《相似理論》講義2003

§1引言.................................................................................................................................................................2一、理論分析法...............................................................................................................................................2二、試驗(yàn)方法...................................................................................................................................................2§2物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述單值條件.....................................................................................................................3§3相似的概念.......................................................................................................................................................4一、幾何相似...................................................................................................................................................4二、運(yùn)動(dòng)相似...................................................................................................................................................4三、力相似：...................................................................................................................................................5§4相似第一定理（相似性質(zhì)）...........................................................................................................................5一、相似指標(biāo)...................................................................................................................................................5二、相似準(zhǔn)則：...............................................................................................................................................6三、相似第一定理...........................................................................................................................................7§5相似第二定理（相似條件）.............................................................................................................................7§6相似第三定理.....................................................................................................................................................8§7方程分析法求相似準(zhǔn)則...................................................................................................................................9一、相似轉(zhuǎn)換法...............................................................................................................................................9二、積分類比法..............................................................................................................................................11三、相似函數(shù)和非相似函.............................................................................................................................12§8因次分析法求相似準(zhǔn)則.................................................................................................................................14一、因次的概念：.........................................................................................................................................14二、因次分析法求相似準(zhǔn)則.........................................................................................................................15三、獨(dú)立相似準(zhǔn)則的完整集合.....................................................................................................................16四、用矩陣求相似準(zhǔn)則（因次分析法求相似準(zhǔn)則的規(guī)格化）..................................................................