高中數(shù)學人教A版第二章平面向量 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（第1課時）一、教學目標重點：平面向量數(shù)量積的概念，性質(zhì)、運算律的發(fā)現(xiàn)與論證．難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算率的理解，平面向量數(shù)量積的應用．知識點：平面向量數(shù)量積的概念，性質(zhì)、運算律．能力點：通過對平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運算律的探究，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力．教育點：通過本節(jié)課的學習，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和善于發(fā)現(xiàn)、勇于探索的精神，體會學習的快樂，體會各學科之間是密不可分的．培養(yǎng)學生思考問題認真嚴謹?shù)膶W習態(tài)度．自主探究點：有關(guān)向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律的證明．考試點：=1\*GB3①考查向量數(shù)量積運算；=2\*GB3②有關(guān)向量夾角的計算；=3\*GB3③應用向量解決垂直問題．易錯易混點：向量的數(shù)量積與實數(shù)的乘法的區(qū)別．拓展點：向量在幾何中證明垂直的應用．二、引入新課任意兩個向量都可以進行加減運算，并且兩個向量的和與差仍是一個向量，我們自然地會想到：兩個向量是否可以進行乘法運算呢？如果能，其運算結(jié)果是什么呢？思考：1．如右圖，一個物體在力的作用下產(chǎn)生位移，且力與位移的夾角為，那么力所做的功是多少？結(jié)論：2．功是一個標量，它由力和位移兩個向量所確定，數(shù)學上，我們把“功”稱為向量與的“數(shù)量積”．一般地，對于非零向量與的數(shù)量積是指什么？【設(shè)計意圖】由舊知識引出新內(nèi)容，同時聯(lián)系物理學和數(shù)學，理解具體和一般的關(guān)系．三、探究新知1．平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(innerproduct)（或內(nèi)積），記作，即，其中是與的夾角．特別強調(diào)：兩個向量，的數(shù)量積與代數(shù)中兩個數(shù)的乘積是兩碼事，但表面看來又有點相似，因此要注意兩個向量與的數(shù)量積是記作，中間的實心小圓點不能省略，也不能把實心小圓點用乘號“×”代替，寫成．思考1：對于兩個非零向量與，其數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它何時為正數(shù)？何時為負數(shù)？何時為零？結(jié)論：，當，即時，；當，即時，；當，即時，．思考2：零向量與任一向量的數(shù)量積是多少？結(jié)論：我們規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0．2．投影的定義對于兩個非零向量與，設(shè)其夾角為，叫做向量在方向上的投影．如上圖所示，，即有向線段的數(shù)量為．特別強調(diào)：向量的投影是一個數(shù)量．思考1：向量在方向上的投影一定是正數(shù)嗎？向量在方向上的投影是什么？結(jié)論：不一定是正數(shù)，其正負取決于，即的取值．向量在方向上的投影是．思考2：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積的幾何意義是什么？結(jié)論：數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積，或等于的長度與在方向上的投影的乘積．【設(shè)計意圖】使學生從感性到理性去認知數(shù)量積的定義．通過對概念的認識、分析和探究，使學生加深理解，掌握相關(guān)的幾何意義并加深對投影的認識．3．平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)思考1：設(shè)與都是非零向量，若，則等于多少？反之成立嗎？結(jié)論：思考2：當與同向時，等于什么？當與反向時，等于什么？特別地，等于什么？結(jié)論：當與同向時，；當與反向時，；，所以．通常記作．思考3：設(shè)與都是非零向量，如何計算它們的夾角？結(jié)論：由可得，再結(jié)合可求出．思考4：與的大小關(guān)系如何？為什么？結(jié)論：，因為，所以【設(shè)計意圖】通過上述4個思考，在學生討論交流的基礎(chǔ)上，由教師進一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，然后再由學生利用數(shù)量積的定義給予證明，完成探究活動．