福建省三明市第一中學(xué)人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-1教案第二章圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題

圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題一、學(xué)情解析解析最近幾年來(lái)的全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題，發(fā)現(xiàn)解析幾何在高考試題中沒(méi)有中檔題，并且只散布在客觀題和壓軸題中（對(duì)客觀題的解答在此暫不議論）。從學(xué)生解答壓軸題（綜合題）的狀況看，相當(dāng)多的缺點(diǎn)出在運(yùn)算上，究其原由，經(jīng)常因?yàn)榉椒ㄟx擇不妥也許運(yùn)算不合理（解題策略意識(shí)差），造成半途擱淺或結(jié)果出錯(cuò)。好多老師在教課中也有這樣的感覺(jué)，學(xué)生解題時(shí)極少講究解題策略，拿到題目就瞎撞亂碰，而運(yùn)算時(shí)也經(jīng)常毫無(wú)目標(biāo)意識(shí)（經(jīng)常聯(lián)立方程，殊不知需要用到哪些量），不講究運(yùn)算可否合理，盲目性較大。所以，研究怎樣增強(qiáng)解析幾何的解題策略意識(shí)，提高運(yùn)算的速度和正確度，就顯得很有必需和特別迫切。（一）解析幾何學(xué)習(xí)阻擋解析1、難在公式眾多；2、難在方法多樣；3、難在運(yùn)算復(fù)雜。匚）原由解析1、缺少對(duì)向量語(yǔ)言的翻譯能力和應(yīng)用能力解幾在高考中成為一個(gè)重要熱門，常有的命題形式有兩種：①解析幾何題題設(shè)條件經(jīng)過(guò)向量語(yǔ)言來(lái)描述，（在某種程度大將傳統(tǒng)題中的坐標(biāo)關(guān)系、線段關(guān)系用向量表示，解題目標(biāo)經(jīng)常就是將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)目化，從而將推理轉(zhuǎn)變?yōu)槭炝?xí)的代數(shù)運(yùn)算），表現(xiàn)出向量知識(shí)在解析幾何中的浸透，在知識(shí)教會(huì)點(diǎn)處命題；②向量作為一種工具，能夠用向量方法來(lái)解決解析幾何問(wèn)題。從歷年高考統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，解析幾何壓軸題得分率還不到20%,從答卷來(lái)看，一部分學(xué)生不能夠從眾多的數(shù)學(xué)符號(hào)和式子中理出眉目，無(wú)力解答問(wèn)題。還有一部分學(xué)生過(guò)早地把向量符號(hào)坐標(biāo)化，因?yàn)樵O(shè)“元”太多，而墜入復(fù)雜運(yùn)算，進(jìn)而迷失了方向。若是解析幾何題的表達(dá)方向以向量語(yǔ)言為主，這就要求解答者第一要把向量形語(yǔ)言，再對(duì)幾何圖形做出整體解析，爾后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)思想求解。

語(yǔ)言轉(zhuǎn)變?yōu)閳D2、沒(méi)有掌握基本的運(yùn)算方法，沒(méi)有形成基本的運(yùn)算能力因?yàn)榻馕鰩缀晤}綜合性強(qiáng)、運(yùn)算繁瑣，學(xué)生極易產(chǎn)生懼怕心理，考試時(shí)采納放棄的策略，進(jìn)而平常也不重視解析幾何的復(fù)習(xí)，致使放棄了一些能力范圍內(nèi)的題，實(shí)在惋惜。好多學(xué)生做不下去的重點(diǎn)原由是沒(méi)有抓住要領(lǐng)，死記公式，不能夠靈便應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)責(zé)問(wèn)題。運(yùn)算繁瑣也是因?yàn)椴恢烂總€(gè)公式適用的場(chǎng)所，亂用公式人為致使運(yùn)算復(fù)雜，最后不得不放棄。其實(shí)解析幾何中的公式其實(shí)不多，可是一定要記住該記住的。主要公式如：兩