18§9相似準(zhǔn)則形式的選擇和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理.....................................................................................................22一、相似準(zhǔn)則的轉(zhuǎn)換.....................................................................................................................................22二、試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理.....................................................................................................................................22§10模型試驗(yàn)的局限；近似模型試驗(yàn)...............................................................................................................231相似理論——模型試驗(yàn)的理論基礎(chǔ)§1引言人們研究自然現(xiàn)象的規(guī)律的方法,概括起來(lái)有兩種：理論分析法（數(shù)學(xué)分析法）和實(shí)驗(yàn)方法。這兩種方法不是截然分開的。理論分析是建立在前人根據(jù)試驗(yàn)得到的基本定律的基礎(chǔ)上，實(shí)驗(yàn)方法中也離不開理論分析。一、理論分析法理論分析法是在自然科學(xué)的各種定律基礎(chǔ)上， 以數(shù)學(xué)為主要工具， 把自然規(guī)律（各物理量之間的關(guān)系）用數(shù)學(xué)方程式表達(dá)出來(lái)。對(duì)于運(yùn)動(dòng)看，變化著的現(xiàn)象，將其中的某一微元抽出來(lái)進(jìn)行分析，建立起微分方程，給出邊界條件、初始條件，這個(gè)方程的解就是表征現(xiàn)象的各物理量之間的關(guān)系式。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是嚴(yán)格，準(zhǔn)確，通用性強(qiáng)。這種方法的缺點(diǎn)是：①對(duì)于復(fù)雜的微分方程，求解往往是非常困難的； ②對(duì)于很多錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)象，甚至不能列出微分方程。這些缺點(diǎn)使理論分析受到局限。二、試驗(yàn)方法1）直接試驗(yàn)直接試驗(yàn)就是用原型進(jìn)行試驗(yàn)。其優(yōu)點(diǎn)是直觀。但是，①試驗(yàn)結(jié)果只能應(yīng)用于完全相同的現(xiàn)象，推廣受到局限；②對(duì)于有些現(xiàn)象無(wú)法進(jìn)行直接試驗(yàn) ,如還沒有建造出的設(shè)備設(shè)施、 對(duì)于已建造出的設(shè)備但受到條件的限制（尺寸太大或太小，溫度、壓力的限制）、對(duì)造價(jià)高的設(shè)備作破壞性試驗(yàn)、一些不常發(fā)生的自然現(xiàn)象（如地震）等，都是難于應(yīng)用直接試驗(yàn)法的。2）模型試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮囼?yàn)是通過(guò)模型來(lái)研究原型。 模型應(yīng)該根據(jù)需要， 在形態(tài)、工作規(guī)律、信息傳遞規(guī)律和原型相似。模型分類：a．參觀用模型——供參觀、教學(xué)用。一般僅保持外形、活動(dòng)狀態(tài)的相似。b．定性分析用的簡(jiǎn)易模型——它體現(xiàn)設(shè)想，幫助構(gòu)思，供分析討論用。一般僅保持外形、活動(dòng)狀態(tài)相似。c．定量研究用的模型——分物理模型和數(shù)學(xué)模型。物理模型是供研究某種現(xiàn)象用的模型。它保持工作規(guī)律相似，物理本質(zhì)不變，與原型比較僅是物理量大小比例不同。數(shù)學(xué)模型是供研究某系統(tǒng)在改變輸入信息后，工作過(guò)程的變化的模型。它保持信息傳遞規(guī)律相似。它和原型所進(jìn)行的物理過(guò)程本質(zhì)不同，但信息傳遞按同一規(guī)律進(jìn)行。如計(jì)算機(jī)模擬。本課程討論的模型試驗(yàn)是指“定量研究用的物理模型。 ”要求模型保證工作規(guī)律相似，所反映的現(xiàn)象物理本質(zhì)不變。而不僅僅是外形尺寸，活動(dòng)狀態(tài)相似。因此，模型試驗(yàn)所說(shuō)的 “模型”是指的模型現(xiàn)象，而不僅是一個(gè)物體的模型。模型試驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)：（1）試驗(yàn)結(jié)果可以推廣到一切相似的現(xiàn)象； （2）經(jīng)濟(jì)性好，節(jié)約人力、物力、時(shí)間。如阿波羅指令倉(cāng)有關(guān)外殼剛度與減速度試驗(yàn)，實(shí)物試驗(yàn)費(fèi)需 50萬(wàn)美元，模型試驗(yàn)費(fèi)只需 9千美元，下降約15倍。土星V運(yùn)截火箭實(shí)物試驗(yàn)費(fèi) 1000萬(wàn)美元，模型試驗(yàn)費(fèi) 50萬(wàn)美元，下降約 20倍；（3）可以對(duì)直2接試驗(yàn)無(wú)法進(jìn)行的現(xiàn)象進(jìn)行試驗(yàn)；（4）可以嚴(yán)格控制試驗(yàn)條件，突出主要因素；（5）可以反復(fù)再現(xiàn)試驗(yàn)。由于這些優(yōu)點(diǎn)，模型試驗(yàn)廣泛應(yīng)用于各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域。在汽車的研究中，模型試驗(yàn)應(yīng)用于研究汽車的空氣阻力，汽車的碰撞、輪胎在各種土壤條件下的牽引性能等方面。本章的內(nèi)容主要是討論怎樣設(shè)計(jì)模型和怎樣整理和推廣試驗(yàn)結(jié)果?！?物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述 單值條件現(xiàn)象，常用各種物理量來(lái)表征。任何現(xiàn)象都有其客規(guī)律。當(dāng)人們認(rèn)識(shí)到這個(gè)規(guī)律時(shí)，都可以把表征這個(gè)現(xiàn)象的各種物理量及其它參量組成一組數(shù)學(xué)方程式，一般是一組微分方程式。具體運(yùn)用這個(gè)規(guī)律時(shí)，需要把方程解出來(lái)。由微分方程可得到通解。這個(gè)方程組或其通解反映了各物理量間的關(guān)系，是用數(shù)學(xué)形式對(duì)這種類型的現(xiàn)象的一種描述。它適合于一切這種類型的現(xiàn)象。例如：對(duì)于圖示振動(dòng)系統(tǒng)，可根據(jù)牛頓第二定律，列出描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的微分方程：mx cx kx F解這個(gè)方程，得描述物體位移規(guī)律的通解：kcxx1x2mx1——方程對(duì)應(yīng)的齊式方程mxcxkx0的通解；x2——方程的一個(gè)特解F這個(gè)微分方程和這個(gè)能解適合于一切如圖示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。