高中數(shù)學(xué)人教A版4坐標(biāo)系 復(fù)習(xí)課

復(fù)習(xí)課[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建][警示·易錯(cuò)提醒]1．關(guān)于伸縮變換的定義的易錯(cuò)點(diǎn)．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換關(guān)系式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy（μ>0），))要區(qū)分(x，y)與(x′，y′)的意義．在應(yīng)用時(shí)必須注意：點(diǎn)(x，y)在原曲線上，點(diǎn)(x′，y′)在變換后的曲線上，因此點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足原來(lái)的曲線方程，點(diǎn)(x′，y′)的坐標(biāo)滿足變換后的曲線方程．2．關(guān)注直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化的疑難點(diǎn)．由直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)要注意點(diǎn)位于哪一個(gè)象限，才能確定θ的大?。?．處理極坐標(biāo)系問(wèn)題中的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．(1)當(dāng)極坐標(biāo)方程中僅含θ(不含ρ)時(shí)，常常忽略ρ的正負(fù)導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤．(2)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)之間的距離|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)，極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(ρeq\o\al(2,1)＋ρeq\o\al(2,2)－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）).在應(yīng)用時(shí)往往因記憶不清而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤．專題一平面上的伸縮變換1.點(diǎn)P(x，y)變?yōu)辄c(diǎn)Q(x′，y′)的伸縮變換為：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy（μ>0）.))2．變換前的曲線方程、變換后的曲線方程、伸縮變換三者，若知道其中的兩個(gè)，我們可以求出第三個(gè)．但在進(jìn)行伸縮變換時(shí)，要注意點(diǎn)的對(duì)應(yīng)性，即分清新舊坐標(biāo)，P(x，y)是變換前的坐標(biāo)，Q(x′，y′)是變換后的坐標(biāo)．[例1]在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝2y))后，曲線C變成曲線(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲線C的方程，并判斷其形狀．點(diǎn)撥：考查伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy（μ>0），))將新坐標(biāo)代入到已知曲線中，即可得到原曲線方程．解：將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝2y))代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中得：(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，化簡(jiǎn)得曲線C的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋3)2＝eq\f(1,4)，則該曲線是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－3))為圓心，eq\f(1,2)為半徑的圓．歸納升華函數(shù)y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω>0，且ω≠1)的圖象，可以看做把f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω>1時(shí))或伸長(zhǎng)(當(dāng)0<ω<1時(shí))為原來(lái)的eq\f(1,ω)(縱坐標(biāo)不變)而得到的．函數(shù)y＝Af(x)(x∈R)(其中A>0，且A≠1)的圖象，可以看做把f(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A>1時(shí))或縮短(當(dāng)0<A<1時(shí))到原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到的．圖形變換中的伸縮變換我們可記作eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy（μ>0），))在使用時(shí)，需分清新舊坐標(biāo)．[變式訓(xùn)練]求圓x2＋y2＝4經(jīng)過(guò)伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y))后的圖形的方程．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)x′，,y＝\f(1,3)y′.))代入x2＋y2＝4得eq\f(x′2,4)＋eq\f(y′2,9)＝4，即eq\f(x′2,16)＋eq\f(y′2,36)＝1，所以圓x2＋y2＝4在此伸縮變換下的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1.專題二直線和圓的極坐標(biāo)方程直線和圓的極坐標(biāo)方程的求法和應(yīng)用是一種常見(jiàn)的題型，一般思路是將曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后化簡(jiǎn)、整理．應(yīng)掌握幾種常見(jiàn)直線和圓的極坐標(biāo)方程，如ρ＝2acosθ(a≠0)，ρ＝2asinθ(a≠0)，ρ＝r(r>0)及ρcosθ＝a，ρsinθ＝a，θ＝α，ρ＝2acos(θ－α)(α≠2kπ，k∈Z)．[例2]在直角坐標(biāo)系Oxy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分別為曲線C與x軸、y軸的交點(diǎn)．(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程．解：(1)由ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1得ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosθ＋\f(\r(3),2)sinθ))＝1，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x＋eq\r(3)y＝2，當(dāng)θ＝0時(shí)，ρ＝2，所以M(2，0)，當(dāng)θ＝eq\f(π,2)時(shí)，ρ＝eq\f(2\r(3),3)，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).(2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，所以MN的中點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6)))，所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)．歸納升華此題著重考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化及基本運(yùn)算能力，應(yīng)掌握把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的常用方法．[變式訓(xùn)練]在極坐標(biāo)系中，P是曲線ρ＝12sinθ上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線ρ＝12coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))上的動(dòng)點(diǎn)，試求|PQ|的最大值．