高中數(shù)學(xué)人教A版5本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 評估驗(yàn)收卷(四)

評估驗(yàn)收卷(四)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列說法中正確的是()A．若一個命題當(dāng)n＝1，2時為真，則此命題為真命題B．若一個命題當(dāng)n＝k時成立且推得n＝k＋1時也成立，則此命題為真命題C．若一個命題當(dāng)n＝1，2時為真，則當(dāng)n＝3時此命題也為真D．若一個命題當(dāng)n＝1時為真，n＝k時為真能推得n＝k＋1時亦為真，則此命題為真命題解析：由數(shù)學(xué)歸納法定義可知，只有當(dāng)n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1時也成立時，才可以證明結(jié)論正確，二者缺一不可．A，B，C項(xiàng)均不全面．答案：D2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,2)(5n2－7n＋4)()A．n為任何正整數(shù)時都成立B．僅當(dāng)n＝1,2，3時成立C．當(dāng)n＝4時成立，n＝5時不成立D．僅當(dāng)n＝4時不成立解析：把n＝1，2，3，4，5代入驗(yàn)證可知B正確．答案：B3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋…＋eq\f(1,n3)＜2－eq\f(1,n)(n≥2，n∈N＋)時，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A．1＋eq\f(1,23)＜2－eq\f(1,2)B．1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＜2－eq\f(1,3)C．1＋eq\f(1,23)＜2－eq\f(1,3)D．1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＜2－eq\f(1,4)解析：因?yàn)閚≥2，所以第一步驗(yàn)證不等式應(yīng)為n＝2時1＋eq\f(1,23)＜2－eq\f(1,2).答案：A4．用數(shù)學(xué)歸納法證明對一切大于1的自然數(shù)n，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n－1)))＞eq\f(\r(2n＋1),2)成立時，當(dāng)n＝2時驗(yàn)證的不等式是()A．1＋eq\f(1,3)＞eq\f(\r(5),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))＞eq\f(\r(5),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))≥eq\f(\r(5),2)D．以上都不對解析：當(dāng)n＝2時，左邊＝1＋eq\f(1,2×2－1)＝1＋eq\f(1,3)，右邊＝eq\f(\r(2×2＋1),2)＝eq\f(\r(5),2)，所以1＋eq\f(1,3)＞eq\f(\r(5),2).答案：A5．已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，則()A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．f(n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)解析：本題主要考查數(shù)列的概念．由n到n2一共有整數(shù)n2－n＋1個，所以f(n)有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時代入得，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4).故本題正確答案為D.答案：D6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假設(shè)n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3時正確(k∈N＋)B．假設(shè)n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1時正確(k∈N＋)C．假設(shè)n＝k時正確，再推n＝k＋1時正確(k∈N＋)D．假設(shè)n≤k(k≥1)時正確，再推n＝k＋2時正確(k∈N＋)解析：n為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)n取第k個正奇數(shù)也成立，本題即假設(shè)n＝2k－1時正確，再推n取第(k＋1)個正奇數(shù)，即n＝2k＋1時正確．答案：B7．平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點(diǎn)個數(shù)最多為()A．f(k)＋1 B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1 D．k·f(k)解析：第k＋1條直線與前k條直線都相交有交點(diǎn)，所以應(yīng)比原先增加k個交點(diǎn)．故應(yīng)選B.答案：B8．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1×3×…·(2n－1)(n∈N＋)成立時，從k到k＋1左邊需增乘的代數(shù)式是()\f(2k＋1,k＋1) B．2(2k＋1)C．2k＋1 \f(2k＋3,k＋1)解析：要求左邊從k到k＋1左邊需增乘的代數(shù)式，可以先寫出n＝k時，左邊＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，再寫出n＝k＋1時，左邊＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)，然后比較兩式，得出需增乘eq\f(（k＋k＋1）（k＋k＋2）,k＋1)＝2(2k＋1)．