這種現(xiàn)象有無(wú)數(shù)多個(gè)。每個(gè)具體的現(xiàn)象有它獨(dú)有的特性，或是無(wú)阻尼的、欠阻力的、過(guò)阻尼的，或是自由振動(dòng)、衰減振動(dòng)、受迫振動(dòng)等等。上面這個(gè)方程包括了這些現(xiàn)象，但要區(qū)分或要描述某一個(gè)具體現(xiàn)象，還要給出附加條件。這個(gè)附加條件和方程組一起，才能描述個(gè)別的、具體的某一特定現(xiàn)象。能從服從于同一方程組的無(wú)數(shù)現(xiàn)象，單一地劃分出某一具體現(xiàn)象的附加條件，叫 單值條件。單值條件是同類現(xiàn)象中各個(gè)現(xiàn)象相互區(qū)別的標(biāo)志。單值條件一給定，具體現(xiàn)象即確定。如給出上述振動(dòng)現(xiàn)象的單值條件：m m0， k k0， c c0， F F0sin 0tt 0時(shí)： x 0， x 0， x 0就描述了一個(gè)具體的振動(dòng)現(xiàn)象（一個(gè)零初始狀態(tài)的受迫振動(dòng)現(xiàn)象） 。單值條件包括：⑴空間(幾何)條件:參與現(xiàn)象的物體的幾何形狀尺寸大小。如懸臂梁的長(zhǎng)度和受力位置。⑵物理?xiàng)l件:參與現(xiàn)象的物理介質(zhì)的物理性質(zhì)。如振動(dòng)體的質(zhì)量 m；流體的密度 ,粘度 .⑶邊界條件條件 ：發(fā)生在現(xiàn)象邊界的對(duì)象有影響的約束情況。如懸臂梁的一端轉(zhuǎn)角 θ為零。⑷初始條件：現(xiàn)象的初狀態(tài)。這個(gè)初始狀態(tài)直接影響現(xiàn)象的演變過(guò)程。如自由振動(dòng)和衰減振動(dòng)現(xiàn)象的初始狀態(tài)x(0),x(0)決定了振幅A和初相位角α。把同類現(xiàn)象作為一個(gè)集合，其中每一個(gè)具體現(xiàn)象就是這集合的元素，而相似現(xiàn)象是這個(gè)集合的一個(gè)子集。如上述振動(dòng)系統(tǒng)，每一種不同的單值條件的取值都是同類現(xiàn)象的一個(gè)具體現(xiàn)象；而根據(jù)相似的概念，相似現(xiàn)象的每一單值條件物理量都應(yīng)是成比例的，而不是任意取的。（下一節(jié)將講述這些比例是有一定約束關(guān)系的）。因此，在模型試驗(yàn)中，控制試驗(yàn)條件就是控制單值條件，以使模型與原型相似，試驗(yàn)結(jié)果才有意義。在實(shí)際中，由于現(xiàn)象的規(guī)律往往是不知道的，單值條件也不知道。準(zhǔn)確地判定單值條件，是很重要的，也3是很困難的。綜上所述，有以下幾點(diǎn)：① 單值條件是指表征現(xiàn)象的一些 (不是全部)物理量。② 在同一類現(xiàn)象中，單值條件一給定，具體現(xiàn)象即確定，非單值條件物理量也由現(xiàn)象的規(guī)律而被確定。由于單值條件物理量和非單值條件物理量之間有這種從屬關(guān)系， 我們稱單值條件物理量叫 “定性量”；稱非單值條件物理量叫“ 非定性量”。③ 哪些物理量是單值條件還與研究的問題有關(guān) .如研究應(yīng)力與撓度的關(guān)系時(shí) ,應(yīng)力和撓度都可以分別作為單值條件?！?相似的概念'1"l3'1l3"一、幾何相似l1'h'l1"'h"""''"l2l22相似的概念首先出現(xiàn)在幾何學(xué)里。323兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)尺寸不同，但形狀一樣。相似三角形的性質(zhì)（相似性質(zhì)）：各對(duì)應(yīng)線段的比例相等，各對(duì)應(yīng)角相等，即：l1'l2'l3''hClCl——相似倍數(shù)l1"l2"l3"h"l1l2l3hCllllh'",'"'"1122,33反過(guò)來(lái)講，滿足“相似條件”的兩個(gè)三角形是相似三角形。此條件為：l1'l2'l3''hCll1"l2"l3"h"“相似性質(zhì)”是指彼此已相似的現(xiàn)象具有的性質(zhì)；“相似條件”是指滿足此條件，現(xiàn)象就彼此相似。幾何學(xué)中的相似概念可推廣到其它物理概念中。幾何相似（空間相似）：指對(duì)應(yīng)尺寸不同，但形狀一樣的幾何體。它表現(xiàn)為所有對(duì)應(yīng)線段都成一定比例，所有對(duì)應(yīng)角都相等。t'yy。't1"二、運(yùn)動(dòng)相似。s’t2。t2"。s”"'tS、時(shí)間T、速度V物體的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象可以用路程0。t3。x等物理量來(lái)描述。運(yùn)動(dòng)相似就是指這些表征運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象x0的物理量分別相似。(a)時(shí)間相似：指對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔的比值相等：ss''12Ct常數(shù)""22’’tτ1τ2

t1”τ2”Ct是時(shí)間的相似倍數(shù)。（b）速度相似：指速度場(chǎng)的幾何相似。表現(xiàn)為在對(duì)應(yīng)時(shí)刻上各對(duì)應(yīng)點(diǎn)速度的方向一致，大小成比例：VA'VB'VC'Ct(常數(shù)）V’V”VA"VB"VC"4C）運(yùn)動(dòng)軌跡幾何相似：表現(xiàn)為軌跡曲線每對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)值成比例，斜率相等：X1'X2'y1'y2'S1'S2'ClX1"X2"y1"y2"S1"S2"三、力相似：力相似指力場(chǎng)的幾何相似。表現(xiàn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的作用力方向一致，大小成一定比例。F1'F2'F3'CFF1"F2"F3"首先，受力體應(yīng)該是幾何相似。否則就無(wú)所謂對(duì)應(yīng)點(diǎn)了。分布載荷表現(xiàn)為力場(chǎng)幾何相似，集中載荷表現(xiàn)為力多邊形幾何相似。若力隨時(shí)間變化，還需時(shí)間相似，即對(duì)應(yīng)時(shí)刻的力方向一致，大小成一定比例。此外，還有溫度相似、濃度相似等等?，F(xiàn)象相似是指在對(duì)應(yīng)時(shí)刻、對(duì)應(yīng)點(diǎn)上描述這類現(xiàn)象的所有同名物理量各自成一定比例關(guān)系，若是向量則方向一致。由此可知①相似只能是同類現(xiàn)象,這些現(xiàn)象能用相同的微分方程描述；②現(xiàn)象相似首先在空間要幾何相似和時(shí)間相似。同類現(xiàn)象能用相同的關(guān)系方程式或微分方程式描述。兩相似現(xiàn)象的同名物理量的比例值，稱為相似倍數(shù)。

