剪力彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系

§4–5剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系(relationshipsbetweenload,shear

force,andbendingmoment)一、彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系(differentialrelationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)q=q(x)規(guī)定：q(x)向上為正。將x

軸的坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端。設(shè)梁上作用有任意分布荷載其集度xyq(x)FmFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)假想地用坐標(biāo)為x

和x+dx的兩橫截面m-m

和n-n

從梁中取出dx

一段。mmnnq(x)Cx+dx

截面處則分別為

Fs(x)+dFs(x),M(x)+dM(x)

。由于dx很小，略去q(x)

沿dx的變化m-m截面上內(nèi)力為Fs(x),M(x)xyq(x)Fmxmmnn

dx

Y=0Fs(x)-[Fs(x)+dFs(x)]+q(x)dx=0得到

寫(xiě)出平衡方程Fs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C略去二階無(wú)窮小量即得=q(x)dFs(x)dxdM(x)dx=Fs(x)

dM(x)22dx=q(x)=q(x)dxdFs(x)公式的幾何意義剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。

dM(x)22dx=q(x)dx=Fs(x)dxdFs(x)

=q(x)dM(x)M(x)圖為一向上凸的二次拋物線Fs(x)圖為一向右下方傾斜的直線xFs(x)o二、q(x)、Fs(x)圖、M（x）圖三者間的關(guān)系(relationshipsbetweenload,shear

force,andbendingmomentdiagrams)1、梁上有向下的均布荷載，即q(x)<0xoM(x)2、梁上無(wú)荷載區(qū)段，即

q(x)=0剪力圖為一條水平直線彎矩圖為一斜直線xFs(x)o當(dāng)Fs(x)>0時(shí)，向右上方傾斜。當(dāng)Fs(x)<0時(shí)，向右下方傾斜。

dM(x)22dx=q(x)dx=Fs(x)dxdFs(x)

=q(x)dM(x)xoM(x)oM(x)3、梁上最大彎矩Mmax可能發(fā)生在Fs(x)=0的截面上;或發(fā)生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用處；最大剪力可能發(fā)生在集中力所在的截面上；或分布載荷發(fā)生變化的區(qū)段上。4、在集中力作用處剪力圖有突變，其突變值等于集中力的值。彎矩圖有轉(zhuǎn)折。5、在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無(wú)變化。

dM(x)22dx=q(x)dx=Fs(x)dxdFs(x)

=q(x)dM(x)q<0向下的均布荷載無(wú)荷載集中力FC集中力偶mC向下傾斜的直線上凸的二次拋物線在Fs=0的截面水平直線一般斜直線或在C處有突變F在C處有轉(zhuǎn)折在剪力突變的截面在C處無(wú)變化C在C處有突變m在緊靠C的某一側(cè)截面一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征最大彎矩所在截面的可能位置表4-1在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征三、分布荷載集度，剪力和彎矩之間的積分關(guān)系(integralrelationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)若在x=x1

和x=x2處兩個(gè)橫截面A，B間無(wú)集中力則等號(hào)右邊積分的幾何意義是，上述A，B兩橫截面間分布荷載圖的面積。式中，F(xiàn)sx1，F(xiàn)sx2分別為在x=x1

和x=x2

處兩個(gè)橫截面上的剪力。若橫截面A，B間無(wú)集中力偶作用則得式中，MA，MB分別為在x=a,x=b處兩個(gè)橫截面

A及B上的彎矩。等號(hào)右邊積分的幾何意義是，A，B兩個(gè)橫截面間剪力圖的面積。例題1：一簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)力F作用，如圖

a所示。已知F=25.3kN，有關(guān)尺寸如圖所示。試用本節(jié)所述關(guān)系作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）、求梁的支反力BACD2001151265FFBACD2001151265FF將梁分為AC，CD，DB三段。每一段均屬無(wú)載荷區(qū)段。BACD2001151265FF2、剪力圖每段梁的剪力圖均為水平直線AC段：FsA右=RA

=23.6KNCD段：FsC右=RA-F=-1.7KNDB段：FsD右=-RB=-27KN23最大剪力發(fā)生在DB段中的任一橫截面上123.61.727FsB右=080KN80KNDB段：水平直線CD段：

向右下方的斜直線AC段：水平直線

FsA右

=RA=80KN2、剪力圖EqABCD0.21.612RARBEqABCD0.21.612最大剪力發(fā)生在AC和DB段的任一橫截面上。RARB80KN80KN3、彎矩圖AC段：向上傾斜的直線CD段：向上凸的二次拋物線1EqABCD0.21.612RARB其極值點(diǎn)在Fs=0的中點(diǎn)E處的橫截面上。DB段：向下傾斜的直線

MB=

01EqABCD0.21.612FAFB161648

MB=

0全梁的最大彎矩梁跨中E點(diǎn)的橫截面上。EqABCD0.21.612單位：KN.m例題3：作梁的內(nèi)力圖解：支座反力為3m4mABcDE4m4m將梁分為AC、CD、DB、BE四段3m4mABcDE4m4mDB：水平直線(—）Fs=F2-RB=-3kNEB：水平直線(—）3m4mABcDE4m4m3m4mABcDE4m4mFs=-3KN7KN1KN3KN3KN2KN3m4mABcDE4m4m20.5201666解：支座反力為RA=81KNRB=29KNmA

=96.5KN.m例題5：

用簡(jiǎn)易法作組合梁的剪力圖和彎矩圖。10.5113F=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmAq=20kN/m將梁分為AE，EC，CD，DK，KB五段。10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/mFxFqxlqxF單獨(dú)作用Fs單獨(dú)作用F，q作用該截面上的彎矩等于F，q單獨(dú)作用該截面上的彎矩的代數(shù)和疊加原理的應(yīng)用F=1/3qlPxPqxlqx1/2ql2+-1/6ql21/3l1/18ql2§4—6平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖平面剛架的內(nèi)力：剪力（forceshear)，彎矩(bendingmoment)，軸力(axialforce).ABC平面剛架是由在同一平面內(nèi)，不同取向的桿件，通過(guò)桿端相互剛性連結(jié)而組成的結(jié)構(gòu)。一、平面剛架的內(nèi)力圖（internaldiagramsforplaneframemembers）（internaldiagramsforplaneframemembers&acurvedbars)例題：圖示為下端固定的剛架。在其軸線平面內(nèi)受集中力F1和F2作用，作此剛架的彎矩圖和軸力圖。alF1F2ABC解：將剛架分為CB，AB兩段CB段：FN(x)=0M(x)=F1x(0xa)CxM(x)alF1F2ABCxFN(x)Fs(x)Fs(x)=F1(+)(0<x<a)CBaBA段：FN(x)=F1（—）

(0xl)M(x)=F1a+F2

x

(0xl)alF1F2ABCxFs(x)Fs(x)=F2(+)(0<x<l)F1FN圖CB段FN(x)=0BA段FN(x)=F1（—）alF1F2ABCFs圖CB段：BA段：alF1F2ABCF2F1Fs(x)=F2(+)Fs(x)=F1(+)M圖CB段：M(x)=F1x(0xa)BA