第9章一元?dú)怏w動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

氣體動(dòng)力學(xué)研究可壓縮流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其在工程實(shí)際中的應(yīng)用。第九章一元?dú)怏w動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)當(dāng)氣體的流動(dòng)速度較高，壓差較大時(shí)，氣體的密度發(fā)生了顯著變化，必須考慮氣體的可壓縮性，即必須考慮氣體密度隨壓強(qiáng)和溫度的變化而變化的情況。研究可壓縮流體的動(dòng)力學(xué)不只是流速，壓強(qiáng)問(wèn)題，還有密度和溫度問(wèn)題。需要熱力學(xué)的知識(shí)。壓強(qiáng)、溫度用絕對(duì)壓強(qiáng)和開(kāi)爾文溫度。第一節(jié)理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程從微元流束中沿軸線s任取ds段,由理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程:對(duì)于恒定一元流動(dòng):當(dāng)質(zhì)量力僅為重力，氣體在同介質(zhì)中流動(dòng)，浮力和重力平衡，不計(jì)質(zhì)量力S，并去掉角標(biāo)s，則得：dspv§9.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程微分形式的伯努利方程：上式確定了氣體一元流動(dòng)的p,v,ρ之間的函數(shù)關(guān)系。要積分上式，必須給出氣體的p,ρ之間的函數(shù)關(guān)系，必須借助熱力學(xué)過(guò)程方程式。于是：§9.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程氣體一元定容流動(dòng)定容過(guò)程是指氣體在容積不變，或比容不變的條件下進(jìn)行的熱力過(guò)程。定容流動(dòng)是指氣體容積不變的流動(dòng)，即密度不變的流動(dòng)。在ρ=常數(shù)時(shí)：§9.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程方程意義是：沿流各斷面上單位質(zhì)量或重量理想氣體的壓能與動(dòng)能之和守恒，兩者并可互相轉(zhuǎn)換。此式即不可壓縮理想流體元流能量方程式，忽略質(zhì)量力的形式?！?.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程氣體一元等溫流動(dòng)等溫過(guò)程是指氣體在溫度T不變條件下所進(jìn)行的熱力過(guò)程。等溫流動(dòng)是指氣體溫度T保持不變的流動(dòng)?！?.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程又知：將上式代入中，積分得：§9.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程氣體一元絕熱流動(dòng)在無(wú)能量損失且與外界無(wú)熱量交換的情況，為可逆的絕熱過(guò)程，又稱等熵過(guò)程。k：絕熱指數(shù)k=cp/cv為定壓比熱與定容比熱之比。將上式代入并積分：§9.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程將上式變化為：與不可壓縮理想氣體相比多出一項(xiàng)從熱力學(xué)可知，該多出項(xiàng)正是絕熱過(guò)程中，單位質(zhì)量氣體所具有的內(nèi)能?！?.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程證明:單位質(zhì)量氣體具有的內(nèi)能為證明：從熱力學(xué)可知，對(duì)理想氣體有：氣體常數(shù)R為由理想氣體狀態(tài)方程式可得：§9.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程上式表明：氣體等熵流動(dòng)，即理想氣體絕熱流動(dòng)，沿流任意斷面上，單位質(zhì)量氣體所具有的內(nèi)能、壓能、動(dòng)能三項(xiàng)之和均為一常數(shù)?！?.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程氣體動(dòng)力學(xué)中，常用焓i這個(gè)熱力學(xué)參數(shù)來(lái)表示絕熱流動(dòng)全能方程?！?.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程氣體絕熱指數(shù)k取決于氣體分子結(jié)構(gòu)。空氣k=1.4，干飽和蒸汽k=1.135，過(guò)熱蒸汽k=1.33。實(shí)際的流動(dòng)過(guò)程均為多變流動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程式為：多變過(guò)程p，ρ的關(guān)系為：§9.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程特殊流動(dòng)時(shí)，多變指數(shù)為：等溫流動(dòng)：絕熱流動(dòng)：定容流動(dòng)：定壓流動(dòng)：§9.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程例9-1：求空氣絕熱流動(dòng)時(shí)（無(wú)摩擦損失），兩斷面間流速與絕對(duì)溫度的關(guān)系。已知：空氣的絕熱指數(shù)k=1.4,氣體常數(shù)R=287J/kg.k。解：應(yīng)用公式：將k=1.4代入上式：得§9.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程例9-2：為獲得較高空氣流速，使煤氣與空氣充分混合，使壓縮空氣流經(jīng)圖示噴嘴。在1、2斷面上測(cè)得高壓空氣參數(shù)為：p1=12*98100N/m2,p2=10*98100N/m2,v1=100m/s,t1=27℃.試求噴嘴出口速度v2為多少？1122壓縮空氣煤氣煤氣§9.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程§9.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程解：因速度較高，氣流來(lái)不及與外界進(jìn)行熱量交換，且當(dāng)忽略能量損失時(shí)，可按等熵流動(dòng)處理。應(yīng)用上例結(jié)果：1122壓縮空氣煤氣煤氣將各值代入得§9.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程絕熱流動(dòng)有兩種不同的情況：在噴管中的流動(dòng)，具有較高的速度，較短行程，氣流與壁面接觸時(shí)間短，來(lái)不及進(jìn)行熱交換，摩擦損失亦可忽略。可理解為等熵過(guò)程。在有保溫層的管道中流動(dòng)的過(guò)程，一般摩擦作用不能忽略，屬于有摩擦絕熱流動(dòng)。兩者都可以用理想氣體絕熱流動(dòng)的伯努利方程?！?.1理想氣體一元恒定流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程音速流體中某處受外力作用，使其壓力發(fā)生變化，稱為壓力擾動(dòng)。壓力擾動(dòng)產(chǎn)生壓力波，向四周傳播。傳播速度的快慢，與流體的壓縮性和密度有關(guān)。微小擾動(dòng)在流體中的傳播速度，就是聲音在流體中的傳播速度，以符號(hào)c來(lái)表示音速。音速c是氣體動(dòng)力學(xué)重要參數(shù)?！?.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)第二節(jié)音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)小擾動(dòng)波波峰等斷面直管，管內(nèi)裝靜止可壓縮氣體，活塞微小速度dv向右移動(dòng)，產(chǎn)生一微小擾動(dòng)平面波。若定義擾動(dòng)和未擾動(dòng)的分界面為波峰，則波峰的傳播速度就是聲音的傳播速度。