F1'F2'F1"F2"F3'F3"重力場(chǎng)幾何相似F3'F1'F1"F3"'"Ny"Nx"NyF2'F2Nx'力多邊形幾何相 似相似倍數(shù)是一個(gè)常數(shù)?！?相似第一定理（相似性質(zhì)）本節(jié)研究彼此相似的現(xiàn)象具有什么性質(zhì)的問題。相似第一定理的內(nèi)容就是說(shuō)明什么是相似現(xiàn)象的相似性質(zhì)。一、相似指標(biāo)以物體受力產(chǎn)生加速度這種現(xiàn)象為例：表征兩個(gè)現(xiàn)象的物理量分別為Fˊ、mˊ、aˊ和F″、m″、a″。描述第一個(gè)現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)方程式為：Fˊ=mˊaˊ（1）描述第二個(gè)現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)方程式為：F″=m″a″（2）設(shè)這兩個(gè)現(xiàn)象相似。根據(jù)相似的概念，知道它們的同名物理量成比例：F'CF,m'Cm,a'Ca（3）F"m"a"或F'CFF",m'Cmm",a'Caa"5代入（1）式，則描述第一個(gè)現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)方程式為：CFF"CmCam"a"F"CmCam"a"（1*）CF因?yàn)橄嗨片F(xiàn)象是同類現(xiàn)象，描述它們的方程式應(yīng)完全一致，因此比較（1*）式和（2）式得：CmCa1CF此式表明，各物理量的相似倍數(shù)不是任意的，是受到這個(gè)式子的約束的。（這是由于兩個(gè)現(xiàn)象都遵從于同一規(guī)律，各物理量間都有確定的函數(shù)關(guān)系）。這種約束關(guān)系用C表示，CmCa1（4）即：CCFC稱為“相似指標(biāo)”。CC對(duì)于相似現(xiàn)象，=1。≠1的，就不是相似現(xiàn)象。所表示的約束關(guān)系是由這類現(xiàn)象的自然規(guī)律所確定的，具體的說(shuō)就是由描述這類現(xiàn)象的方程所表達(dá)的各物理量間的函數(shù)關(guān)系所確定。 C在一定程度上表達(dá)了各物理量之間的關(guān)系（即現(xiàn)象的規(guī)律） 。相似現(xiàn)象的相似指標(biāo) C的個(gè)數(shù)一般有若干個(gè)。二、相似準(zhǔn)則：將（3）式代入（4）式，得m'a'm"a" 1'FF"整理后,這種約束關(guān)系就表示成另外一種形式：m'a' m"a"F' F"此式表明：由描述兩現(xiàn)象的物理量組成的這個(gè)綜合量對(duì)應(yīng)相等。 （“對(duì)應(yīng)”是指這些物理量是在對(duì)應(yīng)時(shí)刻、對(duì)應(yīng)幾何點(diǎn)上的取值）。這個(gè)綜合量稱為“ 相似準(zhǔn)則”，用符號(hào)п(或π)表示:m'a'm"a"F'F"或maidem(不變量)F相似準(zhǔn)則是表征某一現(xiàn)象的物理量組成的綜合量。其中的物理量不一定是表征現(xiàn)象的全部物理量。相似準(zhǔn)則的特點(diǎn)因次為1，是無(wú)因次量（無(wú)量綱）。反之，由表征現(xiàn)象的物理量組成的無(wú)因次量就是相似準(zhǔn)則。必須注意：6①相似準(zhǔn)則包含的物理量屬同一個(gè)現(xiàn)象；（如m'a"）F'②相似準(zhǔn)則中各物理量取值應(yīng)是同一時(shí)刻同一點(diǎn)上的值（如m1a1,m1a2,腳標(biāo)i表示時(shí)刻ti時(shí)的F1F1,取值）；③相似準(zhǔn)則是時(shí)間和空間的函數(shù) ,不是常數(shù)，即同一現(xiàn)象的同一準(zhǔn)則在不同點(diǎn)、不同時(shí)刻的值一般不同（如m1a1m2a2）。（相似倍數(shù)在任意時(shí)刻、任意點(diǎn)都是一定值，是常數(shù)const）。F1F2全由定性量組成的相似準(zhǔn)則稱“定性準(zhǔn)則”；不全由定性量組成的相似準(zhǔn)則稱“非定性準(zhǔn)則”。三、相似第一定理相似第一定理：“彼此相似的現(xiàn)象，其相似指標(biāo)為 1。”或“彼此相的現(xiàn)象，其似準(zhǔn)則的數(shù)值相等 ?！毕嗨频谝欢ɡ肀硎隽讼嗨片F(xiàn)象的性質(zhì)。此定理包含了如下內(nèi)容（根據(jù)相似的概念， “彼此相似的現(xiàn)象”一句表明了①、②內(nèi)容）：①相似現(xiàn)象屬于同一類現(xiàn)象，它們都可被文字上完全相同的方程式（包括描述單值條例的方程式）所描述。②相似倍數(shù)的同名物理量各自成比例關(guān)系，相似倍數(shù)是常數(shù)。③相似倍數(shù)不全都能任意取值，而是彼此有一定的約束關(guān)系。§5相似第二定理（相似條件）相似第二定理：“凡同類現(xiàn)象，當(dāng)單值條件相似， 而且由單值條件物理量組成的相似準(zhǔn)則在數(shù)值上相等， 則這些現(xiàn)象就必定相似。”此定理說(shuō)明了相似條件：① 是同類現(xiàn)象；② 全部單值條件分別對(duì)應(yīng)相似；③ 定性準(zhǔn)則相等。由條件“③定性準(zhǔn)則相等”，經(jīng)代換整理可得由定性量（單值條件物理量）的相似倍數(shù)組成的相似指標(biāo)等于1，限制了條件“②單值條件相似”的相似倍數(shù)不能任意取值。條件③的意義就在于此。第二定理的條件是相似的充要條件：⑴充分條件：若單值條件條件相似，非單值條件按現(xiàn)象的規(guī)律也就自行相似了。這樣，全部物理量都成比例，現(xiàn)象相似。單值條件確定（單值條件相似）→現(xiàn)象確定（現(xiàn)象相似）→非單值條件確定（非單值條件相似）⑵必要條件：由第一定理可知，若相似現(xiàn)象，則全部參數(shù)成比例，相似準(zhǔn)則相等，即滿足②③條件。 （第一定理本身就可看作是必要條件） 。從“相似性質(zhì)”和“相似條件”的意義出發(fā)，相似第一、第二定理又分別稱為“相似正定理”和“相似逆定理”。7第二定理的指導(dǎo)意義：是模型設(shè)計(jì)的原則?！?相似第三定理相似第三定理（又叫定理、巴金漢定理）：“描述現(xiàn)象的物理量關(guān)系方程式，可以轉(zhuǎn)化為相似準(zhǔn)則之間的關(guān)系式f(1,2,,n0）?！眆(1,2,,n0）稱為“準(zhǔn)則關(guān)系式”。相似第三定理可以證明。（證明略）說(shuō)明：⑴“物理關(guān)系式”要是完整的物理方程?！巴暾摹笔侵阜匠痰囊虼魏椭C或方程具有因次齊次性：（a）每項(xiàng)的因次相同。同因次的量相加、減才有物理意義。（b）方程適合于任何單位制。物理量不管取哪種單制（工程制、cgs制、國(guó)際制、英制），只要單位是統(tǒng)一的（屬同一單位制），方程都永遠(yuǎn)成立。例如：F=ma因次上齊次，是一完整的物理方程。而當(dāng)m=1時(shí)，F(xiàn)=a。F=a這個(gè)方程在因次上不和諧，不是完整的物理方程。又例如：T2lg=9.8時(shí)，Tkl（k是一常數(shù)）。因次上齊次，是一完整的物理方程。而當(dāng)取gkl2.01l這個(gè)方程在因次上不和諧，不是完整的物理方程。對(duì)一些限定了物理量單位的方程，因次上不是齊次的。如 1摩爾理想氣體的狀態(tài)方程PV=RT 是一個(gè)完整的物理方程，但 PV=8.31T （P—帕 V —米3 T —開）PV=8.2×102T(ρ—大氣壓 V—升 T —開)因次沒有齊次性，不是一個(gè)完整的物理方程。（2） 1,2 n均是表征現(xiàn)象的物理量組成的相似準(zhǔn)則，包括定性準(zhǔn)則和非定性準(zhǔn)則。相似準(zhǔn)則是無(wú)因次量，所以，不管選擇哪種單位制，準(zhǔn)則關(guān)系式中的各變量在數(shù)值數(shù)上都是不變的。準(zhǔn)則關(guān)系式是描述物理量之間關(guān)系的另一種形式。是微分方程的解。相似現(xiàn)象的準(zhǔn)則數(shù)值相等，因此它們的準(zhǔn)則關(guān)系式在形式上和數(shù)值上完全相同。所以說(shuō)，準(zhǔn)則關(guān)系式適用于一切相似現(xiàn)象。