2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 分布列與其他知識綜合運(yùn)用（精講）（解析版）

8.8分布列與其他知識綜合運(yùn)用（精講）常見考法常見考法考點(diǎn)一分布列與函數(shù)結(jié)合【例2】（2021·南昌市豫章中學(xué)高三開學(xué)考試（理））某籃球隊(duì)為提高隊(duì)員的訓(xùn)練積極性，進(jìn)行小組投籃游戲，每個(gè)小組由兩名隊(duì)員組成，隊(duì)員甲與隊(duì)員乙組成了一個(gè)小組.游戲規(guī)則：每個(gè)小組的兩名隊(duì)員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，已知甲乙兩名隊(duì)員投進(jìn)籃球的概率為別為，.（1）若，，則在第一輪游戲他們獲“神投小組”的概率；（2）若，則在游戲中，甲乙兩名隊(duì)員想要獲得“神投小組”的稱號16次，則理論上他們小組要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時(shí)，的值.【答案】（1）；（2）理論上至少要進(jìn)行輪游戲，.【解析】（1）由題可知，所以可能的情況有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率:.（2）他們在一輪游戲中獲“神投小組”的概率為:，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，，所以，，又，所以，令，以，則，當(dāng)時(shí)，，他們小組在輪游戲中獲“神投小組”次數(shù)滿足，由，則，所以理論上至少要進(jìn)行輪游戲.此時(shí)，，.【一隅三反】1．（2021·山東高三月考）為實(shí)現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結(jié)合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良的特點(diǎn)，決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進(jìn)行養(yǎng)殖試驗(yàn)，試驗(yàn)后選擇其中一種進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，已知魚苗甲的自然成活率為，魚苗乙、丙的自然成活率均為，且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨(dú)立．（1）試驗(yàn)時(shí)從甲、乙、丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾數(shù)為，求的分布列．（2）試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購買尾乙種魚苗進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，若將（1）中滿足數(shù)學(xué)期望不超過2.6的的最大值作為乙種魚苗成活的概率，養(yǎng)殖后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗有個(gè)別因不能適應(yīng)環(huán)境而不能自然成活，對這些因不適應(yīng)環(huán)境而不能自然成活的80%魚苗采取增氧、換魚塘等措施，采取措施后成活的概率為62.5%．若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利100元，不成活則虧損20元，若扶貧工作組的扶貧目標(biāo)是獲利不小于376萬元，問需至少購買多少尾乙種魚苗？【答案】（1）答案見解析；（2）40000尾.【解析】（1）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，則故的分布列為0123（2）由（1）知因?yàn)?，所有，即乙種魚苗自然成活的概率為0.9依題意知一尾乙種魚苗最終成活的概率為那么尾乙種魚苗最終成活的尾數(shù)為，不成活的尾數(shù)是設(shè)為購買尾乙種魚苗最終可獲得的利潤，則，解得，所有需至少購買40000尾乙種魚苗，才能確保獲利不低于376萬元．2．（2021·廣東廣州·）黨中央，國務(wù)院高度重視新冠病毒核酸檢測工作，中央應(yīng)對新型冠狀病毒感染肺炎疫情工作領(lǐng)導(dǎo)小組會議作出部署，要求盡力擴(kuò)大核酸檢測范圍，著力提升檢測能力.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為.現(xiàn)有6例疑似病例，分別對其取樣?檢測，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有病毒，則化驗(yàn)結(jié)果呈陽性.若混合樣本呈陽性，則需將該組中備用的樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個(gè)樣本均為陰性，無需再化驗(yàn).現(xiàn)有以下三種方案：方案一：6個(gè)樣本逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：6個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)；方案三：6個(gè)樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗(yàn).