坐標(biāo)固定在波峰上波峰右側(cè)原來(lái)靜止的流體將以速度c向左運(yùn)動(dòng)，壓強(qiáng)為p,密度為ρ。波峰左側(cè)流體將以c-dv向左運(yùn)動(dòng)，壓強(qiáng)為p+dp,密度為ρ+dρ。對(duì)控制體列連續(xù)性方程：§9.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)略去二階小量，得：氣體和液體都適用。對(duì)控制體列動(dòng)量方程，整理得：由上兩式消去dv，可得：§9.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)音速與流體彈性模量平方根成正比，與流體密度平方根成反比，則音速在一定程度上反映出壓縮性的大小。音波傳播速度很快，在傳播過(guò)程中與外界來(lái)不及進(jìn)行熱量交換，可作為等熵過(guò)程考慮?！?.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)應(yīng)用氣體等熵方程式和完全氣體狀態(tài)方程式，可以得到氣體中音速公式：§9.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)推導(dǎo)過(guò)程:不同的氣體有不同的絕熱指數(shù)k，及不同的氣體常數(shù)R,所以各種氣體有各自的音速值。（空氣、氫氣）同一種氣體中音速也不是固定的，它與氣體的絕對(duì)溫度的平方根成正比?！?.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)滯止參數(shù)氣流某斷面的流速，設(shè)想以無(wú)摩擦絕熱過(guò)程降低至零時(shí)，斷面各參數(shù)所達(dá)到的值，稱為氣流在該斷面的滯止參數(shù)。（p,T,i,c)。滯止參數(shù)以下標(biāo)“0”表示。斷面滯止參數(shù)可由方程求出：§9.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)因當(dāng)?shù)匾羲伲簻挂羲伲骸?.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)由于當(dāng)?shù)貧饬魉俣葀的存在，同一氣流中當(dāng)?shù)匾羲賑永遠(yuǎn)小于滯止音速c0,氣流中最大音速是滯止時(shí)的音速c0。（駐點(diǎn)）等熵流動(dòng)中，各斷面滯止參數(shù)不變，其中T0,i0,c0,反映了包括熱能在內(nèi)的氣流全部能量。等熵流動(dòng)中，氣流速度若沿流增大，則氣流溫度T,焓i,音速c沿程降低?！?.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)馬赫數(shù)音速大小在一定程度上反映氣體可壓縮性大小。當(dāng)氣流速度越大，則音速越小，壓縮現(xiàn)象越顯著。馬赫數(shù)將有關(guān)影響壓縮效果的v,c兩個(gè)參數(shù)聯(lián)系起來(lái)。指定點(diǎn)的當(dāng)?shù)厮俣葀與該點(diǎn)當(dāng)?shù)匾羲賑的比值為馬赫數(shù)M?！?.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)M>1,v>c,即氣流本身速度大于音速，則氣流中參數(shù)的變化不能向上游傳播。超音速流動(dòng)。M<1,v<c,即氣流本身速度小于音速，則氣流中參數(shù)的變化能夠各向傳播。亞音速流動(dòng)?！?.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)

