2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 分布列與其他知識(shí)綜合運(yùn)用（精練）（解析版）

8.8分布列與其他知識(shí)綜合運(yùn)用（精練）【題組一分布列與函數(shù)結(jié)合】1．（2021·新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中學(xué)高三月考（理））為實(shí)現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結(jié)合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良的特點(diǎn)，決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進(jìn)行養(yǎng)殖試驗(yàn)，試驗(yàn)后選擇其中一種進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，已知魚苗甲的自然成活率為0.8.魚苗乙，丙的自然成活率均為0.9，且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨(dú)立.（1）試驗(yàn)時(shí)從甲、乙，丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購買尾乙種魚苗進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，為提高魚苗的成活率，工作組采取增氧措施，該措施實(shí)施對(duì)能夠自然成活的魚苗不產(chǎn)生影響.使不能自然成活的魚苗的成活率提高了50%.若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元，不成活則虧損2元，且扶貧工作組的扶貧目標(biāo)是獲利不低于37.6萬元，問需至少購買多少尾乙種魚苗？【答案】（1）分布列見解析，2.6（2）40000尾【解析】（1）記隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，.故的分布列為01230.0020.0440.3060.648.（2）根據(jù)已知乙種魚苗自然成活的概率為0.9，依題意知一尾乙種魚苗最終成活的概率為，所以一尾乙種魚苗的平均收益為元.設(shè)購買尾乙種魚苗，為購買尾乙種魚苗最終可獲得的利潤(rùn)，則，解得.所以需至少購買40000尾乙種魚苗，才能確保獲利不低于37.6萬元.2．（2021·陜西西安市·西安中學(xué)高三月考（理））某地區(qū)進(jìn)行疾病普查，為此要檢驗(yàn)每一人的血液，如果當(dāng)?shù)赜腥耍糁饌€(gè)檢驗(yàn)就需要檢驗(yàn)次，為了減少檢驗(yàn)的工作量，我們把受檢驗(yàn)者分組，假設(shè)每組有個(gè)人，把這個(gè)個(gè)人的血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這個(gè)人的血液全為陰性，因而這個(gè)人只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果為陽性，為了明確這個(gè)個(gè)人中究竟是哪幾個(gè)人為陽性，就要對(duì)這個(gè)人再逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，這時(shí)個(gè)人的檢驗(yàn)次數(shù)為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人群中，每個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性是獨(dú)立的，且每個(gè)人是陽性結(jié)果的概率為.（Ⅰ）為熟悉檢驗(yàn)流程，先對(duì)3個(gè)人進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)，若，求3人中恰好有1人檢測(cè)結(jié)果為陽性的概率；（Ⅱ）設(shè)為個(gè)人一組混合檢驗(yàn)時(shí)每個(gè)人的血需要檢驗(yàn)的次數(shù).①當(dāng)，時(shí)，求的分布列；②是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)概率的相關(guān)知識(shí)，求當(dāng)和滿足什么關(guān)系時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①見解析，②當(dāng)時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).【解析】（Ⅰ）對(duì)3人進(jìn)行檢驗(yàn)，且檢驗(yàn)結(jié)果是獨(dú)立的，設(shè)事件：3人中恰有1人檢測(cè)結(jié)果為陽性，則其概率（Ⅱ）①當(dāng)，時(shí)，則5人一組混合檢驗(yàn)結(jié)果為陰性的概率為，每人所檢驗(yàn)的次數(shù)為次，若混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，則其概率為，則每人所檢驗(yàn)的次數(shù)為次，故的分布列為②分組時(shí)，每人檢驗(yàn)次數(shù)的期望如下∴不分組時(shí)，每人檢驗(yàn)次數(shù)為1次，要使分組辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù)，需即所以當(dāng)時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).3．