這就為我們提供了模型試驗(yàn)結(jié)果推廣的依據(jù)。定性量給定后，現(xiàn)象就被確定，非定性量也隨之確定了。定性量給定后，定性準(zhǔn)則被確定，非定性準(zhǔn)則也隨之被確定，由于這種關(guān)系，我們把準(zhǔn)則關(guān)系式表示成非if(定1,定2,)由此可以研究非隨定變化的規(guī)律。研究的目的主要是在于研究其中的非定性量。以粘性不可壓縮流液體的穩(wěn)定等溫流動(dòng)為例，來(lái)說(shuō)明如何利用準(zhǔn)則關(guān)系式來(lái)整理、推廣試驗(yàn)結(jié)果和利用準(zhǔn)則關(guān)系式的優(yōu)點(diǎn)。研究的問題：流體壓力p的規(guī)律。P是非定性量，l（幾何尺寸）、ρ（流體密度）、η（流體動(dòng)力粘度）、g（重力加度）、v（流體速度）是單值8條件物理量。（如果研究流速 v的規(guī)律，則 V是非定性量）。已知的三個(gè)相似準(zhǔn)則RevlFrglEup、v2、2v中，Eu是非定性準(zhǔn)則，則準(zhǔn)則關(guān)系式為Euf(Re，F(xiàn)r)即p2f(vl,gl2)vvPf(evlglv2或,v2)試驗(yàn)的目的就是要找出函數(shù)關(guān)系f。試驗(yàn)時(shí)，可通過(guò)改變V來(lái)改變Re、Fr的值。每一Re、Fr的值對(duì)應(yīng)一個(gè)Eu的值，在座標(biāo)上描下這些點(diǎn)。用曲線擬合這些點(diǎn)，這個(gè)曲線就是準(zhǔn)則關(guān)系曲線，也就是要找的函數(shù)關(guān)系f。和按有因次的物理量整理試驗(yàn)結(jié)果比較，準(zhǔn)則關(guān)系式有如下優(yōu)點(diǎn)：⑴減少了試驗(yàn)的內(nèi)容。如果不按準(zhǔn)則關(guān)系式組織試驗(yàn)，就要分別探討l、ρ、η、ɡ、ν、對(duì)ρ的影響。而上例只需探討Re、Fr對(duì)Eu的影響。只用改變v來(lái)改變Re、Fr意味著只需要一種試驗(yàn)設(shè)備和一種流體就行了。(2)便于控制。要想控制、改變?chǔ)?、η是較困難的，但按準(zhǔn)則關(guān)系式只需要控制Re和Fr就行了，這可以通過(guò)控制易于控制的V來(lái)達(dá)到。試驗(yàn)結(jié)果同樣能反映ρ、η和P的關(guān)系。（3）反映了現(xiàn)象的本質(zhì)。按有因次量整理試驗(yàn)結(jié)果，得到的是pf1(v)、pf2()、pf3()等關(guān)系式，不能反映現(xiàn)象的本質(zhì)，只反映了p分別和其它量的關(guān)系。相似三定理是相似理論的主要內(nèi)容，構(gòu)成了模型試驗(yàn)的理論基礎(chǔ)：①怎樣由原型設(shè)計(jì)模型?由第二定理知：必須保證單值條件相似、定性準(zhǔn)則相等的相似條件。②試驗(yàn)時(shí)測(cè)哪些數(shù)據(jù)?由第一定理可知：應(yīng)該測(cè)量（這里的“測(cè)量”還有“控制”的意思）相似準(zhǔn)則中包含的所有物理量。因?yàn)橄嗨茰?zhǔn)則體現(xiàn)了模型和原型的聯(lián)系。③ 試驗(yàn)結(jié)果如何處理？由第三定理可知：應(yīng)該整理成準(zhǔn)則關(guān)系式。這樣就可以推廣到一切相似現(xiàn)象。§7 方程分析法求相似準(zhǔn)則方程分析法有相似轉(zhuǎn)換法和積分類比法兩種。它是根據(jù)已知的微分方程組和單值條件來(lái)求相似準(zhǔn)則。既然方程都知道了，為什么還要作試驗(yàn)？這是因?yàn)橛袝r(shí)方程很復(fù)雜，求解非常困難，只得依靠試驗(yàn)來(lái)求解。有時(shí)得到的方程式在建立過(guò)程中，為了簡(jiǎn)便起見，作了許多假設(shè)，這時(shí)就僅是利用這個(gè)假設(shè)的方程來(lái)求相似準(zhǔn)則而己。一、相似轉(zhuǎn)換法（例）圖示系統(tǒng)，求相似準(zhǔn)則。kx解：mF9⑴ 寫出方程式和初始條件：方程式d2xkxF0m2dt初始條件:t=0時(shí),x x0(單值條件只需寫出那些隨現(xiàn)象的進(jìn)行而要發(fā)生變化的物理量，即初始條件。 )（2）寫出相似倍數(shù)表示式Cmm'，Cxx'，Ctt'，Ckk'，CFF'，Cx0x'0；m"x"t"k"F"x"0(3)相似轉(zhuǎn)換第一現(xiàn)象：'d2x'k'x'F'0（1）mdt2第二現(xiàn)象：m"d2x"k"x"F"0（2）dt"2由相似倍數(shù)表示式有m'Cmm"，t'Ctt"，x'Cxx",k'Ckk",F'CFF",x'0Cx0x0"代入（1）式得：（注意d(cx)=cdxd(cx)=cd2xd(cx)2cdx2）到'Cxm"d2x""x"CFF"0（1*）CmCt2dt"2CkCxk比較（1*）、（2）式有CmCxCkCxCF（3）Ct2同樣地、由兩個(gè)現(xiàn)象的單值條件：x'x0'，x"x0"得CxCx0（4）*（3）和（4）式可以等于任意值，也可以等（注意：（1）式右端為0；左端每一項(xiàng)都有一個(gè)相似倍數(shù)因子。于1，但不恒等于1，故不能在右邊寫“=1”。若等于1時(shí)，不能將CmCx、CkCx、CF、Cx、Cx0等誤認(rèn)為Ct2是相似指標(biāo)。這可容易地用因次等于1證明mx、kx、F等不是相似準(zhǔn)則。）t2由（3）、（4）式有10CmCxCkCx得相似指標(biāo)Cm1相似準(zhǔn)則1mCt22kCt2CktCkCxCFChCx1kxCF2FCxCFCmCx1mxCmCt2CF32FCt2tCxCx0Cx014x0Cxx描述此現(xiàn)象的物理量m、k、t、F、x0、x中，前五個(gè)是定性量，只有1是定性準(zhǔn)則。在這些物理量中，往往容易漏掉 x0。所以應(yīng)該特別注意初始條件的物理量和由初始條件得到的相似準(zhǔn)則，不要遺漏了。在以上準(zhǔn)則中，因 3 1 2，故 1、2和 3中只有（任意）兩個(gè)是獨(dú)立的。對(duì)于相似現(xiàn)象，只要獨(dú)立的相似準(zhǔn)則相等了，由獨(dú)立相似準(zhǔn)則導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則自然也就是相等的。因此在模型試驗(yàn)中，只需要討論獨(dú)立的相似準(zhǔn)則。在用方程法求相似準(zhǔn)則時(shí)，只討論（3）式中某1個(gè)量分別和其它量相等的情況，其它量相等則不需討論。二、積分類比法描述相似現(xiàn)象的方程是完全一樣的。方程式中，任意對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)比值應(yīng)該相等。由于方程的因次是諧和的，即各項(xiàng)的因次相同，所以任意兩項(xiàng)的比值是無(wú)因次量。因而這個(gè)比值就是一個(gè)相似準(zhǔn)則。如m'd2x'k'x'F'0dt'2m"d2x"k"x"F"0dt"2'd2x'"k'x'k"x"mm"d2x的任意對(duì)應(yīng)兩項(xiàng)之比相等：dt'2dt"2F'F"、F'F"第一個(gè)等式是一個(gè)相似準(zhǔn)則kx1，第二個(gè)等式里有微分符號(hào)。下面講怎樣處理微分符號(hào)。Fu1'u2'Cuui（有腳標(biāo)i）表示同一現(xiàn)象的第i個(gè)狀態(tài)的u值。