M數(shù)是氣體動(dòng)力學(xué)中一個(gè)重要無(wú)因次數(shù)，它反映慣性力與彈性力的相對(duì)比值，如同雷諾數(shù)一樣，是確定氣體流動(dòng)狀態(tài)的準(zhǔn)數(shù)?！?.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)例9-3:某飛機(jī)在海平面和11000m的高空均以速度為1150km/h飛行,問(wèn)這架飛機(jī)在海平面和高空的飛行M是否相同?解:飛機(jī)的飛行速度:§9.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)將滯止參數(shù)與斷面參數(shù)的比值表示為M的函數(shù).§9.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)根據(jù)絕熱過(guò)程方程及氣體狀態(tài)方程可推出§9.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)已知滯止參數(shù)及該斷面上的M值,即可求出該斷面上的壓強(qiáng)、密度和溫度。氣流按不可壓縮處理的極限

M=0時(shí)，各參數(shù)比值為1，即流體處于靜止?fàn)顟B(tài)。M>0時(shí)，不同速度下都存在不同程度的壓縮。M數(shù)在怎樣的限度內(nèi)才可以忽略壓縮的影響？§9.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)例：計(jì)算滯止點(diǎn)壓強(qiáng)，要求誤差小于1%。求M數(shù)的范圍。將壓強(qiáng)式按二次項(xiàng)展開(kāi)，取前三項(xiàng)，則有不考慮壓縮性：考慮壓縮性:§9.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)又因：所以§9.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)相對(duì)誤差M<0.2時(shí)可忽略氣體的可壓縮性，按不可壓縮氣體處理對(duì)于15℃的空氣，c=340m/s,當(dāng)M≤0.2時(shí)，則v≤0.2*340=68m/s當(dāng)要求相對(duì)誤差小于4％時(shí)，速度為136m/sM=0.4，k=1.4M=0.2,k=1.4§9.2音速、滯止參數(shù)、馬赫數(shù)連續(xù)性微分方程§9.3氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程第三節(jié)氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程得：與微分形式的伯努利方程聯(lián)立，消去ρ,整理，得：并代入§9.3氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程

v<c,因此M2-1<0,dv與dA正負(fù)號(hào)相反，說(shuō)明速度隨斷面的增大而減慢，隨斷面的減小而加快。這與不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律是相同的。慢快慢快M<1時(shí)為亞音速流動(dòng)§9.3氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程

v>c,因此M2-1>0,dv與dA正負(fù)號(hào)相同，說(shuō)明速度隨斷面的增大而加快，隨斷面的減小而減慢。慢快慢快M>1時(shí)為超音速流動(dòng)§9.3氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程為什么超音速亞音速流動(dòng)存在截然相反的規(guī)律呢？從流動(dòng)過(guò)程中膨脹程度與速度變化之間的關(guān)系說(shuō)明。代入上式，且§9.3氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程式中dρ,dv符號(hào)相反，表明速度增加，密度減小但M<1時(shí)，M2<<1，于是dρ/ρ遠(yuǎn)小于dv/v，也就是說(shuō)：亞音速流動(dòng)中，速度增加得快，而密度減小得慢，氣體的膨脹程度不很明顯。因此，ρv乘積隨v增加而增加。若兩斷面上速度v1<v2,則必然有A1>A2§9.3氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程

M>1時(shí)，M2>>1，于是dρ/ρ遠(yuǎn)大于dv/v，也就是說(shuō)：超音速流動(dòng)中，速度增加得很慢，而密度卻減小得很快，氣體的膨脹程度非常明顯。這就是密度相對(duì)變化的特性，在亞音速和超音速中的根本差別。

所以，在超音速流動(dòng)中速度與斷面成同向變化的關(guān)系，即速度隨斷面一起增大?！?.3氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程流向面積(A)流速

(v)壓力

(p)密度(ρ)單位面積質(zhì)量流量

(ρv)亞音速流M<1增大減小增大增大減小減小增大減小減小增大超音速流M>1增大增大減小減小減小減小減小增大增大增大

M=1時(shí)，即氣流速度與當(dāng)?shù)匾羲傧嗟?，此時(shí)稱氣體處于臨界狀態(tài)。氣體達(dá)到臨界狀態(tài)的斷面，稱為臨界參數(shù)，用腳標(biāo)k表示?？蓧嚎s流體連續(xù)性微分方程：斷面不需要變化速度等于音速不可能在最大斷面達(dá)到§9.3氣體一元恒定流動(dòng)的連續(xù)性方程拉伐爾噴管當(dāng)M=1時(shí)，本節(jié)討論等斷面管路，等溫流體有沿程摩擦損失時(shí)氣體運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化。等溫流動(dòng)中，雷諾數(shù)是一個(gè)常數(shù)，摩擦阻力系數(shù)也是不變的。等溫管路的基本公式：§9.4等溫管路中的流動(dòng)第四節(jié)等溫管路中的流動(dòng)等溫管流的特征當(dāng)l增加，摩阻增加，將引起如下結(jié)果：當(dāng)kM2<1,1-kM2>0，使v增加，p減