（2021·山西陽泉·高三（理））為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各自抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評(píng)估檢測(cè)，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示：減排器等級(jí)及利潤(rùn)率如下表，其中．綜合得分的范圍減排器等級(jí)減排器利潤(rùn)率一級(jí)品二級(jí)品三級(jí)品（1）若從這100件甲型號(hào)減排器中按等級(jí)分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，求至少有2件一級(jí)品的概率；（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計(jì)總體，則：①若從乙型號(hào)減排器中隨機(jī)抽取3件，求二級(jí)品數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；②從長(zhǎng)期來看，投資哪種型號(hào)的減排器平均利潤(rùn)率較大？【答案】（1）；（2）①二級(jí)品數(shù)的分布列見詳解，；②投資乙型號(hào)減排器的平均利潤(rùn)率較大.【解析】（1）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為，分層抽樣的方法抽取10件，則抽取一級(jí)品為（件）則至少有2件一級(jí)品的概率，；（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為，二級(jí)品的概率，三級(jí)品的概率為，若從乙型號(hào)減排器隨機(jī)抽取3件，則二級(jí)品數(shù)所有可能的取值為，且，所以，，，，所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望：；②由題意知，甲型號(hào)減排器的利潤(rùn)的平均值：；乙型號(hào)減排器的利潤(rùn)的平均值：；，又，則，所以投資乙型號(hào)減排器的平均利潤(rùn)率較大.【題組二分布列與導(dǎo)數(shù)結(jié)合】1．（2021·肥城市教學(xué)研究中心高三）十三屆全國人大四次會(huì)議3月11日表決通過了關(guān)于國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議，決定批準(zhǔn)這個(gè)規(guī)劃綱要.綱要指出：“加強(qiáng)原創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”.某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術(shù)，已成功實(shí)現(xiàn)離子注入機(jī)全譜系產(chǎn)品國產(chǎn)化，包括中束流?大束流?高能?特種應(yīng)用及第三代半導(dǎo)體等離子注入機(jī)，工藝段覆蓋至28，為我國芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補(bǔ)上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)提供離子注入機(jī)一站式解決方案.此次技術(shù)的突破可以說為國產(chǎn)芯片的制造做出了重大貢獻(xiàn).該企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn).（1）在試產(chǎn)初期，該款芯片的批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知批次的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品的概率（百分號(hào)前保留兩位小數(shù)）.（2）已知某批次芯片的次品率為，設(shè)個(gè)芯片中恰有個(gè)不合格品的概率為，記的最大值點(diǎn)為，改進(jìn)生產(chǎn)工藝后批次的芯片的次品率.某手機(jī)生產(chǎn)廠商獲得批次與批次的芯片，并在某款新型手機(jī)上使用.現(xiàn)對(duì)使用這款手機(jī)的用戶回訪，對(duì)開機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計(jì)，回訪的名用戶中，安裝批次有部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有人；安裝批次有部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有人.求，并判斷是否有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān)？附：.【答案】（1）①；②；（2），有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān).【解析】（1）①Ⅰ批次芯片的次品率為.②設(shè)批次Ⅰ的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)合格為事件，人工抽檢合格為事件，由己知得，，則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品為事件，.（2）個(gè)芯片中恰有個(gè)不合格的概率.因此，令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的最大值點(diǎn)為.由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片質(zhì)量?jī)?yōu)于批次.由數(shù)據(jù)可建立2×2列聯(lián)表如下：（單位：人）開機(jī)速度滿意度芯片批次合計(jì)IJ不滿意12315滿意285785合計(jì)4060100根據(jù)列聯(lián)表得.