5.6 三角函數(shù)倍角公式 -(人教A版2019必修第一冊(cè)) (教師版)

三角函數(shù)倍角公式(本專(zhuān)題僅為公式求值、公式變換等鞏固練習(xí)，其應(yīng)用在另一專(zhuān)題講解)1二倍角的正弦余弦正切公式①sin2α=2sinαcosα②cos2α=co③tαn2α=(由S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)可推導(dǎo)出sin2α，cos2α，2降冪公式co(由余弦倍角公式可得)3*sin(由降冪公式可得)4*sin(由倍角公式可得)5*sinα?cosβ=cosα?cosβ=sinα?sinβ=(由和差公式可得)6*sinα+sinβ=2cosα+cosβ=2(由和差公式可得)

【題型一】倍角公式的運(yùn)用【典題1】求值cos20°cos35°1-sin20°=【解析】cos20°===cos10°+sin10°=2【典題2】計(jì)算4cos50°【解析】4cos50°=4cos===【點(diǎn)撥】①正切化弦；②注意角度之間的關(guān)系，比如互余(50°與40°、80°與10°)、倍數(shù)關(guān)系、角度相差值是特殊值(10°【典題3】如果1+tanα1-tanα=2013，那么1cos2α【解析】1cos2α=1cos2α+s=cos=cos=1+tanα【點(diǎn)撥】①本題的思路有二，一是先化簡(jiǎn)所求式子再利用已知條件，化二倍角為一倍角；二是由已知可求tanα，進(jìn)而可得sinα,cosα，再求tan②化切為弦是常見(jiàn)思路，也可1+2tanα1-ta【典題4】已知sin(π12-α2)=【解析】∵sin(∴cos∴sin【點(diǎn)撥】α2與2α是四倍關(guān)系，故可用借助α【典題5】若α∈(0,π2)，且cos2α=25sin(α+π【解析】∵α∈(0,π2)∴cos2α=2∴cos∴cosα-sinα=∴①式兩邊平方可得：1-2sinαcosα=125，解得∴2sinαcosαsin2α+cos可得12tan2α－25tanα+12=0由①可知cosα>sinα，即tanα<1，(注意對(duì)最后求值的取舍)∴tanα=3【點(diǎn)撥】本題的處理方法很多，平時(shí)要多注意一題多解，提高對(duì)公式靈活運(yùn)用的能力.比如湊角cos2α=25sinα+π4?sin鞏固練習(xí)1(★)計(jì)算3-tan12°(2cos212°-1)sin12°【答案】8【解析】原式=32(★)已知θ∈(0,π2),sinθ=55，則cos2θ【答案】65【解析】∵θ∈(0，π2)，則cos2θtanθ3(★)若tanα+1tanα=3，則cos4α=【答案】19【解析】∵tanα∴sin2∴cos44(★★)設(shè)tanα=12，cos(π+β)=-45(β∈(0,π))，【答案】724【解析】∵cos(π+β)=-cosβ=-45，∴cosβ=∴tan(2α5(★★)已知α∈(0,π)，且3cos2α－8cosα=5，則sinα【答案】53【解析】由3cos2α－8cos即3cos2α－4cosα－4=0∵α∈(0，則sinα6(★★)已知α∈(0,π2)，若sin2α－2cos2α=2，【答案】25【解析】∵sin2∴sin2α=2(cos2∵α∈(∴sin∵sin解得sin2α=7(★★)已知α∈(π2,π),tan2α=34,則【答案】-1【解析】∵tan2α=∴tanα=－3或∴sin28(★★)已知sinα=2sinβ,tanα=3tanβ，則cos2α【答案】-14【解析】∵已知sinα=2sinβ，∴sin∵tanα=3tanβ，∴sinαcosα=若②成立，則把①、②平方相加可得1=1解得cos2α=若③成立，則有cos2α=1綜上可得，cos2α=-故答案為：-14或1．