第五章第2-4節(jié)假設檢驗

假設檢驗假設檢驗的基本概念正態(tài)總體均值的假設檢驗正態(tài)總體方差的假設檢驗引例[1]某廠有一批產(chǎn)品，共200件，須經(jīng)檢驗合格才能出廠，按國家標準，次品率不得超過3%，今在其中任意抽取了10件，發(fā)現(xiàn)這10件中有2件是次品，問這批產(chǎn)品能否出廠？（即這批產(chǎn)品的次品率“”是否成立？）[2]設箱中有紅白兩種顏色的球共100個，甲說這里面有98個白球，乙從箱中依次有放回地任取兩個,發(fā)現(xiàn)兩個都是紅球，問甲的說法是否正確？引例[3]根據(jù)觀察一批零件上的疵點數(shù)得到如下數(shù)據(jù)：疵點數(shù)頻數(shù)問：該批零件上的疵點數(shù)是否服從泊松分布？假設檢驗的定義

從樣本值出發(fā)去判斷關于總體分布的一個“說法”是否成立，此處，稱“說法”為“假設”。假設檢驗的分類

某旅游機構根據(jù)過去資料對國內(nèi)旅游者的旅游費用進行分析,發(fā)現(xiàn)在10日的旅游時間中,旅游者用的車費、住宿費、膳食費及購買紀念品等方面的費用X是一個近似服從正態(tài)分布的隨機變量，其平均值為1010元，標準差為205元。而某研究所抽取了樣本容量為400的樣本，作了同樣內(nèi)容的調(diào)查，得到樣本平均數(shù)為1250元。若把旅游機構的分析結果看作是對總體參數(shù)的一種假設，這種假設能否接受？析：此題目即通過樣本數(shù)據(jù)信息判斷X的期望μ=1010元是否正確一般用H0表示所提出的假設，稱之為原假設用H1表示與原假設對立的假設，稱之為備擇假設從而此題有H0：μ=1010H1：μ≠1010假設成立，則用X～N（1010，2052）從而樣本均值統(tǒng)計量故取α=0.05,則即即Z落在區(qū)間(-1.96,1.96)之外的概率僅有0.05,這是一個很小的概率，在一次試驗當中幾乎是不可能發(fā)生的?，F(xiàn)代入樣本數(shù)據(jù)計算得故我們有理由懷疑H0：μ=1010即認為平均費用不是1010元。假設檢驗的基本思想

—小概率事件原理小概率事件原理

小概率事件在一次試驗當中幾乎不會發(fā)生。一般認為概率小于或等于0.05的事件為小概率事件。

設待檢驗的假設為,先假定成立，若由樣本觀測值導致了不合理（小概率事件發(fā)生了）的現(xiàn)象發(fā)生，則認為假設不成立，即應拒絕，否則應接受，即不能拒絕。假設檢驗中的否定域和接受域

設在原假設成立條件下，得出樣本統(tǒng)計量落入某個區(qū)域W的概率α

很小，從而由樣本觀測值計算的統(tǒng)計量若落入該區(qū)域，則認為假設不成立，即應拒絕，稱區(qū)域W為H0拒絕域（否定域）。假設檢驗的主要任務：在給出的小概率α下把原假設的否定域找出來。假設檢驗中的兩類錯誤

由于檢驗法則是依據(jù)樣本作出的，因此假設檢驗的結果可能犯兩類錯誤：

第一類錯誤：當原假設為真時，作出的決定卻是拒絕，即“棄真”，犯這類錯誤的概率記為，即

第二類錯誤：當原假設不正確時，作出的決定卻是接受，即“取偽”，犯這類錯誤的概率記為，即

稱為顯著性水平．也是小概率事件發(fā)生的概率，的大小依具體情況確定，通常取

=0.05，0.01．

說明

在確定檢驗法則時，應盡可能使犯兩類錯誤的概率都較小．但是，一般說來，當樣本容量給定以后，若減少犯某一類錯誤的概率，則犯另一類錯誤的概率往往會增大，一般原則：控制犯第一類錯誤即“棄真”的概率，即給定然后通過增大樣本容量來減小.假設雙(尾)側檢驗單側（尾）檢驗H0m=m0mm0mm0H1m≠m0m<m0m>m0雙側檢驗與單側檢驗

把待檢驗的假設稱為原假設（零假設或基本假充），把原假設的對立面稱為備擇假設（對立假設）,記為。假設檢驗的一般步驟1、確定原假設和備擇假設。2、選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量，確定當成立時的分布形式。3、對給定的顯著水平，確定否定域使得：

(W形式須表示否定之意)4、代入樣本觀測量計算檢驗統(tǒng)計量的值.5、作出結論：注:一般情況下,人們總是把希望證明的假設作為備擇假設.

