第2章點(diǎn)、直線、平面的投影

第2章點(diǎn)、直線、平面的投影

2.1投影的基本知識(shí)

2.2點(diǎn)的投影

2.3直線的投影

2.4平面的投影

一、投影的概念投影——空間物體在光線的照射下，在地上或墻上產(chǎn)生的影子，這種現(xiàn)象叫做投影。投影法——在投影面上作出物體投影的方法稱為投影法?！?-1投影的基本知識(shí)H1.中心投影法：全部投影線都從一點(diǎn)投射出。S特性：投影大小與物體和投影面之間距離有關(guān)。二、投影法的種類2.平行投影法:所有投影線都相互平行。

特性：投影大小與物體和投影面之間距離無關(guān)。P2.平行投影法1）正投影法：（主要學(xué)習(xí)此種投影方法）投射線互相平行且垂直于投影面特性：投影大小與物體和投影面之間距離無關(guān)。所有投影線都相互平行。H2）斜投影法：投影線傾斜于投影面。三、正投影法的主要特性

1.點(diǎn)的投影：Aa

點(diǎn)的投影仍是一點(diǎn)。H2.直線的投影

直線的投影一般情況下仍為直線，在特殊情況下積聚為一點(diǎn)。

1）直線平行于投影面abAB

在該面上的投影ab反映空間直線AB的真實(shí)長度。即：ab=ABH2）直線垂直于投影面CDc（d）在該面上的投影有積聚性，其投影為一點(diǎn)。H

3）直線傾斜于投影面EFefα在該面上的投影長度變短，即：ef=Efcosα。H3.平面的投影

平面的投影一般仍是相類似的平面圖形，在特殊情況下積聚為直線。

1）平面平行于投影面ABCabc投影△abc反映空間平面△ABC的真實(shí)形狀。H2）平面垂直于投影面DEFdef在投影面上的投影積聚為直線。H3）平面傾斜于投影面KLMKlm投影△klm面積變小。四、物體的三面投影圖1.三面投影圖的形成

三投影面體系由三個(gè)相互垂直的投影面所組成。正立投影面簡稱正面。水平投影面簡稱水平面。側(cè)立投影面簡稱側(cè)面。兩投影面的交線稱為投影軸。VHXYZWO2.物體在三投影面體系中的投影正面投影—由前向后投影；水平面投影—由上向下投影；側(cè)面投影—由左向右投影。3.三投影面的展開VHWOXYHZYW側(cè)面W繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90ο。水平面H繞OX軸向下旋90ο。規(guī)定：正面V保持不動(dòng)。VHXYZWO§2-2點(diǎn)的投影一、點(diǎn)在兩投影面體系中的投影

過A作垂直于V、H面的投射線Aa′、Aa，分別與H面交于a，與V面交于a′，a、a′即為點(diǎn)A的兩面投影。HOXAaa'VVHOXAaa′實(shí)際作圖時(shí)不畫投影面邊框。VHOXaa′axa′aOX點(diǎn)的兩面投影規(guī)律：（1）點(diǎn)的兩投影連線垂直于投影軸，即

aa'⊥ox；（2）點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于該點(diǎn)到相鄰?fù)队懊娴木嚯x，即：

a'ax=Aaaax=Aa'二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影XYHYWZOa'a"a規(guī)定：空間點(diǎn)A用大寫字母表示，在H面的投影a，在V面的投影用a'，在W面的投影用a"表示。aVHWXYHYW

Za'a"O（1）點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸。即：a'a⊥ox，a'a"⊥oz（2）點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于該點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是該點(diǎn)到相應(yīng)投影面的距離。三、點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系：

將投影面體系當(dāng)作空間直角坐標(biāo)系，把V、H、W當(dāng)作坐標(biāo)面，投影軸ox、oy、oz當(dāng)作坐標(biāo)軸，o作為原點(diǎn)。點(diǎn)A的空間位置可以用直角坐標(biāo)（x，y，z）來表示。

點(diǎn)的三面投影規(guī)律：點(diǎn)A的x坐標(biāo)值=oax=aay=a'az=Aa"反映點(diǎn)A到W面的距離。點(diǎn)A的Y坐標(biāo)值=oay=aax=a"az=Aa'反映點(diǎn)A到V面的距離。點(diǎn)A的Z坐標(biāo)值=oaz=a'ax=a"ay=Aa反映點(diǎn)A到H面的距離。Oa"aywXYHYWZaa'axazayhxyza由點(diǎn)A的x、y值確定，a'由點(diǎn)A的x、z確定，a"由點(diǎn)A的y、z值確定。例1：已知點(diǎn)的坐標(biāo)值為：A（20，10，15）和

B（0，15，20）求它們的三面投影圖。解（1）量取坐標(biāo)值；XOYHYWZaa'a"bb'b"（2）作點(diǎn)的投影。bb"c'c"xyHywoa'a"z例2：已知各點(diǎn)的兩面投影，求作其第三投影，并判斷點(diǎn)

