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文檔簡介
第五章大數(shù)定律及中心極限定理§1大數(shù)定律引言概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性).頻率具有穩(wěn)定性(當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)無限增大時(shí),頻率穩(wěn)定在一個(gè)數(shù)的附近).大量測(cè)量值的算術(shù)平均值在一定條件下也具有穩(wěn)定性(n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均,當(dāng)n
無限增加時(shí),在某種收斂的意義下逼近某一常數(shù)).大數(shù)定律就是討論在什么條件下n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均是穩(wěn)定的.定義:對(duì)隨機(jī)變量序列Yn(n=1,2,…),若存在常數(shù)a,使得對(duì)于任意正數(shù)
e
,有則稱Yn(n=1,2,…)依概率收斂于a
,記為
.是指:
,
,當(dāng)
時(shí),依概率收斂a-ea+ea定義:對(duì)隨機(jī)變量序列Yn(n=1,2,…),若存在常數(shù)a,使得對(duì)于任意正數(shù)
e
,有則稱Yn(n=1,2,…)依概率收斂于a
,記為
.是指:當(dāng)時(shí),Yn
落在(a-e,a+e
)內(nèi)的概率越來越大,無限接近于1.依概率收斂Yna-ea+ea返回大數(shù)定律定義:設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xk,…都存在數(shù)學(xué)期望,即 若即對(duì)于任意正數(shù)
e
,有則稱Xk(k=1,2,…)服從大數(shù)定律.返回這是常數(shù)!定理1(切比雪夫大數(shù)定律):設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xk,…相互獨(dú)立,且有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:E(Xk)=m,D(Xk)=s
2(k=1,2,…)則即對(duì)于任意正數(shù)
e
,有.其中.三個(gè)常用的大數(shù)定律證明:根據(jù)切比雪夫不等式可知:對(duì)于任意正數(shù)e
,都有這里于是
令
,則回顧:切比雪夫不等式定理(切比雪夫不等式):設(shè)隨機(jī)變量X具有期望和方差,E(X)=m,D(X)=s
2則對(duì)于任意正數(shù)e
,都有常用的等價(jià)形式返回三個(gè)常用的大數(shù)定律定理2(伯努利大數(shù)定律):設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù).p
是事件A
在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則即對(duì)于任意正數(shù)e
,有或頻率的穩(wěn)定性證明:設(shè),k=1,2,…,n則X1,X2,…,Xn
相互獨(dú)立,且Xk~b(1,p),于是E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p),k=1,2,…,n又
,,根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律,有即對(duì)于任意正數(shù)e
,有結(jié)論:課本P.147第1段第
k
次試驗(yàn)中事件
A
不發(fā)生第
k
次試驗(yàn)中事件
A
發(fā)生定理1(切比雪夫大數(shù)定律):設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xk,…相互獨(dú)立,且有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:E(Xk)=m,D(Xk)=s
2(k=1,2,…)則即其中三個(gè)常用的大數(shù)定律三個(gè)常用的大數(shù)定律定理3(辛欽大數(shù)定律):設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xk,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有相同的數(shù)學(xué)期望:E(Xk)=m(k=1,2,…)則即對(duì)于任意正數(shù)
e
,有.§2中心極限定理高爾頓釘板試驗(yàn)每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子,它們彼此距離均相等,上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間.從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間距離的小球.在下落過程中,小球碰到釘子時(shí)從左邊落下與從右邊落下的機(jī)會(huì)均等.當(dāng)小球個(gè)數(shù)足夠多時(shí),可以看到小球在釘板底端堆成的曲線近似于正態(tài)分布.