設(shè)u2"u1"u2'u1'u'u'Cu常數(shù)u2"u1'u"u"取極限，由于常數(shù)的極限等于它本身，有11u'du'limCuu"0u"du"∵du'u'du"u"du'du'u'u'du'u'∴dt'du"u"t'dt't'du"dt't'u"即du"u"dt"dt"t"t"dt"t"dnu'dnu'u'u'dnu'u'同理dt'ndnu"u"t'n即dt'nt'ndnu"dt'nt'nu"dnu"u"dt"ndt"nt"nt"ndt"nu"n以上三個(gè)式子說(shuō)明：相似現(xiàn)象的有微分號(hào)的對(duì)應(yīng)量之比，等于去掉微分或偏微分符號(hào)“dn”“n”相應(yīng)量之dnuudnu'dnu"比。（注意：上式得不出dtntn的結(jié)論，因?yàn)閡和t不是對(duì)應(yīng)項(xiàng)。dt'n和"n才是對(duì)應(yīng)量。）dtm'd2x'm"d2x"d2x'因此：dt'2dt"2m'dt'2m"F'F"F'd2x"F"dt"2m'x'm"去掉“d”符號(hào)：t'2F'x"F"t"2∴m'x'm"x"即mxF't'2F"t"22Ft2由2的結(jié)果可知，直接將兩項(xiàng)比值中的微分符號(hào)去掉，就得到相似準(zhǔn)則了。將積分類比法歸納成以下步驟：1）．寫出現(xiàn)象的微分方程組和初始條件； （不需要分別寫出兩個(gè)現(xiàn)象的方程和初始條件了）2）．用方程式中的任一項(xiàng)（只需一項(xiàng)，如果用了兩項(xiàng)，得出的相似準(zhǔn)則將有不獨(dú)立的）除以其它各項(xiàng)（性質(zhì)相同的項(xiàng)僅取其中一項(xiàng)）；3）所有微分量用相應(yīng)量代替；沿各座標(biāo)的分量用總量代替（如速度分量Vx、Vy┉用總量V代替）；座標(biāo)量用定性尺寸代替（如長(zhǎng)x、寬y、高z等幾何量用一個(gè)定性尺寸L代替）。三、相似函數(shù)和非相似函數(shù)討論相似函數(shù)和非相似函數(shù)，可以說(shuō)明模型試驗(yàn)的局限性。12例1：由方程式y(tǒng)kex（k、e是常數(shù)）求相似指標(biāo)。解：y'kex'y"kex"y'x'相似倍數(shù)Cy，Cxy"x"則第一個(gè)式子為Cyy"kecxx"和第二個(gè)式子比較，得： Cy 1 Cx 1各相似倍數(shù)都等于 1，意味著不能得到相似的模型，不能進(jìn)行模型試驗(yàn)。例2：有y'Ax'B（1）y"Ax"B（A、B是常數(shù)）（2）用相似轉(zhuǎn)換法：將相似倍數(shù)代入得（1）式：Cyy"Ax"B（3）比較得（1）、（3）式，有Cy1Cx1。說(shuō)明不能進(jìn)行模式模型試驗(yàn)。用積分類比法：由任意兩項(xiàng)之比相等，有y'y"y'y"Ax'，B；Ax"B即y'y"，y'y"；x'x"得yy，x1，23。x即有Cy1，Cx1。與用相似轉(zhuǎn)換法得到的結(jié)論相同。（若B=0，則得CyCxCy1。說(shuō)明yAx可進(jìn)行模型試驗(yàn)，是相似函數(shù)。）Cx以上兩個(gè)函數(shù)式都不能得出相似倍數(shù)Cx，Cy的約束關(guān)系，即不能得到相似指標(biāo)。我們稱能用方程分析法得到相似指標(biāo)的函數(shù)式叫“相似函數(shù)”，不能用方程分析法得到相似指標(biāo)的函數(shù)式叫“非相似函數(shù)”。13§8因次分析法求相似準(zhǔn)則在多數(shù)情況下，各物理量之間關(guān)系是末知的，寫不出方程式來(lái)。只能寫出不定函數(shù)式：f（a，b，c，?‥）=0 a，b，c，?‥是表征現(xiàn)象的物理量這時(shí)，就只有用因次分析法來(lái)找相似準(zhǔn)則。因次分析法有很多用途，找相似準(zhǔn)則只是其中的一個(gè)。由于因次分析法在找相似準(zhǔn)則中的重要作用，因次分析和模型試驗(yàn)結(jié)下了不解之緣。一、因次的概念：“因次”又叫“量綱”。我們這里把物理量單位的種類（性質(zhì)）叫因次。種類：長(zhǎng)度、質(zhì)量、溫度、時(shí)間、?‥，就是不同的種類。它們有各自的因次。用分別 [L]、[M]、[t]、表示。物理量單位：除了指明物理量所屬種類外，還涉及到大小的問題。如米、市尺、英寸、等等，都是長(zhǎng)度單位，是屬“長(zhǎng)度”這個(gè)種類的，它們的每 1單位大小不同。它們的因次都是長(zhǎng)度的因次 [L]。因此，因次只涉及物理量的性質(zhì)，而不涉及它的大小。物理量分“基本量”和“導(dǎo)出量” ；現(xiàn)象可由基本物理量表征，也可用導(dǎo)出物理量表征。相應(yīng)地，物理量單位分“基本單位”和“導(dǎo)出單位” ，物理量因次分“基本因次”和“導(dǎo)出因次” 。導(dǎo)出量是由基本量導(dǎo)出的，可由基本量表示；導(dǎo)出單位是由基本單位導(dǎo)出的，可由基本單位表示；導(dǎo)出因次是由基本單位導(dǎo)出的，可由基本因次表示。例如：由基本量長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量導(dǎo)出力，導(dǎo)出量力可由基本量表示為長(zhǎng)度質(zhì)量時(shí)間；時(shí)間由基本單位m（米）、S（秒）、Kg（千克）導(dǎo)出N（牛），導(dǎo)出單位N可由基本單位表示為mkg；S2由基本因次[L]、[T]、[M]導(dǎo)出[F]，導(dǎo)出因次[F]可由基本因次表示為[L]·[M]·[T]-2，或[L]·[M]·[T-2]，或[LMT-2]。所謂“基本量（或基本因次）”和“導(dǎo)出量（或?qū)С鲆虼危笔窍鄬?duì)的，可以取任意的量（或因次）為基本量（或基本因次）。但基本量（或基本因次）必須互相獨(dú)立，即任何基本量（或基本因次）不能由其它基本量（或基本因次）導(dǎo)出，（如可以取L、F、不能取L、T、V），但必須完整，即任何其它量（或因次）都可由基本量（或基本因次）導(dǎo)出。國(guó)際單位制規(guī)定了七個(gè)基本單位：m（米）、Kg（千克）、S（秒）、A（安培）、K（開爾文）、mol（摩爾）、cd（坎德拉）。在力學(xué)中，我們常以長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、作為基本量，相應(yīng)地，取[L]、[M]、[T]作為基本因次。其它物理量的因次，可由基本因次表示：[A]=[L][M][T]或[A]=[L][M][T]任何物理量的因次都是基本因次的冪乘積。例如：速度[V]=[L][T-1][M0]=[LT-1]角加速度[ω]=[L0][T-2][M0]=[T-2]角度因次為[1]（以弧度來(lái)理解）可按物理量間的關(guān)系式寫出因次，如：14∵振動(dòng)頻率pkm111111∴[][k]2[M]2[FL1]2[M]2[LMT2L1]2[M]2[001][T1]PLMT相似準(zhǔn)則是無(wú)因次量，[][t]0[M]0[T]0[1]，又稱其因次為1。二、因次分析法求相似準(zhǔn)則根據(jù)① 相似準(zhǔn)則是表征現(xiàn)象的各物理量的冪的乘積，即 AaBbCC ；② 相似準(zhǔn)則的因次為 [1]( [ ] [A]a[B]b[C]c [1]); 由表征某一現(xiàn)象的物理量組成的無(wú)因次量是相似準(zhǔn)則。在已知表征現(xiàn)象的全部物理量的條件下，就可求得相似準(zhǔn)則。例：求物體受力產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則。解：1）寫出描述現(xiàn)象的全部物理量： m、F、v、t；2）寫出相似準(zhǔn)則通式及其因次準(zhǔn)則通式π=Fx1mx2vx3tx4準(zhǔn)則通式的因次[][F]x1[m]x2[v]x3[t]x4將其因次表示為基本因次的形式：[F][LMT2],[m][M],[v][LT1],[t][T]∴[][LMT2]x1[M]x2[LT1]x3[T]x4[L]x1x3[M]x1x2[T]2x1x3x43）根據(jù)[π]=[1]解出準(zhǔn)則通式中的末知指數(shù)由[][1][L0M0T0]得方程組：x1x30x1x202x1 x3 x4 0解方程組，得x1 x4x2 x4x3 x4有無(wú)窮多組解。