點(diǎn)之間的距離3、不會(huì)選擇合理的運(yùn)算路子，走不出運(yùn)算量大的魔圈①平幾浸透，數(shù)形結(jié)合。解析幾何第一是考慮幾何問(wèn)題，一味重申停析幾何中的代數(shù)運(yùn)算，有時(shí)會(huì)致使繁瑣的運(yùn)算過(guò)程，必需時(shí)綜合考慮幾何要素，即在用代數(shù)方法研究曲線間關(guān)系的同時(shí)，充分利用好圖形自己所擁有的平面幾何性質(zhì)，經(jīng)常能夠獲得簡(jiǎn)捷而優(yōu)美的解法。②注意轉(zhuǎn)變條件，優(yōu)化解題方法。解析幾何中有一些基本問(wèn)題，如兩直線垂直的證明、求弦的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)的計(jì)算等等，這些問(wèn)題的辦理方法是熟知的。但有很多題目，所給的條件無(wú)法直接使用，也許使用起來(lái)比較困難，此時(shí)能夠考慮對(duì)條件適合的轉(zhuǎn)變，使解題過(guò)程歸入熟習(xí)的軌道。③巧設(shè)方程，方便計(jì)算。方程形式對(duì)運(yùn)算也起著很重要的作用，如在解決直線與圓錐曲線地址關(guān)系時(shí)，過(guò)定點(diǎn)0,b的直線可設(shè)為x=myb，這樣不單能夠回避對(duì)直線斜率可否存在的分類議論，并且能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算、優(yōu)化解題過(guò)程、提高解題速度。別的，當(dāng)遇到多條直線時(shí)，應(yīng)抓住擁有的共同特點(diǎn)的直線，依據(jù)其共同特點(diǎn)設(shè)直線方程（常有的對(duì)偶式），才能使運(yùn)算簡(jiǎn)單，問(wèn)題得以解決。④客服思想定勢(shì)，提升解題能力。思想定勢(shì)在運(yùn)算中有踴躍的一面，也有消極的影響。當(dāng)學(xué)生掌握了某一知識(shí)（方法），經(jīng)常習(xí)慣使用這類知識(shí)（方法）去思慮問(wèn)題，能夠使思想簡(jiǎn)單集中，使知識(shí)很快進(jìn)入到問(wèn)題的重點(diǎn)，但是，思想定勢(shì)也會(huì)出現(xiàn)思想的惰性和失掉靈便性，會(huì)影響運(yùn)算的速度，使運(yùn)算繁冗不堪，并且更簡(jiǎn)單進(jìn)入思想的死胡同。（三）怎樣確實(shí)解決學(xué)習(xí)解析幾何的阻擋？第一，狠抓審題能力的培育。在遇到新奇的題型或條件時(shí)，學(xué)生經(jīng)常被表象所迷惑，感覺(jué)無(wú)從下手或不能夠找到適合的切入點(diǎn)，致使思想短路、運(yùn)算錯(cuò)誤，而不能夠正確解答。在講解例題時(shí)教師不該在例題出示后急于給學(xué)生提示或點(diǎn)撥，應(yīng)給出充分時(shí)間讓學(xué)生踴躍思慮，讓學(xué)生在充分思慮、互動(dòng)交流的基礎(chǔ)上自我發(fā)現(xiàn)適合的解題思路。其次，培育解析幾何運(yùn)算的信心，養(yǎng)成優(yōu)異的運(yùn)算習(xí)慣。解析幾何的運(yùn)算量大，有的學(xué)生對(duì)提升運(yùn)算能力缺少足夠的重視，他們總是感覺(jué)懂就行，只要我考試時(shí)認(rèn)真算就行，也有老師只重視解題方法和思路指引，而忽略對(duì)運(yùn)算過(guò)程的合理性、簡(jiǎn)捷性的必需指導(dǎo)。這樣不單影響學(xué)生思想能力的發(fā)展，也必然影響教課質(zhì)量的提升。所以教課時(shí)要狠抓運(yùn)算功，確定以解題訓(xùn)練為中心的課堂教課模式。指引學(xué)生在確定解題思路后踏扎實(shí)實(shí)地循序漸進(jìn)的把步驟做出來(lái)。只有做出來(lái)才能發(fā)現(xiàn)自己的問(wèn)題，也只有做出來(lái)才能成立自己的解題信心。、教課目的(一)知識(shí)目標(biāo)：⑴定點(diǎn)的觀點(diǎn)：含有可變參數(shù)的曲線系所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)中不隨參數(shù)變化的某個(gè)點(diǎn)或某幾個(gè)點(diǎn)；(2)求解定點(diǎn)的方法：把曲線系方程依據(jù)參數(shù)進(jìn)行集項(xiàng)，使得方程對(duì)任意參數(shù)恒成立的方程組的解即為曲線系恒過(guò)的定點(diǎn)；定值的觀點(diǎn)：不隨其余量的變化而發(fā)生數(shù)值變化的量；求解定值的方法：成立這個(gè)量關(guān)于其余量的關(guān)系式，最后的結(jié)果與其余變化的量沒(méi)關(guān)。(二)能力目標(biāo)：培育學(xué)生研究問(wèn)題，并將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單問(wèn)題的能力；培育學(xué)生特別問(wèn)題與一般問(wèn)題的轉(zhuǎn)變能力增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力；培育學(xué)生利用模塊知識(shí)，解決綜合問(wèn)題的能力；培育學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。(三)感情態(tài)度價(jià)值觀：(1)經(jīng)過(guò)對(duì)特別狀況的解析，轉(zhuǎn)變至對(duì)一般狀況的證明，使學(xué)生形成特別到一般的數(shù)學(xué)思想；解：①特別地址的商議：如圖1,當(dāng)過(guò)點(diǎn)M（m,O）（m.0）的直線與x垂直時(shí)，x1x2=m2,y1y2=-2pm;②一般性的證明：如圖2,當(dāng)過(guò)點(diǎn)M（m，O）（m.0）的直線與x垂直時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M（m，0）（m.0）的直線方程為：x=ty-m.'x=ty+m22由」2二y_2pty_2pm=0ny1-y2=一2pmnx1-x2=m.y=2px小結(jié)：①定點(diǎn)、定值、定形問(wèn)題的求解，先“特別”研究，再證明一般的狀況；②“特別”是指：特別點(diǎn)、特別地址、特別直線、極端地址（空間圖形的平面軌跡）、極限地址、特別值、特別圖形（如：三棱錐一正四周體）、初始值（如數(shù)列問(wèn)題，第一用a1、a2、a3求出知足條件的參數(shù)，再證明一般的狀況）；③華羅庚教授屢次重申：“退，退，退到原始狀態(tài)，退到最簡(jiǎn)單的地址”，即“特別”探路；④直線與x軸垂直，是很“簡(jiǎn)單忘記”的失分參數(shù).有了“特別”探路的解題意識(shí)，相反能提升警惕，提升得分能力；2⑤相關(guān)結(jié)論：當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，x-!-x2=—，y1-y2=-p2;當(dāng)直線過(guò)42點(diǎn)（-號(hào),。）時(shí)，x-X2=—，%-y2=p2；24（二）研究“對(duì)稱”地址例2、已知拋物線C:y2=2x，點(diǎn)A、點(diǎn)B是拋物線C上兩點(diǎn)，且0A_0B,求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)。解：研究對(duì)稱性：直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)曲線而言擁有對(duì)稱性，即兩交點(diǎn)擁有同樣地位和性質(zhì)，進(jìn)而使圖形造成“對(duì)稱”。由對(duì)稱性質(zhì)可立刻判斷此定