這樣設(shè)計體現(xiàn)了教師只是教學活動的引領(lǐng)者，而學生才是學習活動的主體，讓學生成為學習的研究者，不斷地體驗到成功的喜悅，激發(fā)學生參與學習活動的熱情．4．平面向量數(shù)量積的運算律=1\*GB3①發(fā)現(xiàn)數(shù)量積的運算律教師引導學生回顧實數(shù)運算中有關(guān)的運算律，并類比得出數(shù)量積的運算律，體會不同運算的運算律不盡相同，然后由學生自主完成下列表格：在實數(shù)運算中在向量運算中是否正確交換律(1)（）結(jié)合律(2)（）(3)（）分配率(4)（）消去律(5)（）【設(shè)計意圖】通過類比、探究使學生得到數(shù)量積的運算律，進一步培養(yǎng)學生的邏輯思維和探究問題的能力．答案：(1)√；(2)×；(3)√；(4)√；(5)×．對于上述表格，學生在處理的過程中(2)(5)出錯率較高，需要老師著重分析：(2)這是因為表示一個與共線的向量，而表示一個與共線的向量，而與不一定共線，所以一般不成立，即使與共線，此式也不一定成立．(5)如下圖，均滿足，但．=2\*GB3②明晰數(shù)量積的運算律已知向量、、和實數(shù)，則：(1)；(2)；(3)．=3\*GB3③證明數(shù)量積的運算律學生自主證明(1)(2)，同時對于(2)，注意引導學生反思：當時，向量與、與的方向的關(guān)系，此時向量與、與的夾角與向量與的夾角相等嗎？教師分析證明(3)：如右圖，在平面內(nèi)任取一點O，作，，，因為（即）在方向上的投影等于、在方向上的投影的和，即，所以，所以，所以．【設(shè)計意圖】發(fā)現(xiàn)運算律、明晰運算律、證明運算律，這樣做不僅培養(yǎng)了學生推理論證的能力，同時也增強了學生類比創(chuàng)新的意識，將知識的獲得和能力的培養(yǎng)有機的結(jié)合在一起．四、理解新知1．對數(shù)量積的理解平面向量的數(shù)量積是兩個向量之間的運算，它與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣，也有明顯的物理背景和幾何意義，同時還有一系列的運算性質(zhì)，但與向量的線性運算不同的是：數(shù)量積的運算結(jié)果是數(shù)量而不是向量．這個數(shù)量的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)，數(shù)量積運算結(jié)果的符號取決于向量與的夾角．2．靈活掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)，既可以用來證明兩向量垂直，也可以由垂直進行有關(guān)計算；(2)與可用來求向量的模，以實現(xiàn)實數(shù)運算向向量運算的相互轉(zhuǎn)化．(3)不僅可以用來直接計算兩向量、的夾角，也可用來求直線的夾角(向量的夾角與向量所在直線的夾角有區(qū)別)，還可利用夾角的取值情況建立方程或不等式用于求參數(shù)的值或范圍．五、運用新知例1．已知，，且與的夾角，求．【設(shè)計意圖】本例及拓展變式1，2均由學生自主完成，然后教師進行答案的校對．其目的是通過計算鞏固對數(shù)量積定義的理解．解：例2．我們知道，對任意，恒有，．對于任意的向量，，是否也有下面類似的結(jié)論？(1)；(2)．【設(shè)計意圖】使學生體會實際解題中運算律的作用，比較向量運算與多項式乘法運算的異同．解：(1)(2)例3．已知，，且與的夾角，求．解：===．拓展變式3．已知，，與的夾角，求．答案：例4．已知，，且與不共線．為何值時，向量與互相垂直？【設(shè)計意圖】學會利用數(shù)量積來解決有關(guān)垂直問題，體會運算律的優(yōu)越性．解：與互相垂直的條件是，即．因為，所以，所以．也就是說，當時，與互相垂直．拓展變式4：若，，，求的值．答案：．六、課堂小結(jié)1．知識方面：（1）平面向量的數(shù)量積的定義；（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義；（3）平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；（4）平面向量數(shù)量積的運算律．2．思想方法方面：體會類比的數(shù)學思想和方法，進一步提高抽象概括、推理論證的能力．【設(shè)計意圖】通過課堂小結(jié)，使學生對本節(jié)的內(nèi)容有一個完整、系統(tǒng)的認識，在培養(yǎng)概括能力的同時，也對本節(jié)課的教學效果進行反饋．七、布置作業(yè)必做題：教材P108習題2.4A組1、2、3；B組1．選做題：已知與都是非零向量，且與垂直，與垂直求與的夾角．【設(shè)計意圖】通過設(shè)計不同層次的作業(yè)既使學生掌握基礎(chǔ)知識，又使學有余力的學生有所提高，從而達到激發(fā)興趣和“減負”的目的．八、教后反思1．教學設(shè)計亮點：通過創(chuàng)設(shè)情境引入引入新課，激發(fā)了學生的學習興趣；以提問、猜想、討論、變式練習等方