高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章空間向量與立體幾何 精品獲獎(jiǎng)_第1頁
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專題一空間向量及其運(yùn)算空間向量的運(yùn)算有加、減、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算,有三角形法則、平行四邊形法則、首尾相接的多邊形法則,通過這些運(yùn)算可以對(duì)向量多項(xiàng)式進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理、求值,空間向量及其運(yùn)算的知識(shí)與方法與平面向量及其運(yùn)算類似,是平面向量的拓展.例1已知點(diǎn)M是△ABC的重心,則eq\o(MA,\s\up6(→))+eq\o(MB,\s\up6(→))+eq\o(MC,\s\up6(→))=________.【答案】0解析:設(shè)D為AB的中點(diǎn),則eq\o(MA,\s\up6(→))+eq\o(MB,\s\up6(→))=2eq\o(MD,\s\up6(→)),又M為△ABC的重心,則eq\o(MC,\s\up6(→))=-2eq\o(MD,\s\up6(→)),所以eq\o(MA,\s\up6(→))+eq\o(MB,\s\up6(→))+eq\o(MC,\s\up6(→))=0.(鞏固訓(xùn)練)空間任意四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D,則eq\o(BA,\s\up11(→))+eq\o(CB,\s\up11(→))-eq\o(CD,\s\up11(→))等于()\o(DB,\s\up11(→))\o(AD,\s\up11(→))\o(DA,\s\up11(→)) \o(AC,\s\up11(→))解析:eq\o(BA,\s\up11(→))+eq\o(CB,\s\up11(→))-eq\o(CD,\s\up11(→))=eq\o(CB,\s\up11(→))+eq\o(BA,\s\up11(→))-eq\o(CD,\s\up11(→))=eq\o(CA,\s\up11(→))-eq\o(CD,\s\up11(→))=eq\o(DA,\s\up11(→)).故選C例2已知在空間四邊形OABC中,eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,eq\o(OC,\s\up6(→))=c,點(diǎn)M在OA上,且OM=2MA,N為BC中點(diǎn),則eq\o(MN,\s\up6(→))等于()\f(1,2)a-eq\f(2,3)b+eq\f(1,2)c B.-eq\f(2,3)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)c\f(1,2)a+eq\f(1,2)b-eq\f(1,2)c \f(2,3)a+eq\f(2,3)b-eq\f(1,2)c解析:顯然eq\o(MN,\s\up6(→))=eq\o(ON,\s\up6(→))-eq\o(OM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(OC,\s\up6(→)))-eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))=-eq\f(2,3)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)c.(鞏固訓(xùn)練)如圖,已知空間四邊形ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→))=a-2c,eq\o(CD,\s\up6(→))=5a+6b-8c,對(duì)角線AC,BD的中點(diǎn)分別為E,F(xiàn),則eq\o(EF,\s\up6(→))=______(用向量a,b,c表示).【答案】:3a+3b-解析:設(shè)G為BC的中點(diǎn),連接EG,F(xiàn)G,則eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\o(EG,\s\up6(→))+eq\o(GF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(a-2c)+eq\f(1,2)(5a+6b-8c)=3a+3b-5c.例3已知a,b均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|a+3b|=()A.13\r(13)C.2 \r(5)解析:|a+3b|=eq\r((a+3b)2)=eq\r(a2+6a·b+9b2)=eq\r(1+6×cos60°+9)=eq\r(13).故選A(鞏固訓(xùn)練)已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,則a·b+b·c+c·a的值為________.【答案】:-13解析:因?yàn)閍+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=eq\f(32+12+42,2)=-13.專題二空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算例4已知點(diǎn)A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)λ+μ=________.【答案】:0解析:因?yàn)閑q\o(AB,\s\up11(→))=(λ-1,1,λ-2μ-3),eq\o(AC,\s\up11(→))=(2,-2,6),若A,B,C三點(diǎn)共線,則eq\o(AB,\s\up11(→))∥eq\o(AC,\s\up11(→)),即eq\f(λ-1,2)=-eq\f(1,2)=eq\f(λ-2μ-3,6),解得λ=0,μ=0,所以λ+μ=0.(鞏固訓(xùn)練)已知a=(2,-3,1),則下列向量中與a平行的是()A.(1,1,1) B.(-2,-3,5)C.(2,-3,5) D.(-4,6,-2)解析:若b=(-4,6,-2),則b=-2(2,-3,1)=-2a,所以a∥b.例5已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a成60°夾角的是()A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)解析:利用向量數(shù)量積公式的變形公式cos〈a,b〉=eq\f(a·b,|a||b|)求向量的夾角,各項(xiàng)逐一驗(yàn)證.選項(xiàng)B中cos〈a,b〉=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(1×1,\r(2)×\r(2))=eq\f(1,2),所以〈a,b〉=60°.故選B(鞏固訓(xùn)練)已知空間三點(diǎn)A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),則eq\o(AB,\s\up11(→))與eq\o(CA,\s\up11(→))的夾角θ的大小是________.【答案】:120°解析:因?yàn)閑q\o(AB,\s\up11(→))=(-2,-1,3),eq\o(CA,\s\up11(→))=(-1,3,-2),所以cos〈eq\o(AB,\s\up11(→)),eq\o(CA,\s\up11(→))〉=eq\f(\o(AB,\s\up11(→))·\o(CA,\s\up11(→)),|\o(AB,\s\up11(→))||\o(CA,\s\up11(→))|)=eq\f((-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2),\r(14)×\r(14))=eq\f(-7,14)=-eq\f(1,2),取x=1,得y=-1,z=-1,所以n=(1,-1,-1).又eq\o(MN,\s\up11(→))·n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0,\f(1,2)))·(1,-1,-1)=0,所以eq\o(MN,\s\up11(→))⊥n.又MN?平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.法二:因?yàn)閑q\o(MN,\s\up11(→))=eq\o(C1N,\s\up11(→))-eq\o(C1M,\s\up11(→))=eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up11(→))-eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up11(→))=eq\f(1,2)(eq\o(D1A1,\s\up11(→))-eq\o(D1D,\s\up11(→)))=eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up11(→)),所以eq\o(MN,\s\up11(→))∥eq\o(DA1,\s\up11(→)),而MN?平面A1BD,DA1?平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.(鞏固訓(xùn)練)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°角.