高中數(shù)學(xué)北師大版3本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)階段質(zhì)量評(píng)估2

第二章一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．投擲3枚硬幣，至少有一枚出現(xiàn)正面的概率是()A．eq\f(3,8) B．eq\f(1,2)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)解析：P(至少有一枚正面)＝1－P(三枚均為反面)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).答案：D2．對(duì)于正態(tài)分布N(0,1)的概率密度函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)，下列說(shuō)法不正確的是()A．f(x)為偶函數(shù)B．f(x)的最大值為eq\f(1,\r(2π))C．f(x)在x>0時(shí)是單調(diào)減函數(shù)，在x≤0時(shí)是單調(diào)增函數(shù)D．f(x)關(guān)于σ＝1對(duì)稱解析：X～N(0,1)，∴曲線的對(duì)稱軸為x＝μ＝0.答案：D3．甲、乙、丙三位同學(xué)解一道數(shù)學(xué)題，他們做對(duì)的概率都是，則甲、乙、丙都做對(duì)的概率為()A． B．×C．＋＋ D．1－解析：記甲、乙、丙三位同學(xué)做對(duì)一道數(shù)學(xué)題分別為事件A、事件B、事件C，則事件A、事件B、事件C相互獨(dú)立，所以同時(shí)發(fā)生的概率為，選A．答案：A4．將一顆質(zhì)地均勻的骰子連擲6次，恰好3次出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為()A．Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))3 B．Ceq\o\al(5,6)·eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))5C．Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))0 D．Ceq\o\al(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))5解析：易知一顆骰子連擲6次出現(xiàn)6點(diǎn)這一事件是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，知恰有3次發(fā)生的概率為Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))3.應(yīng)選A．答案：A5．設(shè)ξ是隨機(jī)變量，且D(10ξ)＝40，則D(ξ)＝()A． B．4C．40 D．400解析：∵D(10ξ)＝102Dξ＝40，∴Dξ＝.答案：A6．設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格，從中任意取2件，試求在所取得的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率是()A． B．C． D．解析：在所取的2件產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件不合格(另一件合格與否不管)，這個(gè)條件下的基本事件總數(shù)為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝30，其中，另一件也不合格的基本事件個(gè)數(shù)是Ceq\o\al(2,4)＝6，∴P＝eq\f(6,30)＝eq\f(1,5)＝.答案：A7．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為eq\f(65,81)，則事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(5,6) D．eq\f(3,4)解析：設(shè)事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p，則在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A至少發(fā)生1次的概率為1－Ceq\o\al(0,4)p0(1－p)4＝1－(1－p)4，∴1－(1－p)4＝eq\f(65,81)，解得p＝eq\f(1,3).答案：A8．設(shè)隨機(jī)變量X～B(n，p)，且EX＝，DX＝，則()A．n＝8，p＝ B．n＝4，p＝C．n＝5，p＝ D．n＝7，p＝解析：∵X～B(n，p)∴EX＝np＝，DX＝np(1－p)＝∴(1－p)＝，∴p＝，n＝eq\f,＝8.答案：A9.已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)fi(x)＝eq\f(1,\r(2π)σi)·eeq\f(－x－μi2,2σ\o\al(2,i))(x∈R，i＝1,2,3)的圖像如圖所示，則()A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3解析：正態(tài)分布密度函數(shù)f2(x)和f3(x)的圖像都是關(guān)于同一條直線對(duì)稱，所以其平均數(shù)相同，故μ2＝μ3，又f2(x)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值比f(wàn)1(x)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“瘦高”，由圖像可知，正態(tài)分布密度函數(shù)f1(x)和f2(x)的圖像一樣“瘦高”，f3(x)明顯“矮胖”，從而可知σ1＝σ2<σ3.答案：D10．某中學(xué)在高二開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)史等4門(mén)不同的選修課，每個(gè)學(xué)生必須選修，且只能從中選一門(mén)．該校高二的3名學(xué)生甲、乙、丙對(duì)這4門(mén)不同的選修課的興趣相同．設(shè)X的甲、乙、丙這3個(gè)學(xué)生中選修數(shù)學(xué)史的人數(shù)，則EX等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,4) D．2解析：由題意知X的所有取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(27,64)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝eq\f(9,64)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＝eq\f(1,64).∴X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)∴EX＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝eq\f(3,4).答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)11．甲、乙二人同時(shí)打靶，甲命中的概率為，乙命中的概率為，則靶被命中的概率為_(kāi)_____________.解析：設(shè)“甲命中”為事件A，“乙命中”為事件B，“靶被命中”為事件C，則P(C)＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－(1－(1－＝1－＝.答案：12．