1.3 建立空間直角坐標(biāo)系和確定點(diǎn)坐標(biāo)的方法-(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)) (教師版)

建立空間直角坐標(biāo)系和確定點(diǎn)坐標(biāo)的方法1空間向量的直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A(2)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律①若a=(a1則a+b=λaa?aa⊥②若Ax1,y③模長(zhǎng)公式若a=(a1④夾角公式cos<?ABC中,⑤兩點(diǎn)間的距離公式若A(則|或d2建立直角坐標(biāo)系的方法(1)利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系(2)利用線(xiàn)面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系(3)利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系3確定空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的方法求點(diǎn)的坐標(biāo)和設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法是一致的，常見(jiàn)方法具體如下(1)射影法看所求點(diǎn)分別在x,y,z軸的投影對(duì)應(yīng)的數(shù)值.如求點(diǎn)P橫坐標(biāo)x，過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥平面xoy，再過(guò)點(diǎn)P1作P1或直接構(gòu)造長(zhǎng)方體OP，即求出線(xiàn)段P1P3、一般地，點(diǎn)在平面xOy、xOz、yOz或(2)公式法對(duì)中點(diǎn)、n等分點(diǎn)、重心等點(diǎn)可用公式求解；若點(diǎn)Ax則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)(x1+x2點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上且AP=λPB，則P(x(3)向量法(i)利用平行、垂直關(guān)系求某向量的坐標(biāo)，再求點(diǎn)坐標(biāo)；(ii)利用三角形法則或平行四邊形法則，求出某向量的坐標(biāo)，再求點(diǎn)坐標(biāo)；(iii)三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題：如若點(diǎn)Ax1,y1,z1,Bx2(4)幾何法：把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，常見(jiàn)于利用相似三角形的性質(zhì).(5)待定系數(shù)法：設(shè)點(diǎn)P(x,y,z)，利用已知條件求出x,y,z.(6)函數(shù)法：常用于設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；動(dòng)點(diǎn)P(a,b,c)在定直線(xiàn)AB上，把AB投影到空間坐標(biāo)系中某個(gè)平面，如投影平面xoy，得到投影直線(xiàn)A'B'方程，從而達(dá)到動(dòng)點(diǎn)P投影P'(a,b)中a,b的關(guān)系.以上的方法其實(shí)也是相通的，也還存在其他一些靈活的處理方法(比如平移法等)，都需要理解再靈活運(yùn)用.

【題型一】建立直角坐標(biāo)系的方法利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題1】如圖，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A為直角，AB∥CD，【解析】易得DA、DC、如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、D(后面解析省略)利用線(xiàn)面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題2】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，E為棱CC【解析】AB⊥側(cè)面BB1C1C而B(niǎo)C與BB1不垂直，原圖沒(méi)三條兩兩垂直直線(xiàn)，此時(shí)在平面B如圖，以B為原點(diǎn)，分別以BD、BB(后面解析省略)利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題3】如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD與面【解析】取AD的中點(diǎn)O，連接VO，∵?VAD是正三角形，∴VO⊥AD又∵平面VAD⊥底面ABCD∴VO⊥平面ABCD則以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OV所在直線(xiàn)為x、z軸，以過(guò)點(diǎn)O作【點(diǎn)撥】①同一道題目中建系的方法不是唯一，是優(yōu)是劣取決于關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是否好求；②建系最根本的想法是找到兩兩垂直的三線(xiàn)，多關(guān)注題中有垂直關(guān)系的量，(1)垂直關(guān)系：長(zhǎng)方體模型、等腰三角形的三線(xiàn)合一、菱形對(duì)角線(xiàn)相互垂直等；(2)若有線(xiàn)面垂直，則可考慮該面為平面xOy、(3)若有面面垂直，則可考慮兩面為平面xOy、xOz③若是分別以O(shè)A、OB、OC所所在直線(xiàn)為x鞏固練習(xí)1(★)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1【答案】以D為原點(diǎn)，分別以BD、DA、DF2(★★)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為【答案】以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OA、OP3(★★)如圖，三棱錐V－ABC的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