其基礎(chǔ)解只有一組。其余的解都是基礎(chǔ)解的線性組合。令 x4 1， 得一基礎(chǔ)解： x1 1， x2 1， x3 1， x4 1154）寫出相似準(zhǔn)則將方程的解代入準(zhǔn)則通式，得到相似準(zhǔn)則Ft。（此準(zhǔn)則稱為牛頓準(zhǔn)則NeFtmv）mv5）驗(yàn)算驗(yàn)算[π]是否為[1]，如果為[1]，說(shuō)明正確。如果不為[1]，就錯(cuò)了，應(yīng)檢查物理量的因次是否弄錯(cuò)、解方程組是否出錯(cuò)。如果又令x42，則x12，x22，x32，這一組解是基礎(chǔ)解的線性組合，由此得到的準(zhǔn)則 ' (Ft)2，是不獨(dú)立的。所以，相似獨(dú)立準(zhǔn)則的個(gè)數(shù)和基礎(chǔ)解的個(gè)數(shù)相等。mv由這個(gè)例子可以看出用因次分析法求相似準(zhǔn)則的主要過(guò)程就是由“根據(jù)①”寫出相似準(zhǔn)則的通式，再由“根據(jù)②”解出通式中的未知數(shù)x1，x2，?‥。在實(shí)際中，要找出表征現(xiàn)象的全部物理量往往是困難的。物理量。多了或少了，對(duì)結(jié)果都有影響。例如，在上例中，若多一個(gè)物理量加速度a，將得到兩個(gè)相似準(zhǔn)則Ftma1，2。如果經(jīng)過(guò)mamvF試驗(yàn)，將得到結(jié)果：1，那就找到了F、m、a、之間的關(guān)系Fma，但這個(gè)關(guān)系是我們?cè)缫?F知熟知的，由此2是沒有什么意義的，反而增加了試驗(yàn)的內(nèi)容。所以，要注意判斷哪些是不獨(dú)立的物理量（即可由另外的物理量推導(dǎo)得出） ，在解題的第一步驟中就不應(yīng)將它們列入。例如，對(duì)于同一物體的速度V、a、x、t中，就只有兩個(gè)量是獨(dú)立的。若將它們都代入，就將得到x，v或x等沒有意義的相tvatat2似準(zhǔn)則。又如，如果將表征同一物體的幾何尺寸a、b、c都列入，將得到相似準(zhǔn)則a、b或a。這些準(zhǔn)則的物bcc理意義是兩相似現(xiàn)象中的這個(gè)物體的對(duì)應(yīng)尺寸成比例。但只要我們保證了物體的幾何相似，這些準(zhǔn)則對(duì)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)就是沒有多大意義的。通常，對(duì)這些有相同意義的物理量只需取其中一個(gè)就行了。但對(duì)于相似準(zhǔn)則（x0是單值條件），則是必要的，它表示了對(duì)初始條件的限制。x0在描述現(xiàn)象的方程中，有時(shí)存在有因次的常數(shù)，如氣體常數(shù) R。在因次分析中考慮物理量時(shí)，往往容量漏掉有因次的常數(shù)，從而造成錯(cuò)誤?？傊?，用因次分析法時(shí)，必須對(duì)所研究的現(xiàn)象的物理實(shí)質(zhì)有必要的了解，才能正確確定參與現(xiàn)象的物理量。如果了解甚少，就只有經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)來(lái)判斷所確定的物理量是否全面、正確。三、獨(dú)立相似準(zhǔn)則的完整集合獨(dú)立相似準(zhǔn)則表征現(xiàn)象的物理量組成的無(wú)因次量都是相似準(zhǔn)則。相似準(zhǔn)則的加、減、乘、除、冪都是無(wú)因次量，亦都是相似準(zhǔn)則。相似準(zhǔn)則一般不用有加、 減號(hào)形式，且乘、除實(shí)質(zhì)上是指數(shù)為 1的冪的乘積，所以說(shuō)“相似準(zhǔn)則的冪的乘積也是相似準(zhǔn)則”。由此可知，一類相似現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則有無(wú)窮多個(gè)。但其中有些準(zhǔn)則可以由其它一些準(zhǔn)則的冪的乘積來(lái)表示。16所謂獨(dú)立，是指準(zhǔn)則之間的關(guān)系。單獨(dú)一個(gè)，談獨(dú)立沒有意義。相似準(zhǔn)則之間相互獨(dú)立，是指這些準(zhǔn)則中的任何一個(gè)都不是其它準(zhǔn)則的冪的乘積，即不能相互轉(zhuǎn)換。例如：設(shè)1a，2b，3c，π1，π2，π3相互獨(dú)立。則π1，π2，a4是不獨(dú)立的，其中任意兩個(gè)獨(dú)立的；b1, 2,5=a是獨(dú)立的，其中任意兩個(gè)也是是獨(dú)立的。c2．獨(dú)立相似準(zhǔn)則的完整集合由上例， 1, 2是獨(dú)立的， 1, 2， 3也是獨(dú)立的，這種獨(dú)立的準(zhǔn)則集合可能包括最大的獨(dú)立準(zhǔn)則個(gè)數(shù)，就是所要討論的獨(dú)立相似準(zhǔn)則的完整性。若1,2?m是現(xiàn)象的獨(dú)立相似準(zhǔn)則，而且現(xiàn)象的其它任何相似準(zhǔn)則都可以表示為這些準(zhǔn)則的冪的乘積，則稱1,2?m為該現(xiàn)象的獨(dú)立相似準(zhǔn)則的一個(gè)完整集合。完整集合有無(wú)窮多個(gè)。每一個(gè)完整集合的相似準(zhǔn)則數(shù)都為m。若這個(gè)集合的相似準(zhǔn)則數(shù)＞m則不獨(dú)立；若準(zhǔn)則數(shù)＜m,則不完整，其它準(zhǔn)則中就必定有些準(zhǔn)則不能用這個(gè)集合中的準(zhǔn)則的冪的積來(lái)表示。無(wú)窮多個(gè)完整集合中的任何一個(gè)完整集合，都可以代表這個(gè)現(xiàn)象的全部(無(wú)窮多個(gè))相似準(zhǔn)則，因此求相似準(zhǔn)則就是要求出一個(gè)獨(dú)立相似準(zhǔn)則的完整集合。求獨(dú)立相似準(zhǔn)則的完整集合的準(zhǔn)則數(shù)目先確定完整集合中獨(dú)立準(zhǔn)則的個(gè)數(shù)m,再找出m個(gè)互相獨(dú)立相似準(zhǔn)則。這m個(gè)相似準(zhǔn)則就是一個(gè)獨(dú)立相似準(zhǔn)則的完整集合。設(shè)表征某現(xiàn)象的物理量A1,A2An,共n個(gè)。其因次為[Ai][L]i[M]i[T]ii=1,2,?,n相似準(zhǔn)則通式A1x1,A2x2,?Anxn相似準(zhǔn)則的因次[][L]1x12x2nxn[M]1x12x2nxn[T]1x12x2nxn[L0M0T0]1x12x2nxn01x12x2nxn01x12x2nxn0定理：齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩 r n時(shí)，只有唯一零解；當(dāng) r n時(shí)，有無(wú)窮多組解，每組基礎(chǔ)解系包含 n r個(gè)解向量?；A(chǔ)解系 (a1 ak)：1.k個(gè)解向量（將解看成是 n維向量）線性無(wú)關(guān)； 2.任意解向量是基礎(chǔ)解向量的線性組合?；A(chǔ)解不是唯一的，但其解向量的個(gè)數(shù)是一致的。17如果有不完全為零的數(shù)k1?,kn存在,使k11kmm0，那么1,,m線性相關(guān)；如不存在,也就是只有當(dāng)k1?,kn都是零時(shí)上式才成立,那么1,,m線性無(wú)關(guān)。（為解向量，即(1,2,,n)）秩是矩陣中不為零的子式的最高階數(shù)。系數(shù)矩陣121 21 2

???