某廠為了提高電池的壽命進行了工藝改革。從生產(chǎn)的一大批產(chǎn)品中隨機抽取10只，測得其壽命均值為h，S=4.8h.已知舊工藝條件下的電池服從正態(tài)分布N（200,25），試問新產(chǎn)品與舊產(chǎn)品的壽命是否一致？

解：檢驗由于新工藝的未知，因此選擇統(tǒng)計量，故拒絕H0。令α=0.05，得正態(tài)總體均值的假設檢驗

一、單個正態(tài)總體均值的假設檢驗

假設總體，是來自總體X的樣本，為樣本均值，檢驗假設

當H0成立時，檢驗統(tǒng)計量

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

(1)總體方差已知時，總體均值的假設檢驗

某廠商聲稱其新開發(fā)的合成的釣魚線的強度X服從正態(tài)分布,且平均強度為8千克,標準差為0.5千克.現(xiàn)從中隨機抽出50條釣魚線,測試結果為平均強度為7.8千克.問:能否接受該廠商的聲稱?

解：檢驗對于給定的顯著性水平α=0.01,當H0成立時,有故拒絕H0。計算P值代入樣本數(shù)據(jù)計算得及

解：檢驗問在

水平下檢驗折斷力均值有無變化?代入樣本數(shù)據(jù)計算得故拒絕H0。計算P值

eg.某車間生產(chǎn)鋼絲,有X表示鋼絲的折斷力,由經(jīng)驗判斷,其中.今換了一批材料,從性能上看,估計折斷力的方差不會有什么變化,但不知道折斷力的均值和原先有無差別.現(xiàn)抽得樣本,測得其折斷力為:當H0成立時

假設總體，是來自總體X的樣本，為樣本均值，檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

一、單個正態(tài)總體均值的假設檢驗

(1)總體方差已知時，總體均值的假設檢驗總體均值的假設檢驗10年前的研究指出,1歲男嬰的身高單位為:cm.現(xiàn)在隨著生活條件的改變,很可能平均身高和過去不同了.現(xiàn)隨機抽200位1歲男嬰,調(diào)查數(shù)據(jù)得平均身高為79.87cm,請問根據(jù)這組調(diào)查數(shù)據(jù),是否可以認為男嬰的平均身高增高了?

解：檢驗對于給定的顯著性水平α=0.01,否定域為代入樣本數(shù)據(jù)計算得，故拒絕H0,接受H1即可以認為男嬰的平均身高增高了.總體均值假設檢驗

假設總體，是來自總體X的樣本，為樣本均值，為樣本方差。檢驗假設

當H0成立時，檢驗統(tǒng)計量

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

一、單個正態(tài)總體均值的假設檢驗

(2)總體方差未知時，總體均值的假設檢驗某鄉(xiāng)統(tǒng)計員報告，其所在鄉(xiāng)平均每個農(nóng)戶的家庭年收入為5000元，為核實其說法，縣統(tǒng)計局從該鄉(xiāng)隨機抽取25戶農(nóng)戶，得到平均年收入為4650元，標準差為150元，假定農(nóng)戶的年收入X服從正態(tài)分布。試在α=0.05的顯著水平下檢驗鄉(xiāng)統(tǒng)計員的說法是否正確。

解：檢驗對于給定的顯著性水平α=0.05,否定域為樣本容量n=25,故否定域為：代入樣本數(shù)據(jù)

計算得：故拒絕H0，即認為鄉(xiāng)統(tǒng)計員的說法不正確。

解：檢驗代入樣本數(shù)據(jù)

計算得故不應拒絕H0,即認為包裝機工作正常。

水泥廠用自動包裝機包裝水泥,每袋額定重量是50kg,某日開工后隨機抽查了9袋,稱得其重量如下:設每袋重量,問該日包裝機工作是否正常?當H0成立時故顯著性水平時,H0的否定義域為:總體均值的假設檢驗

假設總體，是來自總體X的樣本，為樣本均值，為樣本方差。檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

一、單個正態(tài)總體均值的假設檢驗

(2)總體方差未知時，總體均值的假設檢驗Eg.某廠生產(chǎn)的一種金屬線,其抗拉強度的均值為10620千克.據(jù)說經(jīng)過工藝改進后其抗拉強度有所提高.為檢驗,從新生產(chǎn)的產(chǎn)品中,隨機抽取了10根,測得平均抗拉強度為10631千克,標準差為81千克,高抗拉強度X服從正態(tài)分布,問:在的顯著性水平下,可否認為抗拉強度比過去提高了?