因此，有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān).2．（2021·江西（理））某種疾病可分為、兩種類型.為了解該疾病類型與性別的關(guān)系，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了患該疾病的病人進(jìn)行調(diào)查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人數(shù)占男性病人的，女性患型病的人數(shù)占女性病人的.（1）若在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，求男性患者至少有多少人？（2）某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個(gè)研發(fā)團(tuán)隊(duì)來研發(fā)此疾病的治療藥物.兩個(gè)團(tuán)隊(duì)各至多安排個(gè)接種周期進(jìn)行試驗(yàn).甲團(tuán)隊(duì)研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每人每次接種花費(fèi)元，每個(gè)周期至多接種3次，第一個(gè)周期連續(xù)次出現(xiàn)抗體則終止本接種周期進(jìn)入第二個(gè)接種周期，否則需依次接種至第一周期結(jié)束，再進(jìn)入第二周期：第二接種周期連續(xù)2次出現(xiàn)抗體則終止試驗(yàn)，否則需依次接種至至試驗(yàn)結(jié)束：乙團(tuán)隊(duì)研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每人每次花費(fèi)元，每個(gè)周期接種次，每個(gè)周期必須完成次接種，若一個(gè)周期內(nèi)至少出現(xiàn)次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，否則進(jìn)入第二個(gè)接種周期，假設(shè)兩個(gè)研發(fā)團(tuán)隊(duì)每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨(dú)立.當(dāng)，時(shí)，從兩個(gè)團(tuán)隊(duì)試驗(yàn)的平均花費(fèi)考慮，試證明該公司選擇乙團(tuán)隊(duì)進(jìn)行藥品研發(fā)的決策是正確的.附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）；（2）該公司選擇乙團(tuán)隊(duì)進(jìn)行藥品研發(fā)的決策是正確的.【解析】（1）設(shè)男性患者有人，則女性患者有人，列聯(lián)表如下：Ⅰ型?、蛐筒『嫌?jì)男z女合計(jì)要使在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，則，解得，∵，，的最小整數(shù)值為，因此，男性患者至少有人；（2）設(shè)甲研發(fā)團(tuán)隊(duì)試驗(yàn)總花費(fèi)為元，則的可能取值為、、，，，，，在遞減，，設(shè)乙研發(fā)團(tuán)隊(duì)試驗(yàn)總花費(fèi)為元，則的可能取值為、，，，，設(shè)，，函數(shù)在遞減，，恒成立，所以，該公司選擇乙團(tuán)隊(duì)進(jìn)行藥品研發(fā)的決策是正確的.3（2021年河南）今年3月5日，國務(wù)院總理李克強(qiáng)作的政府工作報(bào)告中，提到要“懲戒學(xué)術(shù)不端，力戒學(xué)術(shù)不端，力戒浮躁之風(fēng)”.教育部日前公布的《教育部2019年部門預(yù)算》中透露，2019年教育部擬抽檢博士學(xué)位論文約6000篇，預(yù)算為800萬元.國務(wù)院學(xué)位委員會(huì)、教育部2014年印發(fā)的《博士碩士學(xué)位論文抽檢辦法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進(jìn)行評(píng)議，3位專家中有2位以上（含2位）專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”.有且只有1位專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將再送2位同行專家進(jìn)得復(fù)評(píng)，2位復(fù)評(píng)專家中有1位以上（含1位）專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”.設(shè)每篇學(xué)位論文被每位專家評(píng)議為“不合格”的概率均為，且各篇學(xué)位論文是否被評(píng)議為“不合格”相互獨(dú)立.（1）記一篇抽檢的學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為，求；（2）若擬定每篇抽檢論文不需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為900元，需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為1500元；除評(píng)審費(fèi)外，其它費(fèi)用總計(jì)為100萬元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，且抽檢論文為6000篇，問是否會(huì)超過預(yù)算？并說明理由.【答案】（1）；（2）若以此方案實(shí)施，不會(huì)超過預(yù)算.