點(diǎn)必在

x軸上(

因?yàn)辄c(diǎn)

A

和點(diǎn)B

相關(guān)于拋物線對(duì)稱軸地位等同

)

，并進(jìn)一步判斷其

定點(diǎn)正好是在

AB

垂直于

x

軸是，即

0A，0B

與

x

軸均成

45°

(關(guān)于

x

軸對(duì)稱

)

，故立刻知定點(diǎn)必為

P2,0

。所以，以下只要要證明過(guò)點(diǎn)P

的動(dòng)直線與曲線的兩交線方程：y2=2x得y—2ky—4=0。________22因?yàn)镺AOB=Xjx2y』2二也也2y〔y2二-y^y2y1y24=0，與參數(shù)k24沒(méi)關(guān)，所以O(shè)A_OB，進(jìn)而證了然上述結(jié)論。這樣證明與老例方法證明對(duì)照較其優(yōu)越性顯而易見(jiàn)。例3、(三明一中高三理.周末綜合測(cè)試卷519)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy22中，已知RXo，yo是橢圓C：——1上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓2412R：X-xoJy—yoi=8作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P、Q。(1)若R點(diǎn)在第一象限，且直線OP,OQ相互垂直，求圓R的方程；(2)若直線OP,OQ斜率均存在，并記為k1,k2，求k1k2的值；2試問(wèn)OP+OQ可否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明原由。解：察看圖形，因?yàn)橹本€OP,OQ與QR圓R相切，則RQ^OQ,RP1OP。且RQ=RP=2.2O⑴當(dāng)OP_OQ時(shí)，顯然OPRQ，為邊長(zhǎng)為2、、2的正方形，故OR=4。由y*Rxo，yo在橢圓上，可聯(lián)立方程組22QR

Xoy°二16x2y2，經(jīng)加減消元PXo_生=i2412O得R22,2.2。故此時(shí)圓R的方程為22x-2.2y-22i；=8。經(jīng)察看發(fā)現(xiàn)此時(shí)圓R與坐標(biāo)軸相切，且P、Q分別為橢圓的右極點(diǎn)與上極點(diǎn)。（2）研究特別地址R為右極點(diǎn)時(shí)，顯然知足題設(shè)，此時(shí)?ROQ=/ROP二二2；21111一，k2二koQ，故只要考據(jù)k1k2-且sin<2V2*2，故&=koP2扌6v3由圓與直線相切，圓心到直線距離等于半徑，可證得該結(jié)論或由對(duì)偶式進(jìn)行證明（詳細(xì)證明過(guò)程，略）。22

O

R（3）由⑴可知，若OPOQ存在定值則定值為a2b2=36。（詳細(xì)證明過(guò)程，略）2練習(xí)1、（三明一中高三理.周末測(cè)試卷420）已知橢圓C：y2=1，設(shè)點(diǎn)M4y為橢圓上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，

A、B

分別為橢圓的左極點(diǎn)和下極點(diǎn)，

直線

MB

與

x

軸訂交于點(diǎn)

C，直線

MA與

y

軸訂交于點(diǎn)

D，求證：四邊形

ABCD

的面積為定值。四、小結(jié)1、考慮定值問(wèn)題，特值為先；2、注意問(wèn)題轉(zhuǎn)變，優(yōu)化問(wèn)題；3、增強(qiáng)圖形直觀，數(shù)形結(jié)合；4、狠