解：檢驗假設

對給定顯著性水平，否定域為：

樣本容量n=10,故否定域為

代入樣本數(shù)據(jù)

計算得：故接受H0，即認為抗拉強度沒有明顯提高。設為取自總體N(1，12)的樣本，

為取自總體N(2，22)的樣本，分別表示兩個樣本的均值與方差

總體均值的假設檢驗假設檢驗

二、兩個正態(tài)總體均值之差的假設檢驗

(1)兩個總體方差12,

22已知時，總體均值的假設檢驗相互獨立，故對給定的顯著性水平，否定域為：取檢驗統(tǒng)計量則當成立時，

類似

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

檢驗假設

[例7.7]

裝配一種小部件可采用兩種不同的生產(chǎn)工序,據(jù)稱,裝配時間服從正態(tài)分布,且根據(jù)過去經(jīng)驗,工序1的標準差為2分鐘,工序2的標準差為3分鐘.為了研究兩種工序的裝配時間是否有差異,各抽10個樣本進行試驗,檢查結果為分鐘,分鐘,試以進行顯著性檢驗.

解：檢驗假設

等價于檢驗假設

對于給定的顯著性水平

,否定域為

代入樣本數(shù)據(jù)

計算得：故接受H0，即認為兩種工序在裝配時間之間沒有顯著差異.及

當成立時，（2）方差未知，但時，均值差的假設檢驗假設檢驗

取檢驗統(tǒng)計量故對給定的顯著性水平，否定域為：

類似

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

檢驗假設

[例7.8]

為比較兩種牧草對乳牛的飼養(yǎng)效果,隨機從乳牛群中選出12頭,喂以脫水牧草；選出13頭喂以枯萎的牧草.根據(jù)一個月的觀察,得到食用枯萎牧草的乳牛的平均每日乳量磅,；食用脫水牧草的乳牛的平均每日產(chǎn)乳量磅.問這些資料是否足以證明食用枯萎牧草的乳牛的平均牛乳產(chǎn)量大于食用脫水牧草的乳牛?(設)試以檢驗.

解：檢驗假設

對給定的顯著性水平，否定域為：代入樣本數(shù)據(jù)

計算得：故接受H0，即不認為食用枯萎牧草的乳牛的平均牛乳產(chǎn)量大于食用脫水牧草的乳牛的產(chǎn)量.

及查表得:故否定域為:總體方差的假設檢驗

假設總體，是來自總體X的樣本，為樣本均值，為樣本方差。檢驗假設選取統(tǒng)計量

故對于給定的顯著性水平，拒絕域為

一、單個正態(tài)總體方差的假設檢驗當H0成立時,

[例7.16]

某車間生產(chǎn)銅絲,生產(chǎn)一向比較穩(wěn)定。今從中隨抽取10根,測得銅絲折斷力的均值為,方差為,問:在的顯著性水平下,可否仍然相信該車間生產(chǎn)的銅絲折斷力方差仍然為64?

解：檢驗假設

選取統(tǒng)計量

對給定顯著性水平，H0否定域為：

查表得代入樣本數(shù)據(jù)

計算得：故接受H0，即可認為方差仍為64.故否定域為:總體方差的假設檢驗

假設總體，是來自總體X的樣本，為樣本均值，為樣本方差。檢驗假設選取統(tǒng)計量

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

一、單個正態(tài)總體方差的假設檢驗檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

設為取自總體N(1，12)的樣本，

為取自總體N(2，22)的樣本，分別表示兩個樣本的均值與方差

總體方差的假設檢驗假設檢驗

二、兩個正態(tài)總體方差之比的假設檢驗選取統(tǒng)計量則當H0成立時

對給定的顯著性水平有對給定的顯著性水平的否定域為:總體方差的假設檢驗檢驗假設選取統(tǒng)計量

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

一、雙正態(tài)總體方差比的假設檢驗檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

[例7.18]

某種脫脂乳品在處理前后分別取樣,分析其含脂率,得到數(shù)據(jù)如下:

解：檢驗假設

對于給定的顯著性水平

,否定域為處理前處理后假定處理前后含指率都服從正態(tài)分布,問處理前后含指率方差是否不變?選取統(tǒng)計量代入樣本數(shù)據(jù)

計算得：

故接受H0，即認為處理前后方差沒有顯著變化.查表得:故否定域為0000

<

0

>

0單正態(tài)總體均值檢驗Z-檢驗

(2已知)原假設

H0備擇假設

H1檢驗統(tǒng)計量及其H0為真時的分布拒絕域0000

<

0

>

0T檢驗法

(2未