在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測能力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈陽性的概率；（2）若，現(xiàn)將該6例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，當(dāng)方案三比方案二更“優(yōu)”時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）用表示6例疑似病例中化驗(yàn)呈陽性的人數(shù)，則隨機(jī)變量，由題意可知：.答：6例疑似病例中至少有1例呈陽性的概率為.（2）方案二：混合一起檢驗(yàn)，記檢驗(yàn)次數(shù)為，則.∴，，∴.方案三：每組的三個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，記檢驗(yàn)次數(shù)為，則.∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的取值范圍.3.（2021年廣東湛江）為響應(yīng)綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源分時(shí)租賃汽車”．其中一款新能源分時(shí)租賃汽車，每次租車收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計(jì)費(fèi)；②行駛時(shí)間不超過40分時(shí)，按0.12元/分計(jì)費(fèi)；超過40分時(shí)，超出部分按0.20元/分計(jì)費(fèi)．已知王先生家離上班地點(diǎn)15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次．由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間t(分)是一個(gè)隨機(jī)變量．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了50次路上開車花費(fèi)時(shí)間，在各時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示：時(shí)間t（分）2030,4040,5050,60頻數(shù)2182010將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間視為用車時(shí)間，范圍為20,60分．（1）寫出王先生一次租車費(fèi)用y（元）與用車時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若王先生一次開車時(shí)間不超過40分為“路段暢通”，設(shè)ξ表示3次租用新能源分時(shí)租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù)，求ξ的分布列和期望；（3）若公司每月給1000元的車補(bǔ)，請估計(jì)王先生每月（按22天計(jì)算）的車補(bǔ)是否足夠上、下班租用新能源分時(shí)租賃汽車？并說明理由．（同一時(shí)段，用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）【答案】(1)y=0.12?t【解析】（1）當(dāng)20<t≤40當(dāng)40<t≤60得：y=（2）王先生租用一次新能源分時(shí)租賃汽車，為“路段暢通”的概率Pξ可取0，1，2，3.P(ξP(ξ=2)=ξ的分布列為Eξ=0或依題意ξ～B(3（3）王先生租用一次新能源分時(shí)租賃汽車上下班，平均用車時(shí)間t=25每次上下班租車的費(fèi)用約為0.2×一個(gè)月上下班租車費(fèi)用約為20.32×估計(jì)王先生每月的車補(bǔ)夠上下班租用新能源分時(shí)租賃汽車用．考點(diǎn)二分布列與導(dǎo)數(shù)結(jié)合【例2】（2021·全國高三月考（理））元旦期間某牛奶公司做促銷活動．一箱某品牌牛奶盒，每盒牛奶可以參與刮獎中獎得現(xiàn)金活動，但其中只有一些中獎．已知購買一盒牛奶需要元，若有中獎，則每次中獎可以獲得代金券元（可即中即用）．顧客可以在一箱牛奶中先購買盒，然后根據(jù)這盒牛奶中獎結(jié)果決定是否購買余下盒．設(shè)每盒牛奶中獎概率為，且每盒牛奶是否中獎相互獨(dú)立．（1）若，顧客先購買盒牛奶，求該顧客至少有一盒中獎的概率；（2）設(shè)先購買的盒牛奶恰好有一盒中獎的最大概率為，以為值．某顧客認(rèn)為如果中獎后售價(jià)不超過原來售價(jià)的四折（即）便可以購買如下的盒牛奶，據(jù)此，請你判斷該顧客是否可以購買余下的盒牛奶.【答案】（1）；（2）該顧客可以買下余下的盒牛奶.【解析】（1）依題意有盒至少一盒中獎的概率為；（2）盒牛奶恰有盒中獎的概率為，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，有最大值，設(shè)余下盒牛奶中獎為盒，中獎后實(shí)際付款為元，，，，，該顧客可以買下余下的盒牛奶．【一隅三反】1．（2021·重慶市楊家坪中學(xué)高三）某醫(yī)療研究所新研發(fā)了一款醫(yī)療儀器，為保障該儀器的可靠性，研究所外聘了一批專家檢測儀器的可靠性，已知每位專家評估過程相互獨(dú)立．