面ABC與側(cè)面VAC都是以【答案】取AC中點(diǎn)E，以E為原點(diǎn)，分別以EB、EC、EV【題型二】確定空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的方法情況1求點(diǎn)的坐標(biāo)【典題1】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，平行六面體高為23，頂點(diǎn)D在底面(1)A(2)G；(3)B；(4)若N為DD1上點(diǎn)，且ON⊥DD【解析】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C1、OD所在直線(xiàn)為y,z軸，以過(guò)點(diǎn)O作B(1)射影法求點(diǎn)A1(x,y,z)，在平面xoy上則由圖可知它到y(tǒng)軸投影D1對(duì)應(yīng)數(shù)值-2，則y=-2，到x軸投影對(duì)應(yīng)數(shù)值為2，則x=2，即A1同理得B1(2)公式法∵G是△AB∴G=(由三角形重心公式(x1(3)向量法設(shè)B(x,y,z)，則B1B=又∵B1B=D比較得x=2,y=4,z=23∴點(diǎn)B坐標(biāo)為2,4,23(投影法也可以(4)∵D1、N、D即D1∴ON∴N0,2λ-2,2∵ON∴0+4λ-1+12λ=0解得故N0,-【點(diǎn)撥】(1)射影法：看所求點(diǎn)分別在x,y,z軸的投影對(duì)應(yīng)的數(shù)值；一般地，點(diǎn)在平面xOy、xOz、yOz或②公式法：對(duì)中點(diǎn)、n等分點(diǎn)、重心等點(diǎn)可用公式求解；③向量法：常用于涉及到平行、垂直、共線(xiàn)等向量關(guān)系中的點(diǎn).各方法之間也是相通的，需要理解再靈活運(yùn)用.【典題2】如圖，矩形ABCD中，2BC=CD，E為CD的中點(diǎn)，以BE為折痕把四邊形ABED折起，使A達(dá)到P的位置，且PC⊥BC,M，N，F(xiàn)分別為PB，BC，EC的中點(diǎn)．建系求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】設(shè)BC=2，則BN=CN=1，CF=EF=1，以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CE為y軸，過(guò)C作平面BCE的垂直CQ為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0)，E(0,2,0)，F(xiàn)(0,1,0)，設(shè)P(x,y,z)，PB=CD=2BC=4，則PE=PD2∴(x-2)2+y2+∴P(0,2,22).(【點(diǎn)撥】利用待定系數(shù)法，設(shè)P(x,y,z)，再利用兩點(diǎn)距離公式求得點(diǎn)的坐標(biāo).情況2設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)【典題3】長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2AD，M是CD中點(diǎn)(圖1)，將?ADM沿AM折起，使得AD⊥BM(圖2)在圖2中(1)求證：平面ADM⊥平面ABCM；(2)在線(xiàn)段BD上是否存點(diǎn)E，使得二面角E-AM-D的余弦值為55【解析】(1)證明：在長(zhǎng)方形ABCD中，由AB=2AD=22，M是DC得AM=BM=2，而AB=22，∴AM2又AD⊥BM，且AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM，而B(niǎo)M?平面ABCD，∴平面ADM⊥平面ABCM；(2)思路：先根據(jù)“點(diǎn)E(a,b,c)在線(xiàn)段BD上”，得到其坐標(biāo)形式(即找到a,b,c的關(guān)系)，再利用二面角余弦值求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；那怎么引入?yún)?shù)設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)呢？解：取AB中點(diǎn)N，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以MN，MC所在直線(xiàn)為x，y軸，在平面ADM內(nèi)，過(guò)M作底面垂線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則M(0,0,0)，A(2,-1,0)，D(MA=(2方法1向量法設(shè)E為線(xiàn)段BD上的點(diǎn)，則DE=λME=DE-DM=(2(以上是由共線(xiàn)關(guān)系利用向量法引入?yún)?shù)λ設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo))(PS以下求λ的過(guò)程學(xué)完求二面角的向量法方能理解)設(shè)平面AMD的一個(gè)法向量為m=(x1,y由m?MA=2x由n?取y2=2由cos<m解得λ=3+6(舍)或∴在線(xiàn)段BD上存點(diǎn)E，使得二面角E-AM-D的余弦值為55方法2函數(shù)法設(shè)E(a,b,c)，∵D(22,-∴點(diǎn)B、D、E在平面xoy上投影為(相當(dāng)于把直線(xiàn)BD投影到平面xoy上，空間問(wèn)題化為平面問(wèn)題，降維處理)求得直線(xiàn)B'D'的方程為y=322點(diǎn)B、D、E在平面yoz上投影為求得直線(xiàn)B''D''的方程為z=-23y+所以E的坐標(biāo)可設(shè)為(a,3以下求解類(lèi)似方法1！【點(diǎn)撥】①本題在處理“點(diǎn)E在線(xiàn)段BD上”這一條件時(shí)，想設(shè)點(diǎn)Ea,b,c找到a,b,c的關(guān)系，介紹了向量法和函數(shù)法，而向量法引入變量λ表示a,b,c，而函數(shù)法變量是a，用其表示b,c②有時(shí)也可用幾何法相似求解，比如在方法2中求E(a,b,c)中b、如下圖，過(guò)點(diǎn)D''、E分別作D''H⊥x由?D''HB''~?EGB''得D''鞏固練習(xí)1(★★)一張平行四邊形的硬紙ABC0D中，AD=BD=1，AB=2.沿它的對(duì)角線(xiàn)BD折起，使點(diǎn)C0到達(dá)平面外C點(diǎn)的位置【答案】，如圖建系，則C122(★★)四棱錐S-ABCD中，