【題型二】降冪公式的運(yùn)用【典題1】在?ABC中，若3cos2A-B2【解析】在?ABC中，若3co∴3×即3即3(cosAcosB+sinAsinB)=5(cosAcosB-sinAsinB)，即2cosAcosB=8sinAsinB,∴tαnAtαnB=【點(diǎn)撥】式子中出現(xiàn)“平方”形式，想到降冪公式cos2α=鞏固練習(xí)1(★★)若cos2θ=14，則sin2θ+2cos2θ【答案】138【解析】∵cos2∴sin2(★★)已知tanθ是方程x2－6x+1=0的一根，則cos2【答案】13【解析】∵tanθ是方程∴tan2θ可得sin2θ－∴sin2∴co3(★★)已知cos2αsinα+cosα=24，則cos2【答案】78【解析】∵cos2α∴兩邊平方，可得1－sin2α∴cos【題型三】角的變換【典題1】若sin(θ+π8)=13，則【解析】∵2θ-π4∴sin2θ-【點(diǎn)撥】因?yàn)橐阎铅?π8和所求角2θ-π4中θ的系數(shù)是2倍的關(guān)系，故想到2θ+π8【典題2】已知sin(α+3π4)=45，cos(【解析】由-π4<α<π4得，所以cos(α+3由π4<β<3所以sin(π4所以cos[(α+=cos(α+=即－所以cos2【點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知角之和α+34π+π4【總結(jié)】①當(dāng)已知角只有一個(gè)時(shí)，可已知角與所求角的和或差的值是否為一固定特殊角，或看已知角(所求角)的2倍與所求角(已知角)和或差的值是否為一固定特殊角；當(dāng)已知角有兩個(gè)時(shí)，主要看兩個(gè)已知角的和或差形式與所求角的關(guān)系；特殊角為0、π②常見(jiàn)的角變換有：α=2?α2，α=β=12③在運(yùn)用和差角公式和倍角公式時(shí)，要注意“整體思想”的運(yùn)用.鞏固練習(xí)1(★★)若cos(α+π12)=23，則sin(【答案】-5【解析】∵cos(∴cos[2(α+即cos[π2(★★)已知cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)【答案】-31【解析】∵cos(α+∴(α+π6cos(2α+π∴sin(2α+∴cos(2=cos(2α+π=-=-3(★★)已知cos(θ+π6)=-33，則sin(【答案】-1【解析】∵cos(θ+∴sin(=2(-4(★★)已知cosα=255，cos(β－α)=31010，【答案】π4【解析】由于0<α<β<π所以sinα=55．cos(β所以cosβ所以β=π5(★★★)已知π2<β<α<3π4，且cos(α－【答案】-3365【解析】∵π2<β<∵cos(α－∴sin(α－則cos2＝cos(=1213×(-46(★★★)設(shè)0<x1<x2<π，若sin(2【答案】3【解析】設(shè)0<x1∵sin(2∴0<2∴∴-∴cos(2∴cos2(=cos2∴co∴co∴cos(x1【題型四】簡(jiǎn)單的三角恒等變換(選學(xué)內(nèi)容)【典題1】若α∈(0,π)，且sinα+2cosα【解析】∵α∈(0,π設(shè)tanα2=∵sinα=∴sin即x+1-x2【點(diǎn)撥】本題利用萬(wàn)能公式，也可利用sinα+2cosα=2求出sinα【典題2】在△ABC中，B=π4，則sinAsinC的最大值是【解析】方法一兩角和差公式、二倍角公式sinAsinC=sinAsin(=sinAsin(3π=2∵0<A<3π4∴當(dāng)2A-π4=π2，即A=方法二積化和差sinAsinC==1∵-1≤cos∴-2-當(dāng)A-C=0，即A=C=3π8時(shí)，sinAsinC取得最大值【點(diǎn)撥】掌握積化和差公式，對(duì)于處理含涉及sinAsinB,c鞏固練習(xí)1(★★)sin220°+cos80【答案】14【解析】sin=sin=sin=sin=1-=12(★★)sin(α+30°)-sin(α-30°)cosα的值為【答案】1【解析】sin(α+30°)-sin(α-30°)cosα3(★★)已知θ為第二象限角，25sin2θ+sinθ-24=0【答案】±4【解析】∵θ∴sin則2kπ則kπ<θ當(dāng)k是偶數(shù)，設(shè)k=2n，則2nπ<θ2<當(dāng)k是奇數(shù)，設(shè)k=2n+1，則2nπ+π<θ則θ2∵25∴sinθ=-1∴cosθ=∴sinθ2=4(★★)若sinα=-35，α是第三象限角，則1-tanα【答案】