【解析】（1）因?yàn)橐黄獙W(xué)位論文初評(píng)被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為，一篇學(xué)位論文復(fù)評(píng)被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為，所以一篇學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為.（2）設(shè)每篇學(xué)位論文的評(píng)審費(fèi)為元，則的可能取值為900，1500.，，所以.令,.當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減,所以的最大值為.所以實(shí)施此方案，最高費(fèi)用為（萬元）.綜上，若以此方案實(shí)施，不會(huì)超過預(yù)算.4.（2021年河北）．某家畜研究機(jī)構(gòu)發(fā)現(xiàn)每頭成年牛感染H型疾病的概率是p(0<p<1)，且每頭成年牛是否感染H型疾病相互獨(dú)立．（1）記10頭成年牛中恰有3頭感染H型疾病的概率是f(p)，求當(dāng)概率p取何值時(shí)，f(p)有最大值？（2）若以（1）中確定的p值作為感染H型疾病的概率，設(shè)10頭成年牛中恰有k頭感染H型疾病的概率是g(k)，求當(dāng)k為何值時(shí)，g(k)有最大值？【答案】（1）當(dāng)概率p=0.3時(shí)，f(p)有最大值；（2）當(dāng)k=3時(shí)，g(k)有最大值．【解析】（1）依題意，10頭成年牛中恰有3頭感染H型疾病的概率是f(p)=C103則有f'(p)=C令f'(p)=0，結(jié)合0<p<1，解得則當(dāng)p∈(0,0.3)時(shí)，f'(p)>0；當(dāng)即函數(shù)f(p)在(0,0.3)上單調(diào)遞增，在故當(dāng)概率p=0.3時(shí)，f(p)有最大值．（2）10頭成年牛中恰有k頭感染H型疾病的概率是g(k)=C10k由（1）知p=0.3，所以g(k)g(k?1)=C10=3.3?0.3k所以當(dāng)3.3?k>0，即k<3.3(k∈N)時(shí)，g(k)g(k?1)>1，當(dāng)3.3?k<0，即k>3.3（k≤10，且k∈N）時(shí)，g(k)<g(k?1)，于是g(0)<g(1)<g(2)<g(3)>g(4)>?>g(10)，所以當(dāng)k=3時(shí)，g(k)有最大值．【題組三分布列與數(shù)列的結(jié)合】1．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．【答案】（1）（2）【解析】（1），，.（2），，因此，從而，即.又的分布列為012故.2．（2021·東莞市東方明珠學(xué)校高三）某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是不是陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次．方式二：混合檢驗(yàn)，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)．若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份血液樣本全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份血液樣本究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這份血液樣本再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液樣本的檢驗(yàn)次數(shù)總共為．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為．現(xiàn)取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為．（1）若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若與干擾素計(jì)量相關(guān)，其中是不同的正整數(shù)，且，都有成立．①求證：數(shù)列是等比數(shù)列；②當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比采用逐份檢驗(yàn)方式的檢驗(yàn)總次數(shù)的期望值更少，求的最大值．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）；（2）①證明見詳解；②.【解析】（1）由已知，，，得；的可能取值為，，由題意，，所以；又，即，則，所以，即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；（2）①證明：當(dāng)時(shí)，，所以，令，則；因?yàn)?，所以下面證明對(duì)任意的正整數(shù)，；（i）當(dāng)時(shí)，顯然成立；（ii）假設(shè)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，由，所以，則，即，所以，因此，解得或（負(fù)值舍去），所以；由（i）（ii）可知，，即數(shù)列是等比數(shù)列；②由①知，，因?yàn)椴捎没旌蠙z驗(yàn)方式可以使樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比采用逐份檢驗(yàn)方式的檢驗(yàn)總次數(shù)的期望值更少，即，所以，則，所以，即；設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以；又，，所以使的最大整數(shù)的取值為，即時(shí)，的最大值為；綜上，的最大值為.3（2021年廣東）．