高中數(shù)學(xué)人教A版5證明不等式的基本方法三反證法與放縮法

三反證法與放縮法1．掌握用反證法證明不等式的方法．(重點(diǎn))2．了解放縮法證明不等式的原理，并會(huì)用其證明不等式．(難點(diǎn)、易錯(cuò)易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1反證法閱讀教材P26～P27“例2”及以上部分，完成下列問(wèn)題．先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把這種證明問(wèn)題的方法稱為反證法．如果兩個(gè)正整數(shù)之積為偶數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)()A．兩個(gè)都是偶數(shù)B．一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)C．至少一個(gè)是偶數(shù)D．恰有一個(gè)是偶數(shù)【解析】假設(shè)這兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的積也是奇數(shù)，這與已知矛盾，所以這兩個(gè)數(shù)至少有一個(gè)為偶數(shù)．【答案】C教材整理2放縮法閱讀教材P28～P29“習(xí)題”以上部分，完成下列問(wèn)題．證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法．若|a－c|＜h，|b－c|＜h，則下列不等式一定成立的是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750039】A．|a－b|＜2h B．|a－b|＞2hC．|a－b|＜h D.|a－b|＞h【解析】|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.【答案】A[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：[小組合作型]利用反證法證“至多”“至少”型命題已知f(x)＝x2＋px＋q，求證：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2).【精彩點(diǎn)撥】(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函數(shù)f(x)求值推算可得結(jié)論．(2)假設(shè)結(jié)論不成立，推出矛盾，得結(jié)論．【自主解答】(1)由于f(x)＝x2＋px＋q，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于eq\f(1,2)，則有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2與(*)矛盾，∴假設(shè)不成立．故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2).1．在證明中含有“至多”“至少”等字眼時(shí)，常使用反證法證明．在證明中出現(xiàn)自相矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立．2．在用反證法證明的過(guò)程中，由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè)，相當(dāng)于增加了題設(shè)條件，因此在證明過(guò)程中必須使用這個(gè)增加的條件，否則將無(wú)法推出矛盾．[再練一題]1．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求證：a，b，c，d中至多有三個(gè)是非負(fù)數(shù)．【證明】a，b，c，d中至多有三個(gè)是非負(fù)數(shù)，即至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)，故有假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)．即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，則1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.這與已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假設(shè)錯(cuò)誤，故a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．即a，b，c，d中至多有三個(gè)是非負(fù)數(shù).利用放縮法證明不等式已知an＝2n2，n∈N*，求證：對(duì)一切正整數(shù)n，有eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜eq\f(3,2).【精彩點(diǎn)撥】針對(duì)不等式的特點(diǎn)，對(duì)其通項(xiàng)進(jìn)行放縮、列項(xiàng)．【自主解答】∵當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2n2＞2n(n－1)，∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,2n2)＜eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)·eq\f(1,nn－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜1＋eq\f(1,2)eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn－1)＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n－1)－\f(1,n)))＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n)＜eq\f(3,2)，即eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜eq\f(3,2).1．放縮法在不等式的證明中無(wú)處不在，主要是根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行變換．2．放縮法技巧性較強(qiáng)，放大或縮小時(shí)注意要適當(dāng)，必須目標(biāo)明確，合情合理，恰到好處，且不可放縮過(guò)大或過(guò)小，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)論，達(dá)不到預(yù)期目的，謹(jǐn)慎地添或減是放縮法的基本策略．[再練一題]2．求證：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜2－eq\f(1,n)(n≥2，n∈N＋)．【證明】∵k2＞k(k－1)，∴eq\f(1,k2)＜eq\f(1,kk－1)＝eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k)(k∈N＋，且k≥2)．分別令k＝2,3，…，n得eq\f(1,22)＜eq\f(1,1·2)＝1－eq\f(1,2)，eq\f(1,32)＜eq\f(1,2·3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，…，eq\f(1,n2)＜eq\f(1,nn－1)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n).因此1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))＝1＋1－eq\f(1,n)＝2－eq\f(1,n).