量子力學(xué)：14-狄拉克符號(hào)

作業(yè)6（10/27-11/04）6、4.4，4.5，4.9，6.4，7.12一、對(duì)表象及其變換的回顧量子態(tài)和算符的矩陣表示總結(jié)量子態(tài)力學(xué)量F表象(基矢k)F’表象(基矢‘)F表象F’表象的幺正變換矩陣4坐標(biāo)和動(dòng)量表象中的波函數(shù)平面波的波函數(shù)為任意粒子的波函數(shù)可以按此平面波做傅立葉展開(kāi)坐標(biāo)表象的波函數(shù)動(dòng)量表象的波函數(shù)5坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符坐標(biāo)坐標(biāo)表象動(dòng)量動(dòng)量表象算符的形式與表象有關(guān)算符的對(duì)易關(guān)系與表象的選擇無(wú)關(guān)平均值與表象無(wú)關(guān)6坐標(biāo)和動(dòng)量表象中的能量本征方程處于勢(shì)場(chǎng)V(r)中的粒子，在坐標(biāo)表象中的能量本征方程為坐標(biāo)表象的波函數(shù)動(dòng)量表象的波函數(shù)動(dòng)量表象中r的表示動(dòng)量表象中的能量本征方程能量本征值不變70、三維各向同性諧振子的回顧(1)三維各向同性諧振子在直角坐標(biāo)和球坐標(biāo)下的解：能量本征値、簡(jiǎn)并度不變8量子力學(xué)狄拉克符號(hào)9目錄一、量子態(tài)以及表象變換回顧二、狄拉克符號(hào)的定義與內(nèi)積三、量子力學(xué)的態(tài)矢表示四、投影算符的意義五、算符向左作用及應(yīng)用六、連續(xù)譜的狄拉克符號(hào)習(xí)題10狄拉克符號(hào)一、右矢和左矢一個(gè)量子態(tài)相當(dāng)于一個(gè)態(tài)矢量。選定一組基矢，即選定表象后，態(tài)矢量可以用在這組基矢上的投影（即矢量的分量）表示。與數(shù)學(xué)中表示一個(gè)矢量可以不引入坐標(biāo)系不用它的分量而直接用矢量表示相似，在量子力學(xué)中表示一個(gè)量子態(tài)也可以不引進(jìn)具體的表象，直接用矢量符號(hào)表示。這就是狄拉克符號(hào)。

1．量子力學(xué)體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)態(tài)空間，態(tài)空間包括一個(gè)右矢空間和一個(gè)相應(yīng)的左矢空間。右矢空間中矢量寫(xiě)成，左矢空間的矢量寫(xiě)成。如：表示坐標(biāo)的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)的本征值為；表示動(dòng)量的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)的本征值為；或表示能量的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)的本征值為；表示和的本征態(tài)；………………11標(biāo)量積（內(nèi)積）和的標(biāo)量積定義為標(biāo)量積是一個(gè)數(shù)，可以在運(yùn)算中隨意移動(dòng)位置。在同一表象中，和的標(biāo)量積是相應(yīng)的分量的乘積之和。比如：在表象中在表象中12二、狄拉克符號(hào)的定義與內(nèi)積(3)13

1、力學(xué)量算符滿(mǎn)足的本征方程為或或代表對(duì)應(yīng)的本征態(tài)。

2．態(tài)疊加原理右矢空間中的任意態(tài)矢可以表示成若干個(gè)右矢疊加，左矢空間中的任意態(tài)矢可以表示成若干個(gè)左矢疊加，即但右矢和左矢不能疊加。

3．右矢和左矢互為共軛

注意：和都沒(méi)有意義。14三、量子力學(xué)的態(tài)矢表示（1）15三、量子力學(xué)的態(tài)矢表示（2）16三、量子力學(xué)的態(tài)矢表示（3）17三、量子力學(xué)的態(tài)矢表示（4）18三、量子力學(xué)的態(tài)矢表示（1）19四、投影算符的意義(1)20投影算符的意義在F表象中，基矢為k|k>，任意態(tài)投影算符封閉性Pk的作用在|>上，得到的是|>在|k>方向上的投影，也可以說(shuō)將|>在|k>方向上的分量挑選出來(lái)。相當(dāng)于單位算符21投影算符的性質(zhì)投影算符P是厄米算符投影算符投影算符P的本征值是0和122五、算符向左作用及應(yīng)用(1)共軛空間L為厄米算符23五、算符向左作用及應(yīng)用(2)例題124五、算符向左作用及應(yīng)用(3)例題2(1)25五、算符向左作用及應(yīng)用(4)例題2(2)26六、連續(xù)譜下的狄拉克符號(hào)(1)27六、連續(xù)譜下的狄拉克符號(hào)(2)28六、連續(xù)譜下的狄拉克符號(hào)(3)29六、連續(xù)譜下的狄拉克符號(hào)(4)量子態(tài)|>在坐標(biāo)表象中的表示量子態(tài)|>在動(dòng)量表象中的表示<p|>30六、連續(xù)譜下的狄拉克符號(hào)(5)31一般表示與狄拉克符號(hào)表示對(duì)照表32二、例題(1)33例題(2)34例題(3)35例題(4)36例題(5)37例題(6)38二、例題(2)39二、例題(3)40二、例題(4)41二、例題(5)42二、例題(6)43二、例題(7)44二、例題(8)45二、例題(9)

例1：某力學(xué)量在

表象中的矩陣為

由系數(shù)行列式

代入方程得

代入方程得

的本征值所相應(yīng)的本征矢在表象中的表示為所相應(yīng)的本征矢在表象