高數(shù)第七章 微分方程

微分方程

第七章—積分問題—微分方程問題

推廣

第七章微分方程的基本概念第一節(jié)第七章常微分方程偏微分方程(本章內(nèi)容)微分方程的基本概念分類含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程

.微分方程的階.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做一般地,n

階常微分方程的形式是—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程—確定通解中任意常數(shù)的條件.的階數(shù)相同.特解微分方程的解

—

不含任意常數(shù)的解,定解條件

其圖形稱為積分曲線.n階方程的初始條件(或初值條件):引例1可分離變量微分方程第二節(jié)可分離變量方程的類型:轉(zhuǎn)化

分離變量分離變量第七章可分離變量方程的解法:兩邊積分,得

①②則有說明：設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為G(y),F(x),說明由分離變量得②確定的隱函數(shù)

是①的解；

當(dāng)G(y)與F(x)可微且時(shí),

也是①的解.同樣,當(dāng)

時(shí),由②確定的隱函數(shù)

稱②為方程①的,或.隱式通解通積分減解.在求解過程中每一步不一定是同解變形,求微分方程的通解.解兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明:因此可能增、(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0)例1分離變量得例2解兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為解初值問題分離變量得思考與練習(xí)求下列方程的通解:提示:(1)分離變量(2)方程變形為齊次方程第三節(jié)代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:形如的方程叫做齊次方程.第七章例3解

代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(當(dāng)C=0

時(shí),

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))此處解微分方程例4解則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:(C

為任意常數(shù))在求解過程中丟失了.解微分方程方程可變形為顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但一階線性微分方程第四節(jié)第七章一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為;齊次線性方程稱為.非齊次線性方程1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程則故原方程的通解即即作變換兩端積分得用:常數(shù)變易法例5的通解.解故方程可變形為所求通解為這是以為因變量

y為自變量的一階線性方程求方程注意x,y

同號(hào),由一階線性方程,得通解公式解方程法1.線性方程法2.

則代入原方程得可分離變量方程例6取

y

作自變量:作變換由此可解得原方程的通解為內(nèi)容小結(jié)1一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式2.注意用變量代換將方程化為已知類型的方程例如,解方程可轉(zhuǎn)化為解線性方程思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程可降階高階微分方程第五節(jié)一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程四、應(yīng)用型例題選講

第七章一、型的微分方程

例7解

型的微分方程設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、例8解

代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為求解三、型的微分方程

令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解例9解代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得解初值問題令高階線性微分方程第六節(jié)一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

第七章n

階線性微分方程(二階線性微分方程)時(shí),稱為非齊次方程;時(shí),稱為齊次方程.復(fù)習(xí):通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y的一般形式為一階線性方程證畢一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個(gè)解,也是該方程的解.證

代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關(guān)與線性無關(guān)的線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個(gè)恒為0,則必線性相關(guān)充要條件:定理2是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解,數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證)

推論.是

n

階齊次方程的n

個(gè)線性無關(guān)解,則方程的通解為則三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

是二階非齊次方程的一個(gè)特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3則是非齊次方程的通解.證代入方程①左端,得②①將是非齊次方程的解,又Y中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如,

有特解對(duì)應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②

也是通解.方程定理4分別是方程的特解,是方程的特解.定理3,定理4均可推廣到n

階線性非齊次方程.(非齊次方程之解的疊加原理)定理5是對(duì)應(yīng)齊次方程的n

個(gè)線性無關(guān)特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例2提示:都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證)例10

已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件的特解.解

是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三常系數(shù)第七節(jié)齊次線性微分方程基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化第七章二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②稱②為微分方程①的,特征方程其根稱為.特征根特征方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.例11的通解.解特征根:因此原方程的通解為例12解有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為特征方程求解初值問題特征方程例13解有特征復(fù)根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為求解初值問題特征方程內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當(dāng)時(shí),通解為(2)當(dāng)時(shí),通解為(3)當(dāng)時(shí),通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.常系數(shù)非齊次線性微分方程第八節(jié)二、一、第七章二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法一、

為實(shí)數(shù),為m

次多項(xiàng)式.對(duì)方程①,此結(jié)論可推廣到高階常