中考數學試題分類匯總《正方形》練習題

第第頁中考數學試題分類匯總《正方形》練習題（含答案）正方形的性質1．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是邊BC上一動點（不與點B，C重合），過點E作EF⊥AE交正方形外角的平分線CF于點F，交CD于點G，連接AF．有下列結論：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF＝∠CEF；④△CEF面積的最大值為．其中正確的是①②（把正確結論的序號都填上）【分析】在AB上取點H，使AH＝EC，連接EH，然后證明△AGE和△ECF全等，再利用全等三角形的性質即可得出答案．【解答】解：在AB上取點H，使AH＝EC，連接EH，∵∠HAE+∠AEB＝90°，∠CEF+∠AEB＝90°，∴∠HAE＝∠CEF，又∵AH＝CE，∴BH＝BE，∴∠AHE＝135°，∵CF是正方形外角的平分線，∴∠ECF＝135°，∴∠AHE＝∠ECF，在△AHE和△ECF中，，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF，EH＝CF，故①正確；∵BE＝BH，∴EH＝BE，∴CF＝BE，故②正確；∵∠AHE＝135°，∴∠HAE+∠AEH＝45°，又∵AE＝EF，∴∠EAF＝45°，∴∠HAE+∠DAF＝45°，∴∠AEH＝∠DAF，∵∠AEH＝∠EFC，∴∠DAF＝∠EFC，而∠FEC不一定等于∠EFC，∴∠DAF不一定等于∠FEC，故③錯誤；∵△AHE≌△ECF，∴S△AHE＝S△CEF，設AH＝x，則S△AHE＝x?（1﹣x）＝﹣x2+x，當x＝時，S△AHE取最大值為，∴△CEF面積的最大值為，故④錯誤，2．如圖，E、F是正方形ABCD的對角線BD上的兩點，BD＝10，DE＝BF＝2，則四邊形AECF的周長等于（）A．20 B．20 C．30 D．4【解答】解：如圖，連接AC交BD于點O．∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OC＝OD＝OB，AC⊥BD，∵BD＝10，DE＝BF＝2，∴OE＝OF＝3，OA＝OC＝5，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形，∴AE＝EC＝CF＝AF＝，∴菱形的周長為4，3．如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線分別交邊AD、BC于E、F兩點，則陰影部分的面積是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EDB＝∠OBF，DO＝BO，在△EDO和△FBO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴S△DEO＝S△BFO，陰影面積＝三角形BOC面積＝×2×2＝1．正方形的綜合4．如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED交BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFM，連接CM．（1）求證：矩形DEFM是正方形；（2）求CE+CM的值．【分析】（1）如圖，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，根據正方形的性質得到∠ACB＝∠ACD．求得EG＝EH，根據矩形的性質得到∠GEH＝90°．∠DEF＝90°．根據全等三角形的性質得到ED＝EF．根據正方形的判定定理即可得到結論；（2）根據正方形的性質得到DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．根據全等三角形的性質得到AE＝CM．根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：（1）如圖，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD．∵EG⊥CD，EH⊥BC，∴EG＝EH，∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，∴四邊形EGCH是矩形，∴∠GEH＝90°．∵四邊形DEFM是矩形，∴∠DEF＝90°．∴∠DEG＝∠FEH．∵∠EGD＝∠EHF＝90°，∴△EGD≌△EHF（ASA），∴ED＝EF．∴矩形DEFM是正方形；（2）∵四邊形DEFM是正方形，四邊形ABCD是正方形，∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．∴∠ADE＝∠CDM．∴△ADE≌△CDM（SAS），∴AE＝CM．∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．5．如圖①，在正方形ABCD中，AB＝6，M為對角線BD上任意一點（不與B、D重合），連接CM，過點M作MN⊥CM，交線段AB于點N（1）求證：MN＝MC；（2）若DM：DB＝2：5，求證：AN＝4BN；（3）如圖②，連接NC交BD于點G．若BG：MG＝3：5，求NG?CG的值．