斯表某一行中的第一項等于零，而該行的其余項不全為零勞斯表中出現(xiàn)全零行在這兩種情況下，系統(tǒng)處在不穩(wěn)定狀態(tài)或臨界穩(wěn)定狀態(tài),系統(tǒng)存在正實部根或大小相等符號相反的實根或共軛虛根。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定!

其符號變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目.如果第一列系數(shù)符號相同，相應(yīng)的系統(tǒng)臨界穩(wěn)定!

且方程中有成對共軛純虛根存在。

以一個很小的正數(shù)來代替為零的這項，據(jù)此算出其余的各項，完成勞斯表的排列1、勞斯表某一行中的第一項等于零

（而該行的其余項不全為零）判定方法已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3-7勞斯表第一列中系數(shù)的符號變化2次，則該方程在S右半平面上有兩根，系統(tǒng)為不穩(wěn)定解：列勞斯表-32-3-2/020

用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行，完成勞斯表的排列。輔助方程式的根也是特征方程的根??！且輔助方程式階數(shù)總是為偶數(shù)，即其根的數(shù)目總是偶數(shù)。輔助方程的根為大小相等符號相反的實根或共軛虛根。2、勞斯表中出現(xiàn)全零行判定

若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)系統(tǒng)不穩(wěn)定！如果第一列系數(shù)符號相同，相應(yīng)的系統(tǒng)臨界穩(wěn)定!列勞斯表第一列無符號變化，顯然這個系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。有兩對共軛虛根，系統(tǒng)做等幅振蕩，振蕩的頻率為2，16038166248012SSS000161220161221620813456SSSS同時，用輔助方程還可以解出剩余的兩個根0161620128223456=++++++SSSSSS

穩(wěn)定判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根離虛軸的距離遠近，也就是穩(wěn)定程度。勞斯判據(jù)的應(yīng)用實際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離如何判斷一個穩(wěn)定系統(tǒng)最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”？令S=Z+a代入原方程式中，得到以Z為變量的特征方程式。然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線S=a右側(cè)。勞斯判據(jù)的應(yīng)用sa0jω.為判斷根是否在直線s=a的左側(cè)或右側(cè)，可假定s=a處為新坐標系Z的虛軸，在新的坐標系下面使用routh判據(jù)便可判知。例3-8用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂線S=-1的右方。

解：列勞斯表

第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。令代入特征方程：列勞斯表第一列的系數(shù)符號變化了一次，表示原方程有一個根在垂直直線S=-1的右方。12114120123----ZZZZ已知一單位反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試回答當

例3-9時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？（Kp>0）

.列勞斯表解:閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一個或兩個可調(diào)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值

例.已知方框圖，系統(tǒng)以的頻率做等幅振蕩試確定振蕩時的參數(shù)3.5.2赫爾維茨（Hurwitz)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程的一般形式為：各階赫爾維茨行列式為：（一般規(guī)定）赫爾維茨（Hurwitz)穩(wěn)定判據(jù)赫爾維茨（Hurwitz)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

特征方程的赫爾維茨行列式Dk（k＝1,2,3,…，n）全部為正。103例：系統(tǒng)特征方程為：試用赫爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。104解：第一步：由特征方程得到各項系數(shù)２１３５第二步：計算各階赫爾維茨行列式結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定。１０控制系統(tǒng)的性能

動態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)誤差

3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

由參考輸入信號r(t)和擾動信號f(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差又稱原理性誤差。另外，制造誤差、參數(shù)變動、非線性因數(shù)都可引起穩(wěn)態(tài)誤差。本節(jié)只討論系統(tǒng)原理性誤差。無差系統(tǒng):在階躍輸入作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)有差系統(tǒng):在階躍輸入作用下有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)誤差的穩(wěn)態(tài)分量反映控制系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時跟蹤參考輸入信號或抑制擾動信號的能力，反映控制系統(tǒng)的精度，屬于穩(wěn)態(tài)性能，是對系統(tǒng)控制精度的度量。