已知A1，A2，A3，…，A（1）如果該同學(xué)10所高校的考試都參加，恰有m(1≤m≤10)所通過的概率為f(p)，當(dāng)p為何值時(shí)，f(p)取得最大值；（2）若p=12，該同學(xué)參加每所高?？荚囁璧馁M(fèi)用均為a元，該同學(xué)決定按A1，A2，A3【答案】（1）當(dāng)p=m10時(shí)，【解析】（1）因?yàn)樵搩諏W(xué)通過各?？荚嚨母怕示鶠閜，所以該同學(xué)恰好通過m(1≤m≤10)所高校自主招生考試的概率為f(p)=f'(p)===當(dāng)0≤p≤m10時(shí)，f'(p)≥0，當(dāng)m10≤p≤1時(shí)，f'(p)≤0，所以當(dāng)p=m10時(shí)，（2）設(shè)該同學(xué)共參加了i次考試的概率為Pi∵Pi∴所以該同學(xué)參加考試所需費(fèi)用ξ的分布列如下：ξa2a3a4a5a6a7a8a9a10aP1111111111所以Eξ=1令S=1則12由①-②得12所以S=1+1所以Eξ=1+1=1?4．（2021年廣西）春節(jié)期間某商店出售某種海鮮禮盒，假設(shè)每天該禮盒的需求量在{11,12,?,30}范圍內(nèi)等可能取值，該禮盒的進(jìn)貨量也在{11,12,?,30}范圍內(nèi)取值（每天進(jìn)1次貨）.商店每銷售1盒禮盒可獲利50元；若供大于求，剩余的削價(jià)處理，每處理1盒禮盒虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，銷售1盒禮盒可獲利30元.設(shè)該禮盒每天的需求量為x盒，進(jìn)貨量為a盒，商店的日利潤(rùn)為y元.（1）求商店的日利潤(rùn)y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式；（2）試計(jì)算進(jìn)貨量a為多少時(shí)，商店日利潤(rùn)的期望值最大？并求出日利潤(rùn)期望值的最大值.【答案】（1）y=（2）a=24時(shí)，日利潤(rùn)y的數(shù)學(xué)期望最大，最大值為958.5元【解析】(1)由于禮盒的需求量為x，進(jìn)貨量為a，商店的日利潤(rùn)y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式為：y=50a+30(x?a),a≤x≤30,x∈Z50x?10(a?x),11≤x<a,x∈Z，即(2)日利潤(rùn)y的分布列為：y60×11?10a60×12?10a?60×(a?1)?10a30a+20ap11?11y30(a+1)+20a?30×29+20a30×30+20ap1?11日利潤(rùn)y的數(shù)學(xué)期望為：Ey=1=?3結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)，當(dāng)a=24時(shí)，日利潤(rùn)y的數(shù)學(xué)期望最大，最大值為958.5元?！绢}組四分布列與其他綜合】1．（2021·湖南常德市一中）某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為三級(jí)過濾，使用壽命為十年.如圖所示，兩個(gè)一級(jí)過濾器采用并聯(lián)安裝，二級(jí)過濾器與三級(jí)過濾器為串聯(lián)安裝.其中每一級(jí)過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn)，在使用過程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換（每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立），三級(jí)濾芯無需更換，若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)80元，二級(jí)濾芯每個(gè)160元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)200元，二級(jí)濾芯每個(gè)400元,現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖是根據(jù)200個(gè)一級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的柱狀圖，表是根據(jù)100個(gè)二級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表:二級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表：二級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)56頻數(shù)6040以200個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以100個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30的概率；（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級(jí)濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）記，分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定，的值.【答案】（1）；（2）見解析；（3）=23，=5.【解析】（1）由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為，則該套凈水系統(tǒng)中的兩個(gè)一級(jí)過濾器均需更換個(gè)濾芯，二級(jí)過濾器需要更換個(gè)濾芯．設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為”為事件.