對(duì)投影面的相對(duì)位置。點(diǎn)A的三個(gè)坐標(biāo)值均不為0，A為一般位置。點(diǎn)B的Z坐標(biāo)為0，故點(diǎn)B為H面上的點(diǎn)。點(diǎn)C的x、y坐標(biāo)為0，故點(diǎn)C為z軸上的點(diǎn)。ab'c四、兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)：

1.兩點(diǎn)的相對(duì)位置要在投影圖上判斷空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置，應(yīng)根據(jù)兩點(diǎn)的各個(gè)同面投影關(guān)系和坐標(biāo)差來確定。例：由投影圖判斷A、B兩點(diǎn)的空間位置。aa'bb'XOYHYWZa"b"（1）由A、B兩點(diǎn)V、H面投影可確定點(diǎn)A在點(diǎn)B左方。（2）由A、B的H、W面投影可確定點(diǎn)A在點(diǎn)B前方。（3）由A、B的V、W面投影可確定點(diǎn)A在點(diǎn)B下方。因此點(diǎn)A位于點(diǎn)B左、前、下方。2.重影點(diǎn)重影點(diǎn)——空間兩點(diǎn)的同面投影重合于一點(diǎn)叫做重影點(diǎn)。如圖：C、D兩點(diǎn)的水平投影重影為一點(diǎn)。OXc（d）c'd'又因點(diǎn)C在點(diǎn)D的正方，C點(diǎn)可見，D點(diǎn)被遮蓋。作圖時(shí)不可見點(diǎn)加括號(hào)。結(jié)論：如果兩個(gè)點(diǎn)的某面投影重合時(shí)，則對(duì)該投影面的投影坐標(biāo)值大者為可見，小者為不可見。例：已知點(diǎn)D的三面投影，點(diǎn)C在點(diǎn)D的正前方15mm，

求作點(diǎn)C的三面投影，并判別其投影的可見性。解：由已知條件知：XC=XDZC=ZD

YC-YD=15mm因?yàn)辄c(diǎn)C、D在V面上的投影重影。cc'c"又因?yàn)閅C>YD所以C的V面投影為可見點(diǎn)，則D的V面投影為不可見點(diǎn)。d'YWYHOXZdd"()

一、直線的投影：直線的投影一般為直線，可由直線上兩點(diǎn)的同面投影連線確定?！?-3直線的投影例：已知直線AB端點(diǎn)坐標(biāo)為A（20，15，5）,B（5，5，15）作AB的三面投影。OXYHYWZaa'a"bb'b"二、各種位置直線的投影特性1.一般位置直線YWOXYHZaa'a"bb'b"如圖示：直線的三面投影長度均小于實(shí)長，三面投影均傾斜于投影軸，但不反映空間直線對(duì)投影面傾角的大小。2.投影面平行線投影圖OXYHYWZaa'a"bb'b"1）水平線：平行于H面，對(duì)V、W面傾斜。水平投影ab=AB正面投影a'b'∥OX，側(cè)面投影a"b"∥OYwβγab與OX、OYH的夾角β、γ等于AB對(duì)V、W面的傾角。cdc'd'c"d"2）正平線：平行于V，對(duì)H、W傾斜O(jiān)XYHYWZαγ正面投影c'd'=CD水平投影cd∥OX側(cè)面投影c"d"∥OZc'd'與OX、OZ的夾角α、γ等于CD對(duì)H、W面的傾角。3）側(cè)平線：平行于W面，對(duì)V、H面傾斜。側(cè)面投影e"f"=EF水平投影ef∥OYH，正面投影e'f'∥OZ。e"f"與OYW、OZ的夾角α、β等于EF對(duì)V、H面的傾角。αβOXYHYWZefe'f'e"f"3.投影面垂直線1）鉛垂線：直線垂直H面，平行V、W面。OXYHYWZa（b）a'b'a"b"水平投影積聚為一點(diǎn)。a'b'=a"b"=ABa'b'⊥OX，a"b"⊥OYW2）正垂線：直線垂直V面，平行H、W面。OXYHYWZcdc'(d')c"d"正面投影積聚為一點(diǎn)。cd=c"d"=CDcd⊥OX，c"d"⊥OZ3）側(cè)垂線：直線垂直W面，平行H、V面。OXYHYWZefe'f'e''（f"）側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)。ef=e'f'=EFef⊥OYH，e'f'⊥OZ。三、直線上的點(diǎn)

1.直線上的點(diǎn)：點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的各面投影必定在該直線的同面投影上；反之，點(diǎn)的各面投影均在直線的同面投影上，則該點(diǎn)必在此直線上。OXYHYWZaa'a"bb'b"kk'k"2.點(diǎn)分割線段成定比直線上的點(diǎn)分割直線之比，在投影后保持不變。YHa'OXYWZaa"bb'b"kk'k"即：AK:KB=ak:kb=a'k':k'b'=a"k":k"b"例1：試在直線AB上取一點(diǎn)C，使AC:CB=1:2，求作C點(diǎn)。解：分點(diǎn)C的投影必在AB