對穩(wěn)定的系統(tǒng)該研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。穩(wěn)態(tài)誤差誤差e(t)包含瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩部分3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差誤差：一般采用在輸出端定義的誤差，即期望輸出與實際輸出之差3.6.1誤差的定義在輸入端定義：在輸出端定義：兩種定義：偏差，可測量誤差，不可直接測量被控量的期望值Cr(t)可知，框圖中，偏差不為0時，偏差產(chǎn)生作用，使得輸出量趨于期望值可得對應(yīng)等效框圖中，誤差位置：誤差和偏差的關(guān)系輸入信號引起的誤差Er(s)擾動作用下的誤差En(s)控制器)(sR)(sG)(1sG)(sG)(2sG)(sH)(sC)(sN?系統(tǒng)對擾動期望輸出為零，擾動產(chǎn)生的輸出端誤差信號為

輸出對擾動的傳遞函數(shù)控制器)(sR)(sG)(1sG)(sG)(2sG)(sH)(sC)(sN?當輸入信號和擾動信號都存在時，可以采用疊加原理求總的偏差。條件：當SE(s)的極點均位于S左半平面（包括S=0的極點）求解穩(wěn)態(tài)誤差方法一:終值定理可以得出穩(wěn)態(tài)誤差的終值，但不能得出穩(wěn)態(tài)誤差的時間表達式已知r(t)=t,f(t)=-1(t),求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差+-R(S)F(S)C(S)?判斷是否滿足條件：3.6.2系統(tǒng)型別K:為系統(tǒng)的開環(huán)增益，如何計算？設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為ν為積分環(huán)節(jié)數(shù)！

系統(tǒng)類型(type)與系統(tǒng)的階數(shù)(order)的區(qū)別對于不方便得到系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，可以由系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)包含s=0的個數(shù)來得到系統(tǒng)的型別方法二:靜態(tài)誤差系數(shù)求穩(wěn)態(tài)誤差以系統(tǒng)型別來求取穩(wěn)態(tài)誤差的優(yōu)點在于：

可以根據(jù)已知輸入信號形式，迅速判斷系統(tǒng)是否存在原理性穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的大小。下面的討論都假定系統(tǒng)為單位負反饋。此時滿足：1）階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差Staticpositionerrorconstant1）階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差１）把系統(tǒng)在階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。０型系統(tǒng)稱為有（靜）差系統(tǒng)。２）要使系統(tǒng)對階躍輸入作用不存在穩(wěn)態(tài)誤差，必須選用Ｉ及Ｉ型以上的系統(tǒng)。2）斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差Staticvelocityerrorconstant2）斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差０型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時，不能跟蹤斜坡輸入II型及II型以上的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時能準確跟蹤斜坡輸入信號，不存在位置誤差3）加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差Staticaccelerationerrorconstant3）加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差０、I型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時，不能跟蹤斜坡輸入III型及III型以上的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時能準確跟蹤斜坡輸入信號，不存在位置誤差0型系統(tǒng)只能跟蹤階躍信號（存在有限誤差）I型系統(tǒng)可以跟蹤階躍、斜坡（存在有限誤差）信號.II型及以上系統(tǒng)可完全跟蹤階躍、斜坡、拋物線（存在有限誤差）信號方法二:靜態(tài)誤差系數(shù)求穩(wěn)態(tài)誤差減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的方法？

1）靜態(tài)誤差系數(shù)法實質(zhì)是用終值定理法求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差值。2）只有當輸入是階躍、斜坡和加速度函數(shù)或是三種函數(shù)的線性組合時，靜態(tài)誤差系數(shù)才有意義。3）以上結(jié)論是針對系統(tǒng)為單位負反饋，如不是單位負反饋，則求出的是穩(wěn)態(tài)偏差,誤差可用下式求出：幾點說明例3-11某調(diào)速系統(tǒng)框圖如下，Kc=0.05V/(r/min)，求R(t)=1(t)V時的穩(wěn)態(tài)誤差+-R(S)C(S)0.1kc?方法三:動態(tài)誤差系數(shù)法Ci便是動態(tài)誤差系數(shù)，根據(jù)收斂條件t可知，本方法可以描述穩(wěn)態(tài)誤差ess(t)的時間表達式，而不是誤差信號中的瞬態(tài)分量ets(t)隨時間變化的情況。1）求穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)鍵是將誤差傳遞函數(shù)展開成s的冪級數(shù)。2）適用于輸入信號和擾