恒成立問題中的主元變換

恒成立問題中的主元變換法偏導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)微分學(xué)里的重要概念之一.例如二元函數(shù)，其偏導(dǎo)數(shù)的基本求法便是：對求導(dǎo)時(shí)，就假定是常數(shù)，僅對函數(shù)中所有變元求導(dǎo)得到，對求導(dǎo)時(shí)，方法亦然.比如：若函數(shù)，則求導(dǎo)可得：.我們都知道，高中階段很多函數(shù)問題都是含參數(shù)的，對于含參數(shù)的函數(shù)，可以將其簡記為，若將參數(shù)也視為自變量的話，那么就是一個(gè)二元函數(shù)，那么我們就可以用偏導(dǎo)數(shù)的思想來研究該函數(shù)，這就產(chǎn)生了一個(gè)重要的方法：主元法.近年來，在高考試題中，主元法思想考察的相當(dāng)頻繁，例如2019年浙江卷導(dǎo)數(shù)壓軸題和2020年天津卷導(dǎo)數(shù)壓軸題等，在這些問題中，使用主元法往往會(huì)起到意想不到的好處，從而使得整個(gè)問題得到圓滿的解決.基于此，本文就通過幾個(gè)典例來展示主元法的基本應(yīng)用手法.主元變換在高考中最經(jīng)典的例子就是2019年浙江卷導(dǎo)數(shù)壓軸，這個(gè)題目很難，我們共賞之，從例2開始，我介紹一些具有操作性的主元變換例子.例1.（2019年浙江卷）.已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意均有求的取值范圍.解析：(1)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，且：，因此函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)由，得，當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，令，則，設(shè)，，則，（i）當(dāng)時(shí)，，則可得：故，滿足題意.（ii）當(dāng)時(shí)，，令，則，故在上單調(diào)遞增，，由（i）得，，由（i）（ii）知對任意，即對任意，均有，綜上所述，所求的的取值范圍是．注：欲證不等式，此題以為主元構(gòu)造二次函數(shù)討論易行，若以為主元此題函數(shù)過于復(fù)雜，很難通過求導(dǎo)找到單調(diào)性與最值.上面的實(shí)例給出了一個(gè)很重要的技術(shù)手段：必要性探路+主元變換，先必要性探路，得到參數(shù)范圍后，我們當(dāng)然也可以變換主元，從簡單的視角來證明，下面回到剛考的2023屆成都一診導(dǎo)數(shù)壓軸.例2.（2023屆成都一診）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若曲線在處的切線方程為，證明；（2）若，求的取值范圍.解析：（1）略；（2）由.設(shè)，求導(dǎo).設(shè)，，，∴時(shí)，單調(diào)遞減，.，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，故，時(shí)，.即，在上單調(diào)遞減，則時(shí)，.由（1）知，，故時(shí)，.即恒成立.下面這個(gè)例子可以看做是2019年浙江卷的弱化版，可以做練習(xí).例3.已知正實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)．（1）若時(shí)，求函數(shù)在的值域；（2）對任意實(shí)數(shù)均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：（1）由，得，，所以在單調(diào)遞增，，所以在單調(diào)遞增，所以．所以的值域?yàn)?（2）由題意可得：，即．事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，記，設(shè)，則為關(guān)于的二次函數(shù)，定義域?yàn)?，其對稱軸為．∵．∴∴，設(shè)當(dāng)，，遞增；當(dāng)，，遞減，所以，即，于是有：.所以：．有關(guān)函數(shù)凸凹性（詹森不等式）背景的雙變量問題也經(jīng)常使用主元方法!下面我們通過例子來說明雙變量中的主元方法.例4.已知函數(shù)，若，試比較與的大小．解析：不妨設(shè)，，，令(a)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，(a)，由，故，則．例5.設(shè)函數(shù)．（1）求的極值；（2）若，證明：．解析：（1）函數(shù)，則，令，解得：，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，因此：的極小值為（2）構(gòu)造函數(shù)，，，，，在上是單調(diào)遞增的；故(b)(a)，即：另一方面，構(gòu)造函數(shù)，，在上是單調(diào)遞減的，故(b)(a)即：綜上，．三．習(xí)題演練習(xí)題1.已