2017-2018版高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.2瞬時(shí)變化率-導(dǎo)數(shù)（二）學(xué)案版2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1.1。2瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解導(dǎo)數(shù)的概念.2。會(huì)求曲線過(guò)某點(diǎn)的的切線方程.3.能利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決一些實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)思考1已知f（x）＝x2，求f′（1）與f′（x)．思考2試說(shuō)明思考1中的f′（1）與f′(x)的區(qū)別與聯(lián)系．從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到，當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0）是一個(gè)確定的數(shù)．這樣，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x）便是x的一個(gè)函數(shù)，它們稱它為f（x）的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))．y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′.類型一導(dǎo)函數(shù)例1求函數(shù)f(x）＝eq\r（x2＋1)的導(dǎo)函數(shù)．反思與感悟充分把握導(dǎo)函數(shù)的定義，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分子有理化對(duì)Δy進(jìn)行變形是解答本題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1已知f(x）＝x－eq\f(1,x），若f′（x0）＝eq\f（5，4),試求x0的值．類型二求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程例2試求過(guò)點(diǎn)P（3,5)且與曲線y＝x2相切的直線方程．反思與感悟求曲線y＝f(x）過(guò)點(diǎn)P的切線方程的步驟：(1)設(shè)切點(diǎn)為坐標(biāo)為M(x0，y0）；(2）利用M(x0,y0）求曲線在M處切線的斜率f′（x0)；(3)由斜率公式，求出kMP；(4)利用f′(x0)＝kMP，從而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)及kMP;(5)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出所求切線的方程．跟蹤訓(xùn)練2求過(guò)點(diǎn)P(－1，0)并與拋物線y＝x2＋x＋1相切的直線方程．類型三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例3(1)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，3]上的圖象如圖所示，記k1＝f′（1)，k2＝f′（2)，k3＝f（2）－f（1）,則k1，k2,k3之間的大小關(guān)系為_(kāi)_______．（請(qǐng)用“〉”連接)（2）設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x3－eq\r(3）x＋eq\f（2，3)上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處的切線傾斜角為α，則α的取值范圍為_(kāi)_______．反思與感悟?qū)?shù)幾何意義的綜合應(yīng)用問(wèn)題的解題關(guān)鍵還是對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用題目所提供的諸如直線的位置關(guān)系、斜率最值范圍等關(guān)系求解相關(guān)問(wèn)題，此處常與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相結(jié)合．跟蹤訓(xùn)練3（1)若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間［a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a,b］上的圖象可能是________．(2)曲線y＝eq\f（1，x)和y＝x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積是________．1．已知f′（2）＝2，令g（x）＝eq\f（fx－Δx－fx，Δx）,則g（2）＝________.2．設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f′(x0)＞0,則曲線y＝f（x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍是________．3。已知函數(shù)y＝f(x）的圖象如圖所示，則f′（xA）與f′(xB）的大小關(guān)系是________．4．求曲線y＝－x2＋1過(guò)點(diǎn)P（2,1）的切線的傾斜角的正切值．1．f′(x0)與f′(x）的區(qū)別與聯(lián)系：f′（x0）是函數(shù)y＝f（x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)具體的函數(shù)值．f′(x）是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，它隨x的變化而變化．求f′（x0）可用定義求,也可以先求f′(x)，再求f′(x0)．2．利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)曲線外一點(diǎn)的切線方程的步驟:（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，f(x0)）;（2)求出函數(shù)f(x）在x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0),即為切線的斜率；(3)由斜率公式，求出已知點(diǎn)與切點(diǎn)的連線的斜率k；(4）解方程k＝f′(x0)，求得x0，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)與所求切線的斜率；(5）根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出所求切線的方程．3．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，f′（x0）能反映曲線在x＝x0處的升降及升降快慢程度,f′（x0)為正值，曲線在該點(diǎn)處上升，f′(x0）為負(fù)值,曲線在該點(diǎn)處下降,｜f′（x0)｜越大,曲線在該點(diǎn)升降速度越快．提醒:完成作業(yè)1。1.2(二）