解：因?yàn)棣眩?2sinθ，所以ρ2＝12ρsinθ，所以x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又因?yàn)棣眩?2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))，所以ρ2＝12ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,6)＋sinθsin\f(π,6)))，所以x2＋y2－6eq\r(3)x－6y＝0，所以(x－3eq\r(3))2＋(y－3)2＝36，所以|PQ|max＝6＋6＋eq\r(（3\r(3)）2＋32)＝18.專題三極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化如圖所示，互化公式為：eq\x(x＝ρcosθ，y＝ρsinθ)eq\x(ρ2＝x2＋y2，tanθ＝\f(y,x)（x≠0）)對(duì)于tanθ＝eq\f(y,x)中θ值的確定，還要根據(jù)點(diǎn)(x，y)所在的象限，確定一個(gè)適合的角度．[例3]⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過(guò)⊙O1和⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程．解：(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐標(biāo)方程．同理x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐標(biāo)方程．(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＝0，,x2＋y2＋4y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝0，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝－2.))即⊙O1，⊙O2交于點(diǎn)(0，0)和(2，－2)．過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y＝－x.歸納升華極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化時(shí)，要注意必須是極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，且兩種坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度．[變式訓(xùn)練](1)化下列極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程：①ρ＝asin2θ(a>0)；②ρ＝2＋cosθ.(2)化直角坐標(biāo)方程x＋y＝0為極坐標(biāo)方程．解：(1)①顯然，ρ＝0是原方程的解，將方程兩邊同乘以ρ2得ρ3＝aρ2sin2θ＝2a·ρsinθ·ρcosθ即(x2＋y2)eq\s\up11(\f(3,2))＝2axy，即(x2＋y2)3＝4a2x2y2.②顯然，ρ≠0，將方程兩邊同乘以ρ，得ρ2＝(2＋cosθ)ρ，則x2＋y2＝±2eq\r(x2＋y2)＋x，即(x2＋y2－x)2＝4(x2＋y2)(x，y不同時(shí)為零)．(2)因?yàn)棣?cosθ＋sinθ)＝0，所以ρ＝0或cosθ＋sinθ＝0，即θ＝eq\f(3,4)π，所以ρ＝0表示極點(diǎn)，而直線θ＝eq\f(3,4)π過(guò)極點(diǎn)，故所求方程為θ＝eq\f(3,4)π.專題四數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用坐標(biāo)方法研究曲線的形狀與性質(zhì)是典型的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)．坐標(biāo)系的建立，使直觀的幾何圖形問(wèn)題得以用數(shù)量運(yùn)算得以解決．[例4]在極坐標(biāo)系中，和極軸垂直且相交的直線l與圓ρ＝4相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝4，求直線l的極坐標(biāo)方程．解：設(shè)直線l與極軸相交于點(diǎn)C.如圖所示，在Rt△OAC中，|OC|＝eq\r(|OA|2－|AC|2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).設(shè)直線l上的任意一點(diǎn)為M(ρ，θ)，則直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝2eq\r(3).歸納升華求曲線的極坐標(biāo)方程與求其直角坐標(biāo)方程的方法類同，就是找出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)ρ與θ之間的關(guān)系，然后列出方程f(ρ，θ)＝0，再化簡(jiǎn)并檢驗(yàn)特殊點(diǎn)．[變式訓(xùn)練]在極坐標(biāo)系中，求半徑為2，圓心為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,2)))的圓的極坐標(biāo)方程．解：由題意知圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O，OA為圓的一條直徑，設(shè)M(ρ，θ)為圓上除點(diǎn)O，A以外的任意一點(diǎn)，如圖所求，則|OA|＝2×2，OM⊥MA，在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|·cos∠AOM，即ρ＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))，故ρ＝－4sinθ.經(jīng)驗(yàn)證知點(diǎn)O(0，0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3π,2)))的坐標(biāo)皆滿足上式，所以滿足條件的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝－4sinθ.專題五轉(zhuǎn)化與化歸思想“化歸”是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移與數(shù)學(xué)解題方法的形象概括，表現(xiàn)為化此為彼，化難為易，化隱為顯，具體地說(shuō)，就是化抽象為具體，化未知為已知，化一般為特殊等．轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化兩種，非等價(jià)轉(zhuǎn)化常用于證明題或不等式，等價(jià)轉(zhuǎn)化常用于解方程或不等式．在ρ≥0，0≤θ<2π時(shí)，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化也屬于等價(jià)轉(zhuǎn)化，同時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：(1)互化條件：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合，單位長(zhǎng)度相同．(2)互化公式：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)（x≠0），))θ由點(diǎn)(x，y)所在的象限確定．[例5]求經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O(0，0)及點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(π,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\r(2)，\f(9π,4)))的圓的極坐標(biāo)方程．解：將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，點(diǎn)O，A，B的直角坐標(biāo)分別為(0，0)，(0，6)，(6，6)，故△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形．圓的直角坐標(biāo)方程為(x－3)2＋(y－3)2＝18，即x2＋y2－6x－6y＝0，將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cosθ＋sinθ)＝0，即ρ＝6eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).歸納升華將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，確定圓的直角坐標(biāo)方程，再將圓的直角坐標(biāo)方程化成圓的極坐標(biāo)方程