《工程光學》物理光學參考問題詳解3

實用文檔物理光學作業(yè)參考答案[13-1] 波長 500nm的單色光垂直入射到邊長 3cm的方孔，在光軸（它通過孔中心并垂直孔平面）附近離孔 z處觀察衍射，試求出夫瑯和費衍射區(qū)的大致范圍。解：夫瑯和費衍射條件為：(x12y12)maxk2z即：z(x12y12)max(15106)2(15106)20.91012nm900m500[13-3] 平行光斜入射到單縫上，證明： （1）單縫夫瑯和費衍射強度公式為2II0sin[a(sinsini)]asini)(sin式中，I0是中央亮紋中心強度； a是縫寬； 是衍射角， i是入射角（見圖）。證明：（1）建立如圖所示坐標系，則入射光的波矢：XX1k k(sini,0,cosi)縫上任意點 Q的位矢：r (x1,y1,0) i

Q

P單逢上光場的復振幅為：~ikrAeiksinix1E(x1)Ae因此，觀察面上的夫瑯和費衍射場為：E(x)1ik(zx2)aE(x1)eikxxdx1xsin）e12z1az1z~2~1iz12Aik(z1x2)a2z12iksinix1eiksinx1dx1iz1eae2Aik(zx2)aie12z1a2eik(sinsini)x1dx1z12ik(zx2)sin[asini)]A2z1(sinaez1asini)(sin實用文檔所以，觀察面上的光強分布為：~~*sin[a(sinsini)]}2IE(x)E(x)I0{a(sinsini)式中：I0(Aa)2z1（2）第一暗點位置：a(sin sini)sin siniai i2cos sin2 2 aiacosi[13-4] 在不透明細絲的夫瑯和費衍射圖樣中，測得暗條紋的間距為 1.5mm，所用透鏡的焦距為30mm，光波波長為632.8nm。問細絲直徑是多少？解：根據(jù)互補屏衍射原理，不透明細絲的夫瑯和費衍射圖樣與相同寬度單縫的夫瑯和費衍射圖樣除中心點之外是相同的，而衍射圖樣中暗條紋的間距等于中央亮紋寬度的一半，因此，有：xffaaf632.8106301.2656102mm0.013mmx1.5即細絲直徑是0.013mm.[13-6]導出外徑和內(nèi)徑分別為a和b的圓環(huán)（見圖）的夫瑯和費衍射強度公式，并求出當b=a/2時，（1）圓環(huán)衍射與半徑為a的圓孔衍射圖樣的中心強度之比；（2）圓環(huán)衍射圖樣第一個暗環(huán)的角半徑。（注：Z13.144）解：半徑為a的圓孔在衍射場P點產(chǎn)生的振幅為：EaE02J1(ka)ca22J1(ka)kaka其中c為比例系數(shù)，因為場中心振幅E0正比于圓孔的面積a2。圓孔中的圓屏使P點的振幅減小：實用文檔Eb cb22J1(kb)kb因此，圓環(huán)在 P點產(chǎn)生的振幅為：EhEaEb2c[a2J1(ka)b2J1(kb)]kakb圓環(huán)在P點產(chǎn)生的強度為：22IhEh24c2a4J1(Z1)b4J1(Z2)2a2b2J1(Z1)J1(Z2)Z1Z2Z1Z2式中，Z1ka,Z2kb。對于衍射場中心，Z1Z20，相應的強度為：(Ih)04c2a4b4a2b2c2(a22)2442b當b=a/2時，229c2a4（1）(Ih)0c2a2a216所以，圓環(huán)衍射與半徑為a的圓孔衍射圖樣的中心強度之比：Ih9c2a40169Ia0c2a416（2）圓環(huán)衍射強度的第一個零值滿足:a2J1(ka)b2J1(kb)0kakb即aJ1(ka)bJ1(kb)aJ1(1ka)22利用貝塞耳函數(shù)表解上方程，得到：Z1 ka 3.144因此，圓環(huán)衍射強度的第一個零點的角半徑為：3.1440.512aa[13-7]不透明屏幕上有一孔徑，用一個向P點會聚的球面波照明，P點位于孔徑后面與孔徑相距z的平行平面上，如圖所示。(1)求出孔徑平面上入射球面波的傍軸近似，設P點分別位于Z軸上和軸外(0，y1)點兩種情形。假設孔徑面到觀察面之間為菲涅耳衍射區(qū)，證明在上述兩種情形下，觀察到的強度分布是孔徑的夫瑯和費衍射，且分布中心在P點。實用文檔解：（1）孔徑 平面上任意考察點~ AE(y0) er