故不等式1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜2－eq\f(1,n)(n≥2，n∈N＋)．[探究共研型]利用反證法證明不等式探究1反證法的一般步驟是什么？【提示】證明的步驟是：(1)作出否定結(jié)論的假設(shè)；(2)從否定結(jié)論進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；(3)否定假設(shè)，肯定結(jié)論．探究2反證法證題時(shí)常見(jiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的否定形式是怎樣的？【提示】常見(jiàn)的涉及反證法的文字語(yǔ)言及其相對(duì)應(yīng)的否定假設(shè)有：常見(jiàn)詞語(yǔ)至少有一個(gè)至多有一個(gè)唯一一個(gè)是有或存在全都是否定假設(shè)一個(gè)也沒(méi)有有兩個(gè)或兩個(gè)以上沒(méi)有或有兩個(gè)或兩個(gè)以上不是不存在不全不都是已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：∠B＜90°.【精彩點(diǎn)撥】本題中的條件是三邊間的關(guān)系eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，而要證明的是∠B與90°的大小關(guān)系．結(jié)論與條件之間的關(guān)系不明顯，考慮用反證法證明．【自主解答】∵a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c).假設(shè)∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，則∠B是三角形的最大內(nèi)角，在三角形中，有大角對(duì)大邊，∴b＞a＞0，b＞c＞0，∴eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)，eq\f(1,b)＜eq\f(1,c)，∴eq\f(2,b)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，這與eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)相矛盾．∴假設(shè)不成立，故∠B＜90°成立．1．本題中從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即把結(jié)論的反面“∠B≥90°”作為條件進(jìn)行推證是關(guān)鍵．要注意否定方法，“＞”否定為“≤”，“＜”否定為“≥”等．2．利用反證法證題的關(guān)鍵是利用假設(shè)和條件通過(guò)正確推理，推出和已知條件或定理事實(shí)或假設(shè)相矛盾的結(jié)論．[再練一題]3．若a3＋b3＝2，求證：a＋b≤2.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750040】【證明】法一假設(shè)a＋b>2，a2－ab＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))eq\s\up10(2)＋eq\f(3,4)b2≥0，故取等號(hào)的條件為a＝b＝0，顯然不成立，∴a2－ab＋b2>0.則a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)，而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1，∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，從而ab<1，∴a2＋b2<1＋ab<2，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4，∴a＋b<2.這與假設(shè)矛盾，故a＋b≤2.法二假設(shè)a＋b>2，則a>2－b，故2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，這顯然不成立，從而a＋b≤2.法三假設(shè)a＋b>2，則(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)>8.由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)>6，故ab(a＋b)>2.又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，∴ab(a＋b)>(a＋b)(a2－ab＋b2)，∴a2－ab＋b2<ab，即(a－b)2<0.這顯然不成立，故a＋b≤2.[構(gòu)建·體系]反證法與放縮法—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(反證法與放縮法的定義),—\x(反證法的一般步驟),—\x(證明不等式),—\x(放縮的技巧)))1．實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的等價(jià)條件為()A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不為0【解析】實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的含義即a，b，c中至少有一個(gè)不為0，其否定則是a，b，c全為0，故選D.【答案】D2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反證法求證a＞0，b＞0，c＞0時(shí)的假設(shè)為()A．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0 B．a(chǎn)≤0，b＞0，c＞0C．a(chǎn)，b，c不全是正數(shù) ＜0【解析】a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正數(shù)，故選C.【答案】C3．要證明eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，下列證明方法中，最為合理的是()A．綜合法 B．放縮法C．分析法 D.反證法【解析】由分析法的證明過(guò)程可知選C.【答案】C4．A＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))與eq\r(n)(n∈N＋)的大小關(guān)系是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750041】【解析】A＝eq\f(1,\r(1))＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))≥＝eq\f(n,\r(n))＝eq\r(n).【答案】A≥eq\r(n)5．若x，y都是正實(shí)數(shù)，且x＋y>2.求證：eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一個(gè)成立．【證明】假設(shè)eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2都不成立，則有eq\f(1＋x,y)≥2和eq\f(1＋y,x)≥2同時(shí)成立，因?yàn)閤>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，這與已知條件x＋y>2矛盾，因此eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一個(gè)成立．我還有這些不足