因?yàn)橐粋€(gè)一級(jí)過濾器需要更換個(gè)濾芯的概率為，二級(jí)過濾器需要更換個(gè)濾芯的概率為，所以.（2）由柱狀圖可知，一個(gè)一級(jí)過濾器需要更換的濾芯個(gè)數(shù)為，，的概率分別為，，.由題意，可能的取值為，，，，，并且，，，，.所以的分布列為.（3）【解法一】因?yàn)?，，若，，則該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為；若，，則該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為.故，的值分別為，.【解法二】因?yàn)?，，若，，設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買一級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為（單位：元），則.設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買二級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為（單位：元），則，.所以該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為.若，，設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買一級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為（單位：元），則.設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買二級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為（單位：元），則.所以該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為.故，的值分別為，.2．（2021·河北滄州·高三月考）在我國，月日的月日數(shù)恰好與火警電話號(hào)碼相同，而且這一天前后，正值風(fēng)干物燥、火災(zāi)多發(fā)之際，全國各地都在緊鑼密鼓地開展冬季防火工作，為增加全民的消防安全意識(shí)，于年發(fā)起，公安部將每年的月日定為全國的“消防日”．為切實(shí)提高中學(xué)生消防安全知識(shí)，增強(qiáng)火災(zāi)的應(yīng)對(duì)能力，某市特舉辦以“消防安全進(jìn)萬家，平安相伴你我他”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙同學(xué)將代表學(xué)校參加．為取得好成績(jī)，二人在消防知識(shí)題庫中各隨機(jī)選取題練習(xí)，每題答對(duì)得分，答錯(cuò)得分，練習(xí)結(jié)果甲得分，乙得分．若以二人練習(xí)中答題正確的頻率作為競(jìng)賽答題正確的概率，回答下列問題．競(jìng)賽第一環(huán)節(jié)，要求甲乙二人各選兩題做答，每題答對(duì)得分，答錯(cuò)不得分，求甲乙二人得分和的概率分布列和期望；第二環(huán)節(jié)中，要求二人自選兩道題或四道題做答，要求一半及一半以上正確才能過關(guān)，那么甲乙二人怎樣選擇，各自過關(guān)的可能性較大．【答案】分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；甲選道題，乙選道題．【解析】由已知得，甲答題的正確率為，乙答題的正確率為，設(shè)甲乙二人得分和的隨機(jī)變量為，則的可能取值為，，，，.則的分布列為甲選題，過關(guān)率為甲選題時(shí)，過關(guān)率為甲選道題乙選題，過關(guān)率為乙選題，過關(guān)率為乙選道題.3．（2021·河南高三開學(xué)考試（理））為全面貫徹落實(shí)《中華人民共和國國家通用語言文字法》，實(shí)現(xiàn)“普通話初步普及，社會(huì)用字基本規(guī)范”的城市語言文字工作目標(biāo)，國家啟動(dòng)了三類城市語言文字規(guī)范化達(dá)標(biāo)創(chuàng)建評(píng)估工作．評(píng)估驗(yàn)收專家組在對(duì)某縣語言文字工作進(jìn)行考查評(píng)估期間，到縣屬新華學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，被調(diào)查者之間回答問題相互獨(dú)立、互不影響．工作人員在新華學(xué)校隨機(jī)抽取了甲、乙、丙三名學(xué)生，每位學(xué)生從事先準(zhǔn)備的個(gè)問題中隨機(jī)抽取個(gè)問題進(jìn)行問卷調(diào)查．計(jì)分規(guī)則為：答對(duì)一個(gè)問題計(jì)分，答錯(cuò)一個(gè)扣分，最終三名學(xué)生得分相加為該校最終評(píng)估得分，總分位于評(píng)定為合格．其中甲、乙、丙分別能答對(duì)個(gè)問題中的個(gè)、個(gè)、個(gè)．（1）求甲、乙兩名學(xué)生共計(jì)得分分的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量表示新華學(xué)校最終評(píng)估得分，求的分布列及數(shù)學(xué)期望，并求出該校為合格的概率．【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為；．【解析】（1）記“甲、乙兩位同學(xué)共計(jì)得分分”為事件，等價(jià)于甲．乙兩位同學(xué)共答對(duì)題．則事件的概率為：．（2）由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值為、、、，，．，，故隨機(jī)變量的分布列如下表所示：隨機(jī)變量的數(shù)