【解答】解：（1）如圖①，過M分別作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，則四邊形BEMF是平行四邊形，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，∴ME＝BE，∴平行四邊形BEMF是正方形，∴ME＝MF，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∵∠FME＝90°，∴∠CME＝∠FMN，∴△MFN≌△MEC（ASA），∴MN＝MC；（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，∴＝＝＝，∴AF＝2.4，CE＝2.4，∵△MFN≌△MEC，∴FN＝EC＝2.4，∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，∴AN＝4BN；（3）如圖②，把△DMC繞點C逆時針旋轉90°得到△BHC，連接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，∵MC＝MN，MC⊥MN，∴△MNC是等腰直角三角形，∴∠MNC＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，設BG＝3a，則MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，則MD＝4a，∵正方形ABCD的邊長為6，∴BD＝6，∴DM+MG+BG＝12a＝6，∴a＝，∴BG＝，MG＝，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGN∽△CGB，∴＝，∴CG?NG＝BG?MG＝．6．如圖，在正方形ABCD中，點M、N分別為邊CD、BC上的點，且DM＝CN，AM與DN交于點P，連接AN，點Q為AN的中點，連接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，給出以下結論：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正確的結論有①④（填上所有正確結論的序號）【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°，在△ADM和△DCN，，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∵∠CDN+∠ADP＝90°，∴∠ADP+∠DAM＝90°，∴∠APD＝90°，∴AM⊥DN，故①正確，不妨假設∠MAN＝∠BAN，在△APN和△ABN中，，∴△PAN≌△ABN（AAS），∴AB＝AP，∵這個與AP＜AD，AB＝AD，矛盾，∴假設不成立，故②錯誤，不妨假設△PQN≌△BQN，則∠ANP＝∠ANB，同法可證△APN≌△ABN，∴AP＝AB，∵這個與AP＜AD，AB＝AD，矛盾，∴假設不成立，故③錯誤，∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8，∴BN＝6，∵∠ABN＝90°，∴AN＝＝＝10，∵∠APN＝90°，AQ＝QN，∴PQ＝AN＝5．故④正確，7．如圖，在正方形ABCD中，，M為對角線BD上任意一點（不與B、D重合），連接CM，過點M作MN⊥CM，交線段AB于點N．連接NC交BD于點G．若BG：MG＝3：5，則NG·CG的值為15．【解答】解：如圖，把△DMC繞點C逆時針旋轉90°得到△BHC，連接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，∵∠CMN＝∠CBN＝90°，∴M、N、B、C四點共圓，∴∠MCN＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，設BG＝3a，則MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，則MD＝4a，∵正方形ABCD的邊長為，∴BD＝12，∴DM+MG+BG＝12a＝12，∴a＝1，∴BG＝3，MG＝5，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGN∽△CGB，∴，∴CG?NG＝BG?MG＝15．8．如圖，MN是正方形ABCD的對稱軸，沿折痕DF，DE折疊，使頂點A，C落在MN上的點G．給出4個結論：①∠BFE＝30°；②△FGM∽△DEG；③tan∠FDC＝2+；④S△DCE＝（2+）S△DAF．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【解答】解：設∠ADF＝α，∠CDE＝β，根據折疊的性質得，∠FDG＝α，∠GDE＝α，∵四邊形ABCD是正方形，則∠ADC＝2α+2β＝90°，∴α+β＝45°，設正方形的邊長為4α，則AD＝DG＝DC＝4α，∵MN是正方形ABCD的對稱軸，∴DN＝2α，∴sin∠DGN＝＝，∴∠DGN＝30°，∵∠FGD＝∠A＝90°，∴∠FGM＝60°，∴∠BFE＝30°，故①正確；∴∠AFD＝∠GFD＝（180°﹣∠BFE）＝75°，∴α＝15°，β＝30°，∵∠MFG＝∠BFE＝30°＝β＝∠GDE，∠B＝∠DGE＝∠C＝90°，∴△FGM∽△DEG；故②正確；設FG＝AF＝x，則FM＝2α﹣x，在△GFM中，cos∠MFG＝＝cos30°＝，∴＝，解得x＝4（2