答案：B9．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n－1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋4)＋…＋\f(1,2n)))時，若已假設(shè)n＝k(k≥2為偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證()A．n＝k＋1時等式成立B．n＝k＋2時等式成立C．n＝2k＋2時等式成立D．n＝2(k＋2)時等式成立解析：因?yàn)閚是正偶數(shù)，所以n＝k的下一個偶數(shù)是n＝k＋2.故選B.答案：B10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N＋都成立，則a，b，c的值為()A．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4) B．a(chǎn)＝b＝c＝eq\f(1,4)C．a(chǎn)＝0，b＝c＝eq\f(1,4) D．不存在這樣的a，b，c解析：因?yàn)榈仁綄σ磺衝∈N＋均成立，所以n＝1，2，3時等式成立，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝3（a－b）＋c，,1＋2×3＝32（2a－b）＋c，,1＋2×3＋3×32＝33（3a－b）＋c，))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－3b＋c＝1，,18a－9b＋c＝7，,81a－27b＋c＝34，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4).))答案：A11．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N＋)，且n＞1時，不等式在n＝k＋1時的形式是()A．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)＜k＋1B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k＋1－1)＜k＋1C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1－1)＜k＋1D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－2)＋eq\f(1,2k＋1－1)＜k＋1解析：不等式左邊的每一項(xiàng)的分母從1開始遞增，當(dāng)n＝k時不等式為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＜k，當(dāng)n＝k＋1時，不等式的形式是1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－2)＋eq\f(1,2k＋1－1)＜k＋1.答案：D12．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A．30 B．26C．36 D．6解析：f(1)＝36，f(2)＝108，n≥3時f(n)＝9[(2n＋7)3n－2＋1]，(2n＋7)·3n－2＋1，當(dāng)n≥3時能被4整除，結(jié)合選項(xiàng)知C正確．答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．若用數(shù)學(xué)歸納法證明：2n＋1＞n2＋n＋2成立時，第一步應(yīng)驗(yàn)證_______________________________________________________．答案：n0＝3，24＞32＋3＋214．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1eq\f(n（n＋1）,2)(n∈N＋)，(從“第k步到k＋1步”時，兩邊應(yīng)同時加上________．答案：(－1)k(k＋1)215．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n是非負(fù)整數(shù)時，55n＋1＋45n＋2＋35n能被11整除”的第一步應(yīng)寫成：當(dāng)n＝___________時，55n＋1＋45n＋2＋35n＝________＝________，能被11整除．解析：本題考查對運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的掌握情況，由于n是非負(fù)整數(shù)，所以第一步應(yīng)考慮n＝0.答案：051＋42＋302216．有以下四個命題：(1)2n＞2n＋1(n≥3)；(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥1)；(3)凸n邊形內(nèi)角和為f(n)＝(n－1)π(n≥3)；(4)凸n邊形對角線條數(shù)為f(n)＝eq\f(n（n－2）,2)(n≥4)．其中滿足“假設(shè)n＝k(k∈N＋，k＞n0)時命題成立，則當(dāng)n＝k＋1時命題也成立”，但不滿足“當(dāng)n＝n0(n0是題中給定的n的初始值)時命題成立”的命題序號是____________________．解析：當(dāng)n取初始值時，經(jīng)驗(yàn)證，(1)成立，(2)，(3)，(4)均不成立，故(1)不符合題意．假設(shè)n＝k(k∈N＋，k＞n0)時命題成立，則當(dāng)n＝k＋1時，經(jīng)驗(yàn)證，(2)(3)成立，(4)不成立．所以(2)(3)正確．