上海市12校聯(lián)考2021-2022學(xué)年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的值分別為（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，2．己知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)分別在拋物線上，且，直線交于點(diǎn)，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．63．函數(shù)滿足對任意都有成立，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，則的值為（）A．0 B．2 C．4 D．14．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法共有（）A．14種 B．15種 C．16種 D．18種6．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題：“今有鱉臑(biēnaò)，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺.問積幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺7．已知，滿足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．8．已知的值域?yàn)?，?dāng)正數(shù)a，b滿足時(shí)，則的最小值為（）A． B．5 C． D．99．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．10．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．11．為得到y(tǒng)=sin(2x-πA．向左平移π3個(gè)單位B．向左平移πC．向右平移π3個(gè)單位D．向右平移π12．已知全集為，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是______________.14．已知兩點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)滿足的取值范圍是__________．15．下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的S的值是______.16．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）若對任意存在和使成立，求實(shí)數(shù)的最小值.18．（12分）已知橢圓，上頂點(diǎn)為，離心率為，直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：為定值．19．（12分）已知中，角，，的對邊分別為，，，已知向量，且．（1）求角的大小；（2）若的面積為，，求．20．（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：對；（2）若函數(shù)在上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍。21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為；（1）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2）若直線與曲線交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，求的值．22．（10分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，點(diǎn)P在棱DF上．（1）若P是DF的中點(diǎn)，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為，求PF的長度．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期，根據(jù)周期公式求出，求出，根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求出，即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查的是的圖像的運(yùn)用，在解答此類題目時(shí)一定要挖掘圖像中的條件，計(jì)算三角函數(shù)的周期、最值，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求出結(jié)果2．D【解析】

作，垂足為，過點(diǎn)N作，垂足為G，設(shè)，則，結(jié)合圖形可得，，從而可求出，進(jìn)而可求得，，由的面積即可求出，再結(jié)合為線段的中點(diǎn)，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設(shè)，由，得，則，.過點(diǎn)N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn)，所以F到l的距離為．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識，屬于中檔題．3．C【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱可得為奇函數(shù)，結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù)，利用及可得所求的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為上的奇函數(shù).由可得，故，故是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函數(shù)滿足，那么是周期為的周期函數(shù)，本題屬于中檔題.4．A【解析】

解一元二次不等式化簡集合的表示，求解函數(shù)的定義域化簡集合的表示，根據(jù)可以得到集合、之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.【詳解】，.因?yàn)?，所以有，因此?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了已知集合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問題，考查了解一元二次不等式，考查了函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5．D【解析】

采取分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.情況1：黑球和白球按照黑白相間排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可，因此共有2×7=14種；情況2：黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中，共4種.綜上所述，共有14+4=18種.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用，插空法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6．A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐，將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長方體，此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球，由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球，所以為的中點(diǎn)，設(shè)球半徑為，則,所以外接球的表面積，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積，關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半徑，屬于中檔題.7．D【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價(jià)于，作直線，向上平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)最大，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．8．A【解析】

利用的值域?yàn)?求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解：∵的值域?yàn)?∴,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,∴的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域運(yùn)用,同時(shí)也考查了基本不等式中“1的運(yùn)用”,屬于中檔題.9．C【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對于D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10．A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，所以，故可排除B，C；當(dāng)時(shí)，，故可排除D．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題．11．D【解析】試題分析：因?yàn)?，所以為得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象，只需要將考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像變換．12．D【解析】

對于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補(bǔ)集；對于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先畫出不等式組對應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析解答得解.【詳解】畫出不等式組表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示.由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線系，平移直線，易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最小，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，且.故答案為：-8【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析能力.14．【解析】

問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果．【詳解】解：直線，點(diǎn)，，直線上存在點(diǎn)滿足，的軌跡方程是．如圖，直線與圓有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離：，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程、圓、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．15．【解析】

