微積分8-2二重積分的計(jì)算

*三、二重積分的換元法第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二重積分的計(jì)算法第十章D為X-

型區(qū)域D為Y-型區(qū)域一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分引:曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的記作同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算記作例.求兩個(gè)底圓半徑為R的直交圓柱面所圍的體積.解:設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為且在D上連續(xù)時(shí),由曲頂柱體體積的計(jì)算可知,若D為X-

型區(qū)域則若D為Y-型區(qū)域則一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于說明:(1)若積分區(qū)域既是X-型區(qū)域又是Y

-型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則例1.

計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X-型區(qū)域,則解法2.將D看作Y-型區(qū)域,

則例2.計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì)x后對(duì)y積分,及直線則oxy11Dy=xxyoxy11Dy=xD1D2oy-111練習(xí)1.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X-型域:先對(duì)x積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.練習(xí)2.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y-型區(qū)域,則三、關(guān)于利用對(duì)稱性積分的問題(1)若D的圖形關(guān)于x軸對(duì)稱.(i)若f(x,–y)=f(x,y),

其中點(diǎn)(x,–y)與(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱，即函數(shù)也關(guān)于x軸對(duì)稱.yx0D2D1(ii)若f(x,–y)=–f(x,y),(2)若D的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.yx0D2D1若f(–

x,y)=f(x,y).其中

(–x,y)是(x,y)的關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn).(ii)f(–x,y)=–f(x,y)，則例5.

計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分對(duì)應(yīng)有在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為即設(shè)則特別,對(duì)此時(shí)若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)為什么引用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分？21D0y

xD1D2D3D4D:.怎么計(jì)算？需使用極坐標(biāo)系！此題用直角系算麻煩必須把D分塊兒!此題用直角系算麻煩，需使用極坐標(biāo)系！21D0y

x變換到極坐標(biāo)系..

D:r=1和

r

=2圍成DoxyDoxy0y

x2R區(qū)域邊界：.r=2Rsinr=2Rsin0y

x12

y=xD0y

x4r=4cosr=8cos8D1223.計(jì)算y=2xx=y解:I=例7.計(jì)算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.注:利用上題可得一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,①故①式成立.又例8.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對(duì)稱性可知練習(xí).

計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對(duì)稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對(duì)稱性,得*三、二重積分換元法

定積分換元法滿足一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的,證:根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過變換T,在xOy面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則同理得當(dāng)h,k充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),例8.

計(jì)算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則例9.計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域D的面積S.解:令則例10.

試計(jì)算橢球體解:由對(duì)稱性令則D的原象為的體積V.內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?畫出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積分好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分