求證:CM∥平面PAD;證明:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角,∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=2eq\r(3),PB=4.∴D(0,1,0),B(2eq\r(3),0,0),A(2eq\r(3),4,0),P(0,0,2),M(eq\f(\r(3),2),0,eq\f(3,2)),∴eq\o(DP,\s\up6(→))=(0,-1,2),eq\o(DA,\s\up6(→))=(2eq\r(3),3,0),eq\o(CM,\s\up6(→))=(eq\f(\r(3),2),0,eq\f(3,2)),令n=(x,y,z)為平面PAD的一個(gè)法向量,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(DP,\s\up6(→))·n=0,,\o(DA,\s\up6(→))·n=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-y+2z=0,,2\r(3)x+3y=0,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z=\f(1,2)y,,x=-\f(\r(3),2)y,))令y=2,得n=(-eq\r(3),2,1).∵n·eq\o(CM,\s\up6(→))=-eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)+2×0+1×eq\f(3,2)=0,∴n⊥eq\o(CM,\s\up6(→)),又CM?平面PAD,∴CM∥平面PAD.(鞏固訓(xùn)練)如圖,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,E,F(xiàn),O分別為PA,PB,AC的中點(diǎn),AC=16,PA=PC=10.設(shè)G是OC的中點(diǎn),證明:FG∥平面BOE。證明如圖,連接OP,易知OB,OC,OP兩兩垂直,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OP所在直線為x軸,y軸,x軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(xiàn)(4,0,3).由題意,得G(0,4,0)因?yàn)閑q\o(OB,\s\up6(→))=(8,0,0),eq\o(OE,\s\up6(→))=(0,-4,3),所以平面BOE的一個(gè)法向量為n=(0,3,4).由eq\o(FG,\s\up6(→))=(-4,4,-3),得n·eq\o(FG,\s\up6(→))=0,即n⊥eq\o(FG,\s\up6(→)).又直線FG不在平面BOE內(nèi),所以FG∥平面BOE.專題四利用空間向量證明垂直關(guān)系垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直和面面垂直等.利用向量垂直的充要條件可直接證明線線垂直,線面垂直和面面垂直一般都可轉(zhuǎn)化為線線垂直來證明。證明線面垂直的方法:(1)證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量;(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直.利用空間向量證明面面垂直的方法.(1)利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題;(2)直接求解兩個(gè)平面的法向量,證明兩個(gè)法向量垂直,從而得到兩個(gè)平面垂直.例7已知三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=eq\f(1,2)AB,N為AB上一點(diǎn),AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).證明:CM⊥SN.證明:設(shè)PA=1,以A為原點(diǎn),射線AB,AC,AP分別為x軸,y軸,z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,0,\f(1,2))),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0,0)),Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,2),0)).eq\o(CM,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,-1,\f(1,2)))eq\o(SN,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),-\f(1,2),0))∴eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(SN,\s\up6(→))=-eq\f(1,2)+eq\f(1,2)+0=0.∴eq\o(CM,\s\up6(→))⊥eq\o(SN,\s\up6(→)),即CM⊥SN.例8.如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F(xiàn),H分別是線段PA,PD,AB的中點(diǎn).求證:PD⊥平面AHF.證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(xiàn)(0,1,1),H(1,0,0).eq\o(PD,\s\up6(→))=(0,2,-2),eq\o(AH,\s\up6(→))=(1,0,0),eq\o(AF,\s\up6(→))=(0,1,1),∴eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))=0×0+2×1+(-2)×1=0,eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AH,\s\up6(→))=0×1+2×0+(-2)×0=0,∴PD⊥AF,PD⊥AH,又∵AF∩AH=A,∴PD⊥平面AHF.(鞏固訓(xùn)練)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=eq\r(2).證明:A1C⊥平面BB1D1D;證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由AB=AA1=eq\r(2)可知O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),B1(-1,1,1),C(-1,0,0),A1(0,0,1),D1(-1,-1,1).eq\o(A1C,\s\up6(→))=(-1,0,-1),eq\o(DB,\s\up6(→))=(0,2,0),eq\o(BB1,\s\up6(→))=(-1,0,1),eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))=0,eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(BB1,\s\up6(→))=0,即A1C⊥DB,A1C⊥BB1,且DB∩BB1=B,∴A1C⊥平面BB1D1D.例9如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn).求證:平面PMC⊥平面PDC.證明:如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)PA=AD=a,AB=b,則有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).因?yàn)镸,N分別為AB,PC中點(diǎn),所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2),0,0)),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2),\f(a,2),\f(a,2))).所以eq\o(PC,\s\up11(→))=(b,a,-a),eq\o(PM,\s\up11(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2),0,-a)),eq\o(PD,\s\up11(→))=(0,a,-a).設(shè)平面PMC的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(PC,\s\up11(→))=0?bx1+ay1-az1=0,n1·\o(PM,\s\up11(→))=0?\f(b,2)x1-az1=0)),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1=\f(2a,b)z1,y1=-z1)),令z1=b,則n1=(2a,-b,b).設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PC,\s\up11(→))=0?bx2+ay2-az2=0,n2·\o(PD,\s\up11(→))=0?ay2-az2=0)),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2=0,,y2=z2,))令z2=

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