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1eq\f（Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝2x＋Δx,當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx）→2x,∴f′(x）＝2x，f′（1）＝2。思考2f′（1)是數(shù)值，f′(x）是函數(shù),而導(dǎo)函數(shù)f′(x）在x＝1時(shí)的函數(shù)值就是f′(1)．題型探究例1解eq\f(Δy，Δx)＝eq\f(\r(x＋Δx2＋1)－\r(x2＋1），Δx)＝eq\f(x＋Δx2－x2，Δx\r(x＋Δx2＋1)＋\r（x2＋1））＝eq\f（2x＋Δx，\r(x＋Δx2＋1）＋\r（x2＋1))，當(dāng)Δx→0時(shí),eq\f（Δy,Δx)→eq\f(x，\r（x2＋1）)。跟蹤訓(xùn)練1解Δy＝f（x＋Δx）－f(x)＝(x＋Δx）－eq\f（1,x＋Δx)－（x－eq\f(1，x)）＝Δx＋eq\f(Δx，xx＋Δx）,∴eq\f(Δy，Δx）＝1＋eq\f(1，xx＋Δx）.當(dāng)Δx→0時(shí),eq\f（Δy，Δx）→1＋eq\f(1,x2），∴f′(x）＝1＋eq\f（1，x2),則f′（x0）＝1＋eq\f（1,x\o\al（2,0)）＝eq\f（5，4)，∴x0＝±2。例2解由已知得eq\f（Δy,Δx)＝2x＋Δx，當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)→2x,即y′＝2x.設(shè)所求切線的切點(diǎn)為A（x0，y0），∵點(diǎn)A在曲線y＝x2上，∴y0＝xeq\o\al(2，0),又∵A是切點(diǎn)，∴過(guò)點(diǎn)A的切線的斜率y′＝2x0，∵所求的切線過(guò)點(diǎn)P(3,5)和A(x0,y0），∴其斜率為eq\f(y0－5，x0－3)＝eq\f（x\o\al（2，0）－5,x0－3），則2x0＝eq\f(x\o\al（2,0）－5,x0－3），解得x0＝1或x0＝5，從而切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)或（5,25）．當(dāng)切點(diǎn)為（1,1）時(shí)，切線的斜率為k1＝2x0＝2，當(dāng)切點(diǎn)為(5，25）時(shí),切線的斜率為k2＝2x0＝10，則所求的切線方程分別為y－1＝2（x－1）,y－25＝10(x－5),即2x－y－1＝0,10x－y－25＝0。跟蹤訓(xùn)練2解因?yàn)辄c(diǎn)P(－1,0)不在拋物線y＝x2＋x＋1上，所以設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為Q（x0,xeq\o\al（2，0)＋x0＋1)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知此切線的斜率為2x0＋1.又因?yàn)榇饲芯€過(guò)點(diǎn)P(－1,0)和Q（x0，xeq\o\al（2,0）＋x0＋1），所以2x0＋1＝eq\f（x\o\al(2，0）＋x0＋1，x0＋1），解得x0＝0或x0＝－2。即切點(diǎn)為（0，1)或(－2，3)，所以所求切線方程分別為y－1＝x,y－3＝－3(x＋2），即x－y＋1＝0，3x＋y＋3＝0.例3（1）k1〉k3>k2（2）eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,2））)∪eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2,3）π，π）)解析（1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k1〉k2,∵k3＝eq\f(f2－f1，2－1）表示割線AB的斜率，∴k1>k3>k2。(2)設(shè)P(x0，y0），eq\f（Δy,Δx）＝eq\f（x＋Δx3－\r(3）x＋Δx＋\f(2，3）－x3＋\r(3）x－\f(2，3）,Δx）＝3x2－eq\r（3)＋3xΔx＋（Δx)2,當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy，Δx)→3x2－eq\r(3），∴切線的斜率k＝3xeq\o\al(2,0）－eq\r(3)，∴tanα＝3xeq\o\al（2,0）－eq\r（3）≥－eq\r（3)，∴α∈eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2）)）∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2，3)π，π）).跟蹤訓(xùn)練3(1)①（2)eq\f(3，4）解析（1）依題意，y＝f′（x)在[a，b]上是增函數(shù),則在函數(shù)f（x)的圖象上，各點(diǎn)的切線的斜率隨著x的增大而增大，觀察四個(gè)選項(xiàng)的圖象,只有①滿足．(2）由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f（1，x)，，y＝x2，)）得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1，,y＝1。）)∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f（1,1＋Δx）－1，Δx)＝－eq\f（1，1＋Δx），Δx→0時(shí)，eq\f（Δy，Δx)→－1，∴曲線y＝eq\f(1，x）在(1，1)處的斜率為－1，∴切線方程為y－1＝－（x－1)，即y＝－x＋2.同理可得:曲線y＝x2在（1,1)處切線方程為y＝2x－1，∴兩切線與x軸圍成的面積為eq\f（1，2）×(2－eq\f（1，2）)×1＝eq\f（3，4)。達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．－22．(0，eq\f（π,2））3．f′(xA)〈f′（xB)4．解設(shè)切點(diǎn)（x0，－xeq\o\al（2，0)＋1),eq\f(Δy,Δx)＝eq\f（－x＋Δx2＋1－－x2＋1，Δx)＝－2x－Δx，Δx→0