的同面投影上。且

ac:cb=a'c':c'b'=1:2OXaba'b'123cc'例2：已知直線CD及點(diǎn)M的兩面投影，判斷M是否在CD上。OXcdc'd'mm'解1:作側(cè)平線CD和點(diǎn)M的側(cè)面投影。

由作圖知點(diǎn)M的側(cè)面投影不在cd上，所以M不在CD上。c"d"m"zYHYW解2:在H面作任一直線cE，使cE=c'd'。并截取cM1=c'm'EM1連dE，過M1作dE的平行線與cd交于m1mOXcdc'd'm'm1因?yàn)閙1與m不重合，所以M不在CD上。例2：已知直線CD及點(diǎn)M的兩面投影，判斷M是否在CD上。ABCD四、兩直線相對(duì)位置

空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉1.平行兩直線：投影特性：空間兩直線相互平行，它們的各組同面投影必定相互平行。abcd

反之，若兩直線的各同面投影相互平行，則兩直線在空間一定平行。ABCDK2.相交兩直線abcdkK是兩直線的共有點(diǎn)，∴K在平面上的投影k必在ab上，又必在cd上。交點(diǎn)K的三面投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律。OXZYHYWabcdka'b'c'd'k'a"b"c"d"k"交點(diǎn)K的三面投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律。3.交叉兩直線

在空間即不平行也不相交的兩直線為交叉兩直線。交叉兩直線的同面投影可能相交，但不符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律。aa'bb'cc'dd'

直線AB和直線CD兩面投影的交點(diǎn)連線不⊥OX軸，∴為交叉兩直線。aa'bb'cc'dd'

交叉兩直線投影的交點(diǎn)并不是空間兩直線真正的交點(diǎn)，而是兩直線上相應(yīng)點(diǎn)投影的重影點(diǎn)。

對(duì)重影點(diǎn)應(yīng)區(qū)分其可見性，即根據(jù)重影點(diǎn)對(duì)同一投影面的坐標(biāo)值大小來判斷。坐標(biāo)值大者為可見點(diǎn)，小者為不可見點(diǎn)。11'22'33'44'()()例1：判斷兩直線的相對(duì)位置。交點(diǎn)的連線垂直于OX，且兩直線為一般位置直線，由兩面投影可判斷為相交兩線?！遖b與cd在一直線上，而a'b'∥c'd'，∴兩直線平行?！逤D為側(cè)平線，利用點(diǎn)分割線段成比例進(jìn)行判斷。為交叉兩直線。OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'Emkdd'kk'aa'bb'cc'??例2：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作CD的正面投影

例3：已知：兩直線AB、CD的投影及點(diǎn)M的水平投影m，試作一直線MN∥CD并與直線AB相交于N點(diǎn)。nn'm'作圖：過m作mn∥cd，并與ab交于n；由n求出n'；過n'作n'm'∥c'd'，求得m'。aa'bb'cc'dd'mOX

掌握點(diǎn)與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。

點(diǎn)與直線及兩直線相對(duì)位置的判斷方法及投影特性。點(diǎn)分割直線成定比——定比定理。

小結(jié)：§2-4平面的投影一、平面的表示法用幾何元素表示平面不在同一直線上的三點(diǎn)。aa'bb'cc'a'ab'bc'c一直線和線外一點(diǎn)。c'ca'ab'b相交兩直線。b'ba'ac'cdd'平行兩直線。b'ba'ac'c任意平面形。二、各種位置平面的投影鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嫠矫嬲矫?/p>

側(cè)平面平行于某一投影面垂直于某一投影面特殊位置平面對(duì)三個(gè)投影面都傾斜

投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1.投影面垂直面

垂直于某一個(gè)投影面，而傾斜于其余兩個(gè)投影面的平面為投影面垂直面。垂直的投影面上投影有積聚性其余兩投影面的投影為類似形OXZYHYWaa'a"bb'b"cc'c"βγ投影面垂直面的投影特性：平面在所垂直的投影面上的投影積聚為直線；其余兩投影面的投影為原形的類似形，但比實(shí)形小；

平面具有積聚性的投影與投影軸的夾角，分別反映平面與相應(yīng)投影面的傾角。2.投影面平行面

平行于某一個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面，該平面必然垂直于其余兩個(gè)投影面。在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。其余兩投影積聚為直線，并平行于相應(yīng)的投影軸。OXZYHYWaa'a"bb'b"cc'c"投影面平形面的投影特性：

平面在所平行的投影面上的投影反映

實(shí)形；

其余兩投影積聚為直線，并分別平行于相應(yīng)的投影軸。3.一般位置平面

對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的平面。它的各面投影均不反映實(shí)形，也不具有積聚性。不直接反映該平面與投影面的傾角。OXYWYHZaa'a"bb'b"cc'c"三、平面上的點(diǎn)和直線定理一：若直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在

該平面內(nèi)。定理二：若一直線過平面內(nèi)的一點(diǎn)，且平行于該平面上另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。定理三：若點(diǎn)在平面內(nèi)，它必在平面內(nèi)的一條直線上。1.平面上的點(diǎn)和直線例1：已知△ABC平面內(nèi)點(diǎn)K的V面投影k'