高爾頓釘板試驗(yàn)令Xk(k=1,2,…,n)表示小球第
k次碰到釘子后向右(左)落下:則E(Xk)=0,D(Xk)=1,且Xk(k=1,2,…,n)相互獨(dú)立.令Yn(n=1,2,…)表示小球經(jīng)過n
次碰釘后的落點(diǎn)位置,試驗(yàn)表明向右落下向左落下近似地
引言客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量,它們是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所形成的.這些隨機(jī)因素在總的影響中所起的作用都是微小的.這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布.中心極限定理就是討論在什么條件下,獨(dú)立隨機(jī)變量的和近似服從正態(tài)分布.定義:設(shè)Xk(k=1,2,…)
為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,存在數(shù)學(xué)期望和方差(不一定相等):E(Xk)=mk,D(Xk)=sk
2>0
(k=1,2,…)若當(dāng)n
充分大時(shí),則稱Xk(k=1,2,…)服從中心極限定理.中心極限定理近似地幾個(gè)常用的中心極限定理定理1(獨(dú)立同分布的中心極限定理):設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xk,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且有相同的期望和方差:E(Xk)=m,D(Xk)=s
2>0
(k=1,2,…),則近似地幾個(gè)常用的中心極限定理定理1續(xù)(獨(dú)立同分布的中心極限定理):設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xk,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且有數(shù)學(xué)期望和方差:E(Xk)=m,D(Xk)=s
2>0(k=1,2,…),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,n
個(gè)隨機(jī)變量的和的標(biāo)準(zhǔn)化變量的分布函數(shù)Fn(x)
收斂于F(x),即幾個(gè)常用的中心極限定理定理1續(xù)(獨(dú)立同分布的中心極限定理):設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xk,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且有數(shù)學(xué)期望和方差:E(Xk)=m,D(Xk)=s
2>0(k=1,2,…),則近似地近似地大數(shù)定律與中心極限定理的關(guān)系當(dāng)隨機(jī)變量序列Xk(k=1,2,…)獨(dú)立同分布,且E(Xk)=m,
D(Xk)=s
2>0(k=1,2,…)時(shí),兩個(gè)定理都成立,可以作比較.對(duì)于任意正數(shù)e
,根據(jù)大數(shù)定律,有根據(jù)中心極限定理,有中心極限定理給出了收斂速度的估計(jì)幾個(gè)常用的中心極限定理定理2(棣莫佛—拉普拉斯定理):設(shè)隨機(jī)變量Yn
(n=1,2,…)服從二項(xiàng)分布b(n,p),則即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)y,有近似地證明:設(shè)X1,X2,…,Xn
相互獨(dú)立,Xk~b(1,p)
,k=1,2,…,n則E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p),k=1,2,…,n又
,根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理,有例:一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓Vk
(k=1,2,…,20),設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布.記V=V1+V2+…+V20,求P{V
>105}的近似值.解:
E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,k=1,2,…,20,根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理,有其中近似地例:一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓Vk
(k=1,2,…,20),設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布.記V=V1+V2+…+V20,求P{V
>105}的近似值.解(續(xù)):
E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,k=1,2,…,20,根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理,有近似地例:一船舶在某海區(qū)航行,已知遭受一次波浪的沖擊,縱搖角大于3o的概率為p=1/3,若船舶遭受了90000次波浪沖擊,問其中有29500到30500次縱搖角大于3o的概率是多少?解:設(shè)在90000次波浪沖擊中,縱搖角大于3o的次數(shù)為X,則X~b(90000,1/3),于是所求概率解(續(xù)):設(shè)在90000次波浪沖擊中,縱搖角大于3o的次數(shù)為X,則X~b(90000,1/3),于是根據(jù)棣莫佛—拉普拉斯定理,有其中n=90000,p=1/3.例:對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言,來參加家長會(huì)的家長人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會(huì)議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生,設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長人數(shù)相互獨(dú)立,且服從同一分布.求參加會(huì)議的家長數(shù)X
超過450的概率;求有1名家長來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.解:(1)以Xk(k=1,2,…,400)表示第k個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家長數(shù),則于是E(Xk)=1.1,D(Xk)=0.19,k=1,2,…,400.解:(1)以Xk(k=1,2,…,400)表示第k個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家長數(shù),則于是E(Xk)=1.1,D(Xk)=0.19,k=1,2,…,400.又X=X1+X2+…+X400,根據(jù)獨(dú)立同分布的中
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