根據(jù)流程圖，運(yùn)行程序即得.【詳解】第一次運(yùn)行，；第二次運(yùn)行，；第三次運(yùn)行，；第四次運(yùn)行；所以輸出的S的值是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查算法流程圖，是基礎(chǔ)題.16．4【解析】

由題意結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)和均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.據(jù)此可知：的最小值為4.【點(diǎn)睛】條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）不等式等價(jià)于，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可證恒成立，從而原不等式成立.（2）由題設(shè)條件可得在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性后可得其最小值，結(jié)合前述的集合的包含關(guān)系可得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由，所以在上是減函數(shù)，所以，故.因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，.（2）由（1）當(dāng)時(shí)，；任意，存在和使成立，所以在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，（1）當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不合題意；（2）當(dāng)時(shí)，，由題意知在上不單調(diào)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，解得，因?yàn)椋猿闪?，下面證明存在，使得，取，先證明，即證，令，則在時(shí)恒成立，所以成立，因?yàn)椋詴r(shí)命題成立.因?yàn)?，所?故實(shí)數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立、等式能成立中的應(yīng)用，前者注意將欲證不等式合理變形，轉(zhuǎn)化為容易證明的新不等式，后者需根據(jù)等式能成立的特點(diǎn)確定出函數(shù)應(yīng)該具有的性質(zhì)，再利用導(dǎo)數(shù)研究該性質(zhì)，本題屬于難題.18．（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見解析．【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)，，易求直線的方程為：，令得，，同理可得，所以，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入上式，化簡即可得到．【詳解】（Ⅰ）解：由題意可知：，解得，橢圓的方程為：；（Ⅱ）證：設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)，，聯(lián)立方程，消去得：，，①，點(diǎn)，，，直線的方程為：，令得，，，，同理可得，，，把①式代入上式得：，為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、定值問題的求解；關(guān)鍵是能夠通過直線與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用韋達(dá)定理化簡三角形面積得到定值；考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中檔題．19．（1）;（2）．【解析】試題分析：（1）利用已知及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得，利用正弦定理可得，結(jié)合，可求，從而可求的值；（2）由三角形的面積可解得，利用余弦定理可得，故可得.試題解析：（1）∵，，，∴，∴，即，又∵，∴，又∵，∴．（2）∵，∴，又，即，∴，故．20．(1)見證明；(2)【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；（2）問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域，從而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點(diǎn)存在定理說明函數(shù)存在極值．【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，于是，.又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，且.故當(dāng)時(shí)，，即.所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，于是，.因此，對，；(2)方法一：由題意在上存在極值，則在上存在零點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，為上的增函數(shù)，注意到，，所以，存在唯一實(shí)數(shù)，使得成立.于是，當(dāng)時(shí)，，為上的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)；所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，在上成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上沒有極值；③當(dāng)時(shí)，在上成立，所以在上單調(diào)遞減，所以在上沒有極值，綜上所述，使在上存在極值的的取值范圍是.方法二：由題意，函數(shù)在上存在極值，則在上存在零點(diǎn).即在上存在零點(diǎn).設(shè)，，則由單調(diào)性的性質(zhì)可得為上的減函數(shù).即的值域?yàn)椋?，?dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，在上存在零點(diǎn).下面證明，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上存在極值.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，為上的增函數(shù)，注意到，，所以，存在唯一實(shí)數(shù)，使得成立.于是，當(dāng)時(shí)，，為上的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)；即為函數(shù)的極小值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上存在極值.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，涉及函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，是一道綜合題．21．（Ⅰ）,曲線（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）消去參數(shù)可得直線的直角坐標(biāo)系方程，由可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將（為參數(shù)）代入曲線的方程得：，，利用韋達(dá)定理求解即可.試題解析：（1），曲線，（2）將（為參數(shù)）代入曲線的方程得：.所以.所以.22．（1）．（2）．【解析】

（1）以A為原點(diǎn)