(0,y0) 處光場的復振幅分布為：ikr Aeikrzk為波數(shù)。對相位因子中的 r取傍軸近似：r(y1y0)2z2z[1(y1y0)2]則復振幅分布：2z2~Aeikzexp{ik(y12}E(y0)zy0)2z當P點位于z軸上時，y10，則有：~Aikzk2E(y0)zeexp(i2zy0)（2）入射球面波被孔徑衍射后，在觀察面上復振幅分布為：~1ikz~iky0)2}dy0E(y)izeE(y0)exp{(y2z1Aiky)2k)2(y0i(yyeikzikze1e2z0dy0ize2zzAik(y2y2)ik(yy)y0e2z1ez1dy0iz2此結果表明，觀察面上復振幅分布~(y)就是平行光垂直照射孔徑的夫瑯和費衍射場分E布，只不過分布的中心在(0,y1)點處，即P點處。當P點位于z軸上時，y10，此時只是上述情況的特例：~1ikz~ik(yy0)2}dy0E(y)zeE(y0)exp{i2z1eikzAeikziky2k(yy)2iie2z0e2z0dy0zziky2ikyy0dy0iA2e2zezz實用文檔[13-12]一臺顯微鏡的數(shù)值孔徑為0.85，問(1)它用于波長為400nm時的最小分辨距離是多少?(2)若利用油浸物鏡使數(shù)值孔徑增大到1.45，分辨率提高了多少倍?(3)顯微鏡的放大率應設計成多大?(設人眼的最小分辨角為1')。解：（1）0.610.61400nm顯微鏡的分辨率為：NA0.85287（2）數(shù)值孔徑增大后顯微鏡的分辨率為：'0.610.61400nmNA2871.45所以，分辨率提高了：1.7倍'168（3）人眼的明視距離為250mm，所以人眼的最小分辨距離為：0250106172700nm60180所以顯微鏡的放大率應設計成：0'

72700168

430倍[13-15]光柵的寬度為l0cm，每毫米內(nèi)有500條縫，光柵后面放置的透鏡焦距為500mm。問(1)它產(chǎn)生的波長632.8nm的單色光的1級和2級譜線的半寬度是多少?(2)若入射光是波長為632.8nm和波長之相差0.5nm的兩種單色光，它們的1級和2級譜線之間的距離是多少?解：（1）光柵常數(shù)d10.2102mm500光柵總縫數(shù)Nw1005104d0.2102光柵的角半寬度：Ndcosmwcosm光柵產(chǎn)生的m級譜線的峰值強度位置由光柵方程確定：dsinmm所以，波長632.8nm的單色光的1級和2級譜線的方向：1sin1sin1632.810618.433d0.21022sin12sin12632.810639.2d0.2102因此，波長632.8nm的單色光的1級和2級譜線的半寬度是：x1f632.81065006.671065003.34103mm100cos1實用文檔x2f632.81065008.171065004.09103mm100cos2（2）光柵的線色散為：dlmfddcosm波長632.8nm的單色光的1級和2級譜線相應的線色散為：dlmf1500mm0.26mm/nmddcos10.21012106nmcos18.433dlmf2500mm0.64mm/nmddcos20.2102106nmcos39.22而波長差0.5nm的兩種單色光的1級和2級譜線之間的距離為：l1

dl

0.26 0.5 0.13mmd

1l2

dld

0.64 0.5 0.32mm2[13-16]設計一塊光柵，要求(1)使波長=600nm的第2級譜線的衍射角30，(2)色散盡可能大，(3)第3級譜線缺級，(4)在波長=600nm的2級譜線處能分辨0.02nm的波長差。在選定光柵的參數(shù)后，問在透鏡的焦面上只可能看到波長600nm的幾條譜線?解：為達到條件（1），光柵必須滿足：dm2600106mm2.4103mmsinsin30根據(jù)條件（2），應選擇d盡可能小，故d2.4103mm根據(jù)條件（3），光柵縫寬a應為：ad0.8103mm3再根據(jù)條件（4），光柵的縫數(shù)N至少應有：N60015000m20.02所以，光柵的總寬度W至少為：WNd150002.4103mm36mm光柵產(chǎn)生的譜線應在90的范圍內(nèi)，當90時：dsin2.4103mm4m600106mm實用文檔第4級譜線對應于90方向，實際上不可能看到，此外第3級缺級，所以，只能看見0,1,2共5條譜線。[13-19]解：方法一：把每兩條縫寬為a，間隔d'2a的雙縫看作一個衍射單元，整個衍射屏由間距d6a的N個這樣的衍射單元組成。則單元衍射因子為:~~sinsinE1()E0sin2其中：asin2d'sin22asin4所以，~()~sinsin4~sinE1E0sin22E0cos2N個衍射單元的干涉因子為：N'~sin()2E2'sin2其中：'2dsin26asin12所以，sin6NE2()sin6最終，得到整個衍射屏產(chǎn)生的夫瑯和費衍射場的復振幅為：~)~~()~sinsin6NE(E1()E22E0cos2sin6故，整個衍射屏產(chǎn)生的夫瑯和費衍射場的強度分布為：~~*sin22I()4I0cos2sin6NE()Esin6其中，I0~~E0E0為單縫衍射零級主強度。方法二：分別把N條奇數(shù)縫與 N條偶數(shù)縫看作二個相同的衍射單元。是由間距d 2a的兩個