nnn若矩陣的秩為 r，則方程組基礎(chǔ)解解向量 (a1 ak)個(gè)數(shù)m n r。方程組的解就是相似準(zhǔn)則中物理量的指數(shù)。若有幾組解線性相關(guān)，則對(duì)應(yīng)的相似準(zhǔn)則就不是互相獨(dú)立的。若有幾組解線性無(wú)關(guān)，則對(duì)應(yīng)的相似準(zhǔn)則是互相獨(dú)立的?；A(chǔ)解是解的最大線性無(wú)關(guān)組，因此，它所對(duì)應(yīng)的m個(gè)獨(dú)立準(zhǔn)則就是一個(gè)完整集合。所以，可知一個(gè)完整集合的獨(dú)立準(zhǔn)則數(shù)和方程組的基礎(chǔ)解個(gè)數(shù)相等。即獨(dú)立準(zhǔn)則數(shù)(m)=物理量個(gè)數(shù)(n)秩（r）一般基本因次都有三個(gè)([L].[M].[T])，方程組有3個(gè)等式，系數(shù)矩陣有3行，所以秩r不大于3。大多數(shù)情況下，r=3。特別是如果物理量中有因次分別為[L].[M].[T]或[L]、[F]、[T]的三個(gè)物理量（“長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量”或“長(zhǎng)度、時(shí)間、力”），那么系數(shù)矩陣中必然有一個(gè)三階子式：100110——對(duì)應(yīng)[L]010或010——對(duì)應(yīng)[M]0010-21——對(duì)應(yīng)[T]不等于零，系數(shù)矩陣的秩r=3。對(duì)于方程分析法，獨(dú)立準(zhǔn)則數(shù)m=不同類項(xiàng)數(shù)—1四、用矩陣求相似準(zhǔn)則（因次分析法求相似準(zhǔn)則的規(guī)格化）例：不可壓縮液體的等溫穩(wěn)定流動(dòng)解：1．考察表征現(xiàn)象的物理量：f(p,,g,v,,)02．寫出各物理量的因次：[p][L1MT2，2，L1MT1]，[V][LT1]，[l][L]，[][L3M]][g][LT][]183．寫出因次矩陣[][P]x1[]x2[g]x3[v]x4[l]x5[]x6pηgvlρ——物理量x1x2x3x4x5x6——物理量的指數(shù)L-1-1111-3M110001T-2-1-2-100右下角是一個(gè)矩陣，就是方程組的系數(shù)矩陣。4．計(jì)算秩和獨(dú)立相似準(zhǔn)則的個(gè)數(shù)計(jì)算矩陣的秩：右邊的三階子式+1 +1 -30 0 0 ≠0 , r＝３-1 0 0由此可知相似準(zhǔn)則的一個(gè)完整集合有（ 6―3=3 ）個(gè)相似準(zhǔn)則。．寫出方程式組：-χ-χ+χ+χ+χ-3χ=0123456χ1+χ2+χ6=0-2χ1-χ2-2χ3-χ4=0解方程組：（后r個(gè)末知數(shù)用其余未知數(shù)表示）χ=-2χ-2χ-2χ41236=-χ1-χ24=-2χ1-χ2-2χ36．求相似準(zhǔn)則（n—r）個(gè)р η g v l ρχ1 χ2 χ3 χ4 χ5 χ6π1100-20-1(令χ=1,χ=0,χ=0，則χ=2,χ=0，χ=-1)123456（n—r）個(gè)π2010-1-1-1右下角是方程組的解矩陣π3001-210p(Eu)，1)，3glF)。寫出相似準(zhǔn)則:1v22(v2(vlRe這是一個(gè)獨(dú)立相似準(zhǔn)則的完整集合。在求相似準(zhǔn)則時(shí)，應(yīng)注意：⑴因次矩陣和上面這個(gè)表格中，物理量排列的次序不同，得到的相似準(zhǔn)則的形式就不同，結(jié)果是另19外的完整集合。從上面這個(gè)表格可以看出 ,左邊三個(gè)物理量只在完整集合中的一個(gè)準(zhǔn)則中出現(xiàn)，而且在準(zhǔn)則中其冪為 1。由此,我們可以合理地安排物理量的排列次序 ,以便進(jìn)行試驗(yàn)和整理試驗(yàn)結(jié)果：）盡量使每個(gè)非定性準(zhǔn)則中僅含一個(gè)非定性量。一般非定性量是被研究的量。于是，盡可能將量非定性量排在前面。b）盡量使每個(gè)定性準(zhǔn)則中只含一個(gè)易調(diào)節(jié)的定性量。于是，盡可能將易調(diào)節(jié)量排在前面。c）可能忽略的量排在前面，只在準(zhǔn)則集合中出現(xiàn)一次。⑵有時(shí)會(huì)出現(xiàn)有不重復(fù)的因次的情況，如研究氣體時(shí)，有物理量 P、V、T，只有 T是溫度因次。誰(shuí)和它組成無(wú)因次量的準(zhǔn)則呢？這時(shí)就需要考慮是否還有一個(gè)含有因次的常數(shù)？（這個(gè)常數(shù)是 R）⑶無(wú)因次物理量本身就是一個(gè)相似準(zhǔn)則 ,如摩擦系數(shù) f、角度 等。例如：對(duì)于不可壓縮液體的等溫穩(wěn)定流動(dòng)， p是非定性量，其余是定性量，定性量中 v容易調(diào)節(jié)。試驗(yàn)結(jié)果整理為：非f(定1，定2，?）即Euf(Re，F(xiàn)r)pf(Re，F(xiàn)r)v2Eu只含一個(gè)非定性量，就可整理為：pf(Re，F(xiàn)r)v2Eu，Re，F(xiàn)r都含有易調(diào)節(jié)量V。一變動(dòng)V，三個(gè)準(zhǔn)則的值都要變動(dòng)。如果將p、v、l、排在前面，就得p vπ1 1 0 0π2 0 1 0π3 0 0 1

lηg2211p32g223331112V3/(g)3332123l3g2/2333這時(shí)若調(diào)節(jié) v，只變動(dòng)π2，若變動(dòng) l，只變動(dòng)π3。這樣，整理試驗(yàn)結(jié)果p/3gg2f(v3，l32)g就方便多了。例：在彈性范圍內(nèi)，求獨(dú)立相似準(zhǔn)則的完整集合。解：1、描述現(xiàn)象的物理量：力P、彈性模量E，幾何尺寸l、撓度y、應(yīng)力、轉(zhuǎn)角。定性量非定性量2．物理量的因次：[P][LMT2]，[E][L1MT2]，[l][L