（1）若安排兩位專家進(jìn)行評估，專家甲評定為“可靠”的概率為，專家乙評定為“可靠”的概率為，只有當(dāng)兩位專家均評定為“可靠”時(shí)，可以確定該儀器可靠，否則確定為“不可靠”．現(xiàn)隨機(jī)抽取4臺儀器，由兩位專家進(jìn)行評估，記評定結(jié)果不可靠的儀器臺數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為進(jìn)一步提高該醫(yī)療儀器的可靠性，研究所決定每臺儀器都由三位專家進(jìn)行評估，若每臺儀器被每位專家評定為“可靠”的概率均為p（），且每臺儀器是否可靠相互獨(dú)立．只有三位專家都評定儀器可靠，則儀器通過評估．若三位專家評定結(jié)果都為不可靠，則儀器報(bào)廢．其余情況，儀器需要回研究所返修，擬定每臺儀器評估費(fèi)用為100元，若回研究所返修，每臺儀器還需要額外花費(fèi)300元的維修費(fèi)．現(xiàn)以此方案實(shí)施，且抽檢儀器為100臺，研究所用于評估和維修的預(yù)算是3.3萬元，你認(rèn)為該預(yù)算是否合理？并說明理由．【答案】（1）分布列見解析，；（2）該預(yù)算合理，理由見解析.【解析】（1）記事件A：一臺機(jī)器被評定為不合格，則，題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，4．由題意得：，所以，，，，，．故隨機(jī)變量X的分布列為：X01234P從而．（2）該預(yù)算合理．理由如下：設(shè)每臺儀器用于評估和維修的費(fèi)用為元，則的可能取值為，．，．所以，化簡得，令，，令解得，當(dāng)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．實(shí)施此方案，100臺抽檢儀器的費(fèi)用期望值最高為元元，因此該預(yù)算合理．2．（2021·湖北恩施·高三開學(xué)考試）某企業(yè)創(chuàng)新形式推進(jìn)黨史學(xué)習(xí)教育走深走實(shí)，舉行兩輪制的黨史知識競賽初賽，每部門派出兩個(gè)小組參賽，兩輪都通過的小組才具備參與決賽的資格，該企業(yè)某部門派出甲、乙兩個(gè)小組，若第一輪比賽時(shí)兩組通過的概率分別是，，第二輪比賽時(shí)兩組通過的概率分別是，，兩輪比賽過程相互獨(dú)立．（1）若將該部門獲得決賽資格的小組數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）比賽規(guī)定：參與決賽的小組由4人組成，每人必須答題且只答題一次（與答題順序無關(guān)），若4人全部答對就給予獎金，若沒有全部答對但至少2人答對就被評為“優(yōu)秀小組"．該部門對通過初賽的某一小組進(jìn)行黨史知識培訓(xùn)，使得每個(gè)成員答對每題的概率均為（）且相互獨(dú)立，設(shè)該參賽小組被評為“優(yōu)秀小組”的概率為，當(dāng)時(shí)，最大，試求的值．【答案】（1）分布列見解析；期望為1；（2）．【解析】（1）設(shè)甲乙通過兩輪制的初賽分別為事件，．則，．由題意的取值可能為0，1，2，則，，．那么的分布列為：012．（2）由題意，小組中2人答對的概率為，3人答對的概率，則．，令得，，，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減．故時(shí)，最大．3．（2021·江蘇南通·高三）在醫(yī)學(xué)上，為了加快對流行性病毒的檢測速度，常采用“混檢”的方法：隨機(jī)的將若干人的核酸樣本混在一起進(jìn)行檢測，若檢測結(jié)果呈陰性，則認(rèn)定該組每份樣本均為陰性，無需再檢測；若檢測結(jié)果呈陽性，則還需對該組的每份樣本逐個(gè)重新檢測，以確定每份樣本是否為陽性.設(shè)某流行性病毒的感染率為.（1）若，混檢時(shí)每組10人，求每組檢測次數(shù)的期望值；（2）混檢分組的方法有兩種：每組10人或30人.試問這兩種分組方法的優(yōu)越性與的值是否有關(guān)？(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】（1）1.489次；（2）分組方法的優(yōu)越性與的值有關(guān).【解析】（1）設(shè)每組檢測的次數(shù)為，則的可能取值為1，11.，.所以的分布列為1110.95110.0489所以.所以每組檢測次數(shù)的期望值是1.489次.（2）當(dāng)每組的人數(shù)為10人時(shí)，設(shè)每組檢測的次數(shù)為.則的可能取值為1，11.，.所以的分布列為111所以.當(dāng)每組的人數(shù)為30人時(shí)，設(shè)每組檢測的次數(shù)為.則的可能取值為1，31.；.所以的分布列為111所以.所以.解法一：設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，有最小值為；當(dāng)或1時(shí)，有最大值為，所以存在，，滿足，，且，，使得.當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，每組30人更優(yōu)越；當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)，每組10人更優(yōu)越.所以，分組方法的優(yōu)越性與的值有關(guān).解法二：當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.