高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列 全國(guó)公開(kāi)課

第二章第1課時(shí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋a，則a的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742466)(C)A．3 B．0C．－1 D．任意實(shí)數(shù)[解析]S1＝a1＝3＋a，S2－S1＝a2＝32＋a－3－a＝6，S3－S2＝a3＝33＋a－32－a＝18，eq\f(18,6)＝eq\f(6,3＋a)，所以a＝－1.2．若等比數(shù)列{an}各項(xiàng)都是正數(shù)，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，則a3＋a4＋a5的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742467)(D)A．21 B．42C．63 D．84[解析]∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21，又∵a1＝3，∴1＋q＋q2＝7，∵an>0，∴q>0，∴q＝2，∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84.3．等比數(shù)列{an}中，已知前4項(xiàng)之和為1，前8項(xiàng)和為17，則此等比數(shù)列的公比q為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742468)(C)A．2 B．－2C．2或－2 D．2或－1[解析]S4＝1，S8＝S4＋q4·S4＝1＋q4＝17∴q＝±2.4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝a，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an＋1}成等差數(shù)列，則Sn等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742469)(C)A．a(chǎn)n＋1－a B．n(a＋1)C．na D．(a＋1)n－1[解析]利用常數(shù)列a，a，a，…判斷，則存在等差數(shù)列a＋1，a＋1，a＋1，…或通過(guò)下列運(yùn)算得到：2(aq＋1)＝(a＋1)＋(aq2＋1)，∴q＝1，Sn＝na.5．已知等比數(shù)列前20項(xiàng)和是21，前30項(xiàng)和是49，則前10項(xiàng)和是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742470)(D)A．7 B．9C．63 D．7或63[解析]由S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列，∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10(49－21)，∴S10＝7或63.6．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742471)(C)A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)C．eq\f(32,3)(1－4－n) D．eq\f(32,3)(1－2－n)[解析]∵eq\f(a5,a2)＝q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).∴an·an＋1＝4·(eq\f(1,2))n－1·4·(eq\f(1,2))n＝25－2n，故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝eq\f(81－\f(1,4n),1－\f(1,4))＝eq\f(32,3)(1－4－n)．二、填空題7．(2023·湖南理，14)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝3n－\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742472)[解析]考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)．∵3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，∴4S2＝3S1＋S3，∴4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3?a3＝3a2?又∵{an}為等比數(shù)列，∴an＝a1qn－1＝3n－1.[方法點(diǎn)撥]條件或結(jié)論中涉及等差或等比數(shù)列中的兩項(xiàng)或多項(xiàng)的關(guān)系時(shí)，先觀察分析下標(biāo)之間的關(guān)系，再考慮能否應(yīng)用性質(zhì)解決，要特別注意等差、等比數(shù)列性質(zhì)的區(qū)別．8．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，則項(xiàng)數(shù)n＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742473)[解析]由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a12n－1＝93，,a1·2n－1＝48))?2n＝32?n＝5.三、解答題9．(2023·福建文，17)等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742474)(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．[解析](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝4，,a1＋3d＋a1＋6d＝15，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝1.))所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n.所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝eq\f(21－210,1－2)＋eq\f(1＋10×10,2)＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.10．(2023·全國(guó)卷Ⅲ理，17)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan.其中λ≠\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742475)(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S3＝eq\f(31,32)，求λ.[解析](1)由題意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝eq\f(1,1－λ)，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(λ,λ－1).因此{(lán)an}是首項(xiàng)為eq\f(1,1－λ)，公比為eq\f(λ,λ－1)的等比數(shù)列，于是an＝eq\f(1,1－λ)(eq\f(λ,λ－1))n－1.(2)由(1)得Sn＝1－(eq\f(λ,1－λ))n.由S5＝eq\f(31,32)得1－(eq\f(λ,λ－1))5＝eq\f(31,32)，即(eq\f(λ,λ－1))5＝eq\f(1,32).解得λ＝－1.能力提升一、選擇題11．設(shè){an}是等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，則S101的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742476)(A)A．2 B．200C．－2 D．0[解析]設(shè)公比為q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a∴S101＝eq\f(a11－q101,1－q)＝eq\f(2[1－－1101],1＋1)＝2.12．(2023·福建理，8)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742477)(D)A．6 B．7C．8 D．9[解析]由韋達(dá)定理得a＋b＝p，a·b＝q，因?yàn)閜>0，q>0，則a＞0，b＞0，當(dāng)a，b，－2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，－2必為等比中項(xiàng)，故a·b＝(－2)2＝4，故q＝4，b＝eq\f(4,a).當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí)，－2必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)a是等差中項(xiàng)時(shí)，2a＝eq\f(4,a)－2，解得a＝1，b＝4，；當(dāng)b是等差中項(xiàng)時(shí)，eq\f(8,a)＝a－2，解得a＝4，b＝1，綜上所述，a＋b＝p＝5，所以p＋q＝9，選D．13．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742478)(B)A．eq\f(15,2) B．eq\f(31,4)C．eq\f(33,4) D．eq\f(17,2)[解析]{an}是正數(shù)組成的等比數(shù)列，∴a3＝eq\r(a2a4)＝1，又S3＝7，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝1,\f(a11－q3,1－q)＝7))，消去a1得，eq\f(q2＋q＋1,q2)＝7，解之得q＝eq\f(1,2)，∴a1＝4，∴S5＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq\f(31,4).二、填空題14．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S6＝4S3，則a4＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742479)[解析]若q＝1時(shí)，S3＝3a1，S6＝6a1，顯然S6≠4S故q≠1，∴eq\f(a11－q6,1－q)＝4·eq\f(a11－q3,1－q)，∴1＋q3＝4，∴q3＝3.∴a4＝a1q3＝3.15．將正偶數(shù)集合{2,4,6,8，…，2n，…}中的數(shù)從小到大按第n組有2n個(gè)數(shù)進(jìn)行分組如下：eq\o(\s\up7(第一組),\s\do5({2，4}))eq\o(\s\up7(第二組),\s\do5({6，8，10，12}))eq\o(\s\up7(第三組),\s\do5({14，16，18，20，22，24，26，28}))eq\o(\s\up7(…),\s\do5(…))則2023位于第9組.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742480)[解析]前n組共有2＋4＋8＋…＋2n＝eq\f(2×2n－1,2－1)＝2n＋1－2個(gè)數(shù)．由an＝2n＝2023得n＝1009，∴2023為第1009個(gè)偶數(shù)．∵29＝512,210＝1024，∴前8組共有510個(gè)數(shù)，前9組共有1022個(gè)數(shù)，因此2023位于第9組．三、解答題16．(2023·全國(guó)卷Ⅰ文，17)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，anbn＋1＋bn＋1＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742481)(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求{bn}的前n項(xiàng)和．[解析](1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，得a1＝2.所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列．通項(xiàng)公式為an＝3n－1.(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝eq\f(bn,3)，因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列．記{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝eq\f(1－\f(1,3)n,1－\f(1,3))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2×3n－1).17．(2023·安徽文，18)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742482)(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn＝eq\f(an＋1,SnSn＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.[解析](1)∵{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a4＝9，,a1<a4，,a1a4＝8，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a4＝8，))?q3＝eq\f(a4,a1)＝8?q＝2?an＝a1qn－1＝2n－1.(2)由(1)可知S