已知A、B、C相互獨(dú)立，如果P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，則P(eq\x\to(A)B)＝____________.解析：依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PAB＝\f(1,6),P\x\to(B)C＝\f(1,8)，,PAB\x\to(C)＝\f(1,8)))，解得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2).∴P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)13．由正態(tài)分布N(1,8)對(duì)應(yīng)的曲線可知，當(dāng)x＝____________時(shí)，函數(shù)f(x)有最大值，為_(kāi)___________.解析：由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，可知此正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，在x＝μ時(shí)曲線位于最高點(diǎn)，所以，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有最大值，且f(x)max＝eq\f(1,\r(2π)\r(8))e－eq\f(1－12,2×8)＝eq\f(1,4\r(π)).答案：1eq\f(1,4\r(π))14．馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？?。空?qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算ξ的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案Eξ＝____________.解析：設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為1－2x，則Eξ＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.答案：2三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(本小題滿12分)設(shè)甲、乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈炮壽命(單位：小時(shí))X和Y的分布列分別為：X90010001100PY95010001050P試問(wèn)哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？解析：由期望的定義，得EX＝900×＋1000×＋1100×＝1000，EY＝950×＋1000×＋1050×＝1000.兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命的期望值相等，需進(jìn)一步考查哪家工廠燈泡的質(zhì)量比較穩(wěn)定，即比較其方差．由方差的定義，得DX＝(900－1000)2×＋(1000－1000)2×＋(1100－1000)2×＝2000，DY＝(950－1000)2×＋(1000－1000)2×＋(1050－1000)2×＝1500.∵DX>DY，∴乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量比甲廠穩(wěn)定，即乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好．16．(本小題滿12分)某班從6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任選3人參加學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng)．(1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為X，求X的分布列；(2)求男生甲或女生乙被選中的概率；(3)設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，求P(B)和P(A|B)．解析：(1)X的所有可能取值為0,1,2，依題意得P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5).P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).∴X的分布列為X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)設(shè)“甲、乙都不被選中”為事件C，則P(C)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5)；∴所求概率為P(eq\x\to(C))＝1－P(C)＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(3)P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)；P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(2,5).17．(本小題滿12分)有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布，即X～N(20,4)．若這批零件共有5000個(gè)．試求：(1)這批零件中尺寸在18mm～22(2)若規(guī)定尺寸在24mm～26mm解析：(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2.∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22.于是零件尺寸X在18mm～22(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴零件尺寸X在14mm～26而零件尺寸X在16mm～24∴零件尺寸X在24mm～26mm間的百分比大約是eq\f%－%,2)＝因此尺寸在24mm～5000×%≈108(個(gè))．18．(本小題滿14分)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的小球各3個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等．(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)用X表示取出的3個(gè)小球上所標(biāo)的最大數(shù)字，求隨機(jī)變量X的分布列和均值．解析：(1)“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(3,4)·C\o\al(1,3)·C\o\al(1,3)·C\o\al(1,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,55).(2)由題意X所有可能的取值為：1,2,3,4.P(X＝1)＝eq\f(1,C\o\al(3,12))＝eq\f(1,220)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,3)·C\o\al(1,3)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(19,220)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)·C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,6)·C\o\al(2,3)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(64,220)＝e