高中數(shù)學(xué)蘇教版本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第3章學(xué)業(yè)分層測評19

學(xué)業(yè)分層測評(十九)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、填空題1．用隨機模擬的方法來估計圓周率π的近似值．在正方形中隨機撒一把芝麻，如果撒了1000顆芝麻，落在正方形內(nèi)切圓內(nèi)的芝麻點數(shù)為778顆，那么這次模擬中π的近似值是________．【解析】根據(jù)幾何概型及用頻率估計概率的思想，eq\f(πR2,4R2)＝eq\f(π,4)＝eq\f(778,1000)，其中R為正方形內(nèi)切圓的半徑，解得π＝.【答案】2．已知函數(shù)f(x)＝log2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上任取一點x0，則使f(x0)≥0的概率為________．【解析】欲使f(x)＝log2x≥0，則x≥1，而x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴x∈[1,2]，從而由幾何概型概率公式知所求概率P＝eq\f(2－1,2－\f(1,2))＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)3．如圖3-3-5，在平面直角坐標(biāo)系中，∠xOT＝60°，以O(shè)為端點任作一射線，則射線落在銳角∠xOT內(nèi)的概率是________.【導(dǎo)學(xué)號：11032068】圖3-3-5【解析】以O(shè)為起點作射線，設(shè)為OA，則射線OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT內(nèi)的概率只與∠xOT的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件．記“射線OA落在銳角∠xOT內(nèi)”為事件A，其幾何度量是60°，全體基本事件的度量是360°，由幾何概型概率計算公式，可得P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)4．若將一個質(zhì)點隨機投入如圖3-3-6所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是________．圖3-3-6【解析】由題意AB＝2，BC＝1，可知長方形ABCD的面積S＝2×1＝2，以AB為直徑的半圓的面積S1＝eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2).故質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率P＝eq\f(\f(π,2),2)＝eq\f(π,4).【答案】eq\f(π,4)5．一只螞蟻在三邊邊長分別為3,4,5的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為________．【解析】邊長為3,4,5構(gòu)成直角三角形，P＝eq\f(3－1－1＋4－1－1＋5－1－1,3＋4＋5)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)6．一只螞蟻在邊長分別為6,8,10的△ABC區(qū)域內(nèi)隨機爬行，則其恰在到頂點A或頂點B或頂點C的距離小于1的地方的概率為________．【解析】由題意知，三角形ABC為直角三角形，則S△ABC＝eq\f(1,2)×6×8＝24，記“恰在到頂點A或B或C的距離小于1”為事件A.則事件A發(fā)生的圖形為圖中陰影部分面積，因為S陰＝eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2)所以P(A)＝eq\f(S陰,S△ABC)＝eq\f(\f(π,2),24)＝eq\f(π,48).【答案】eq\f(π,48)7．已知集合A＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}，現(xiàn)在集合內(nèi)任取一點，使得x2＋y2≤1的概率是________．【解析】集合A表示的平面圖形是如圖所示的邊長為1的正方形，其內(nèi)切圓為x2＋y2＝1.設(shè)“在集合內(nèi)取一點，使得x2＋y2≤1”為事件A，即所取的點在單位圓x2＋y2＝1上或內(nèi)部．由幾何概型知P(A)＝eq\f(π,4).【答案】eq\f(π,4)8．已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點P，使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率是________．【解析】如圖，由VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC知，P點在三棱錐S-ABC的中截面A0B0C0的下方，P＝1－eq\f(VS-A0B0C0,VS-ABC)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).【答案】eq\f(7,8)二、解答題9．兩人約定在20∶00到21∶00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20∶00至21∶00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間相見的概率．【解】設(shè)兩人分別于x時和y時到達約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)－eq\f(2,3)≤x－y≤eq\f(2,3).兩人到達約見地點所有時刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點來表示，兩人能在約定的時間范圍內(nèi)相見的所有時刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來表示，因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為：P＝eq\f(S陰影,S單位正方形)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2),12)＝eq\f(8,9).10．已知|x|≤2，|y|≤2，點P的坐標(biāo)為(x，y)．(1)求當(dāng)x，y∈R時，點P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)求當(dāng)x，y∈Z時，點P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．【解】(1)如圖，點P所在的區(qū)域為正方形ABCD的內(nèi)部(含邊界)，滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的點的區(qū)域為以(2,2)為圓心，2為半徑的圓面(含邊界)．又S正方形ABCD＝4×4＝16，S扇形＝π，∴P1＝eq\f(S扇形,S正方形ABCD)＝eq\f(π,16).(2)若x，y∈Z，則點P的坐標(biāo)有(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1,1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)共25個，滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的有(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)共5個，∴點P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率P1＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).[能力提升]1.如圖3-3-7，半徑為10cm的圓形紙板內(nèi)有一個相同圓心的半徑為1cm的小圓．現(xiàn)將半徑為1cm的一枚硬幣拋到此紙板上，使硬幣整體隨機落在紙板內(nèi)，則硬幣落下后與小圓無公共點的概率為________．圖3-3-7【解析】由題意，硬幣的中心應(yīng)落在距圓心2～9cm的圓環(huán)上，圓環(huán)的面積為π×92－π×22＝77πcm2，故所求概率為eq\f(77π,81π)＝eq\f(77,81).【答案】eq\f(77,81)2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，若A∩B≠?的概率為1，則a的取值范圍是________．【解析】由A∩B≠?的概率為1知直線x＋y＋a＝0與圓x2＋y2＝1有公共點，故圓心到直線的距離不大于半徑1，即eq\f(|a|,\r(2))≤1.解得－eq\r(2)≤a≤eq\r(2).【答案】[－eq\r(2)，eq\r(2)]3．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點【解析】與點O距離等于1的點的軌跡是一個半球面(如圖)，半球體積為V1＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3).“點P與點O距離大于1”事件對應(yīng)的區(qū)域體積為23－eq\f(2π,3)，則點P與點O距離大于1的概率是eq\f(23－\f(2π,3),23)＝1－eq\f(π,12).【答案】1－eq\f(π,12)4．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率.【導(dǎo)學(xué)號：11032069】【解】設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”．當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根等價于Δ＝4a2－4b2≥0,即a≥b.(1)基本事件共有12個：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一個數(shù)表示a