所以，分組方法的優(yōu)越性與的值有關(guān).考點(diǎn)三分布列與數(shù)列的結(jié)合【例3】《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從年高考開始，高考物理、化學(xué)等六門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為八個(gè)等級.參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為.選考科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則分別轉(zhuǎn)換到八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.某校級學(xué)生共人，以期末考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換了本校的等級成績，為學(xué)生合理選科提供依據(jù)，其中物理成績獲得等級的學(xué)生原始成績統(tǒng)計(jì)如下成績93919088878685848382人數(shù)1142433327（1）從物理成績獲得等級的學(xué)生中任取名，求恰好有名同學(xué)的等級分?jǐn)?shù)不小于的概率;（2）待到本級學(xué)生高考結(jié)束后，從全省考生中不放回的隨機(jī)抽取學(xué)生，直到抽到名同學(xué)的物理高考成績等級為或結(jié)束(最多抽取人)，設(shè)抽取的學(xué)生個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(注:).【答案】(1)0.29(2)見解析【解析】（1）設(shè)物理成績獲得等級的學(xué)生原始成績?yōu)?，其等級成績?yōu)?由轉(zhuǎn)換公式，得.由，得.顯然原始成績滿足的同學(xué)有人，獲得等級的學(xué)生有人，恰好有名同學(xué)的等級分?jǐn)?shù)不小于的概率為：.（2）由題意得，隨機(jī)抽取人，其等級成績?yōu)榛虻母怕蕿?學(xué)生個(gè)數(shù)的可能取值為；，，，；其數(shù)學(xué)期望是：其中：①②應(yīng)用錯(cuò)位相減法“①式-②式”得：故.【一隅三反】1．已知A1，A2，A3，…，A10等（1）如果該同學(xué)10所高校的考試都參加，恰有m(1≤m≤10)所通過的概率為f（2）若p=12，該同學(xué)參加每所高?？荚囁璧馁M(fèi)用均為a元，該同學(xué)決定按A1，A2，A3【答案】（1）當(dāng)p=m10時(shí)，f【解析】（1）因?yàn)樵搩諏W(xué)通過各校考試的概率均為p，所以該同學(xué)恰好通過m(1≤f==當(dāng)0≤p≤m10當(dāng)m10≤p≤1所以當(dāng)p=m10時(shí)，（2）設(shè)該同學(xué)共參加了i次考試的概率為Pi∵Pi∴所以該同學(xué)參加考試所需費(fèi)用ξ的分布列如下：ξa2345678910P1111111111所以Eξ=令S=則12由①-②得12所以S=1+所以Eξ=1+=1-考點(diǎn)四分布列與其他綜合【例4】（2021年廣東河源）已知正四棱錐的底面邊長和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.（1）求概率的值；（2）求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）從5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，共有種取法.其中的三角形如，這類三角形共有個(gè).因此.（2）由題意，的可能取值為，2，.其中的三角形是側(cè)面，這類三角形共有4個(gè)；其中的三角形有兩個(gè)，和.因此，.所以隨機(jī)變量的概率分布列為：2所求數(shù)學(xué)期望.【一隅三反】1.某縣大潤發(fā)超市為了惠顧新老顧客，決定在2019年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎派送禮品活動.為設(shè)計(jì)一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超市面向該縣某高中學(xué)生征集活動方案.該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得了征用.方案如下：將一個(gè)4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個(gè)相同的小正方體.經(jīng)過攪拌后，從中任取兩個(gè)小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦當(dāng)天在超市購買物品的顧客，均可參加抽獎.記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎，獲得價(jià)值50元禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎，獲得價(jià)值30元禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎，獲得價(jià)值10元禮品，其他情況不獲獎.求某顧客抽獎一次獲得的禮金的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（I）2063