答案：(2)(3)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝eq\f(n（3n＋1）,2)(n∈N＋)．證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝2，右邊＝eq\f(1×（3＋1）,2)＝2＝左邊，等式成立．(2)假設(shè)n＝k時等式成立，即(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)＝eq\f(k（3k＋1）,2).則當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(k＋k)＋(k＋k＋1)＋(k＋k＋2)＝[(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)]＋3k＋2＝eq\f(k（3k＋1）,2)＋3k＋2＝eq\f(3k2＋7k＋4,2)＝eq\f(（k＋1）（3k＋4）,2)＝eq\f(（k＋1）[3（k＋1）＋1],2)，故n＝k＋1時，等式成立．由(1)(2)知對任意n∈N＋，等式成立．18．(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)＞1(n∈N＋，且n＞1)．證明：(1)當(dāng)n＝2時，eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(13,12)＞1成立；(2)設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時，eq\f(1,k)＋eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,k2)＞1；則當(dāng)n＝k＋1時，eq\f(1,k＋1)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k2＋1)＋…＋eq\f(1,（k＋1）2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)＋\f(1,k＋1)＋…＋\f(1,k2)))＋eq\f(1,k2＋1)＋…＋eq\f(1,k2＋2k＋1)－eq\f(1,k)＞1＋eq\f(2k＋1,（k＋1）2)－eq\f(1,k)＝1＋eq\f(k2－k－1,k（k＋1）2)＝1＋eq\f(（k－1）2＋k－2,k（k＋1）2)＞1，即當(dāng)n＝k＋1時也成立．由(1)(2)知對任意n＞1(n∈N＋)，原不等式成立．19．(本小題滿分12分)求證：對于整數(shù)n≥0時，11n＋2＋122n＋1能被133整除．證明：(1)n＝0時，原式＝112＋12＝133能被133整除．(2)假設(shè)n＝k(k≥0，k∈N)時，11k＋2＋122k＋1能被133整除，n＝k＋1時，原式＝11k＋3＋122k＋3＝11(11k＋2＋122k＋1)－11×122k＋1＋122k＋3＝11(11k＋2＋122k＋1)＋122k＋1·133也能被133整除．由(1)(2)可知，對于整數(shù)n≥0，11n＋2＋122n＋1能被133整除．20．(本小題滿分12分)設(shè){xn}是由x1＝2，xn＋1＝eq\f(xn,2)＋eq\f(1,xn)(n∈N＋)定義的數(shù)列，求證：xn＜eq\r(2)＋eq\f(1,n).證明：(1)當(dāng)n＝1時，x1＝2＜eq\r(2)＋1，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，不等式成立，即xk＜eq\r(2)＋eq\f(1,k)，那么，當(dāng)n＝k＋1時，xk＋1＝eq\f(xk,2)＋eq\f(1,xk).由歸納假設(shè)，xk＜eq\r(2)＋eq\f(1,k)，則eq\f(xk,2)＜eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2k)，eq\f(1,xk)＞eq\f(1,\r(2)＋\f(1,k)).因?yàn)閤k＞eq\r(2)，所以eq\f(1,xk)＜eq\f(\r(2),2).所以xk＋1＝eq\f(xk,2)＋eq\f(1,xk)＜eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)＋eq\f(1,2k)≤eq\r(2)＋eq\f(1,k＋1).即xk＋1＜eq\r(2)＋eq\f(1,k＋1).所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式xn＜eq\r(2)＋eq\f(1,n)成立．綜上所述，得xn＜eq\r(2)＋eq\f(1,n)(n∈N＋)．21．(本小題滿分12分)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n（n＋1）)))的前n項(xiàng)和記為Sn.(1)求出S1，S2，S3的值；(2)猜想出Sn的表達(dá)式；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．(1)解：an＝eq\f(1,n（n＋1）)，S1＝a1＝eq\f(1,2)；S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)；S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)解：猜想：Sn＝eq\f(n,n＋1)(n∈N＋)．(3)證明：①當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝eq\f(1,2)，右邊＝eq\f(1,2).等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時，Sk＝eq\f(k,k＋1)，則當(dāng)n＝k＋1時，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝eq\f(k,k＋1)＋eq\f(1,（k＋1）（k