高中物理教科版4第一章機械振動 第1章2單擺

2．單擺學(xué)習(xí)目標(biāo)知識脈絡(luò)1.知道什么是單擺．2．理解擺角很小時單擺的振動是簡諧運動．(重點)3．知道單擺的周期跟什么因素有關(guān)，了解單擺的周期公式，并能用來進行有關(guān)的計算．(重點、難點)單擺的簡諧運動eq\o([先填空])1．單擺(1)組成：小球和細線．(2)單擺是一種理想模型，實際擺可視為單擺的條件：①細線形變要求：細線的長度形變可以忽略．②質(zhì)量要求：細線質(zhì)量與小球質(zhì)量相比可以忽略．③細線長度要求：球的直徑與細線的長度相比可以忽略．④受力要求：與小球受到的重力及線的拉力相比，空氣對它的阻力可以忽略不計．⑤擺角要求：單擺在擺動過程中要求擺角小于5°(選填“大于”“小于”或“等于”)．2．單擺的回復(fù)力(1)回復(fù)力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力．(2)回復(fù)力的特點：在偏角很小時，單擺所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置，即F＝－eq\f(mg,l)x.(3)運動規(guī)律：單擺在偏角很小時做簡諧運動．eq\o([再判斷])1．單擺的回復(fù)力是由擺球重力的分力提供的．(√)2．單擺模型中對細線的要求是細線的伸縮可忽略，質(zhì)量可忽略．(√)3．單擺模型中對小球的要求是密度較大，其直徑與線的長度相比可忽略．(√)4．單擺回復(fù)力不符合簡諧運動．(×)eq\o([后思考])1．單擺做簡諧運動的條件是什么？【提示】單擺做簡諧運動的條件是偏角很小，通常應(yīng)在5°以內(nèi)．2．單擺做簡諧運動的回復(fù)力是否等于小球所受的合力？【提示】小球的重力沿圓弧切線方向上的分力提供回復(fù)力，而不是小球所受的合力．1．運動特點(1)擺球以懸掛點為圓心在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動．(2)擺球以最低點為平衡位置做簡諧運動．2．?dāng)[球的受力(1)一般位置：如圖1-2-1所示，G1＝Gsinθ，G2＝Gcosθ，G1的作用是提供擺球以O(shè)為中心做往復(fù)運動的回復(fù)力，F(xiàn)－G2為擺球做圓周運動提供的向心力．圖1-2-1(2)平衡位置：擺球經(jīng)過平衡位置時，G1＝0，回復(fù)力F回＝0；G2＝G，F(xiàn)－G的作用是提供向心力．(3)單擺的簡諧運動在θ很小時(小于5°，θ的單位為弧度)，sinθ≈θ＝eq\f(x,l)，G1＝Gsinθ＝eq\f(mg,l)x，G1方向與擺球位移方向相反，所以有回復(fù)力F回＝G1＝－eq\f(mg,l)x＝－kx.因此，在擺角θ很小時，單擺做簡諧運動，其振動圖像遵循正弦函數(shù)規(guī)律，圖像是正弦或余弦曲線．(4)單擺的圓周運動F向＝F－G2＝F－mgcosθ＝eq\f(mv2,l).1．振動的單擺小球通過平衡位置時，關(guān)于小球受到的回復(fù)力、合力及加速度的說法中正確的是()A．回復(fù)力為零B．合力不為零，方向指向懸點C．合力不為零，方向沿軌跡的切線D．回復(fù)力為零，合力也為零E．加速度不為零，方向指向懸點【解析】單擺的回復(fù)力不是它的合力，而是重力沿圓弧切線方向的分力；當(dāng)擺球運動到平衡位置時，回復(fù)力為零，但合力不為零，因為小球還有向心力和向心加速度，方向指向懸點(即指向圓心)．【答案】ABE2．關(guān)于單擺擺球在運動過程中的受力，下列結(jié)論正確的是()【導(dǎo)學(xué)號：18640004】A．?dāng)[球受重力、擺線的張力作用B．?dāng)[球的回復(fù)力最大時，向心力為零C．?dāng)[球的回復(fù)力為零時，向心力最大D．?dāng)[球的回復(fù)力最大時，擺線中的張力大小比擺球的重力大E．?dāng)[球的向心力最大時，擺球的加速度方向沿擺球的運動方向【解析】單擺在運動過程中，擺球受重力和擺線的拉力，故A對；重力垂直于擺線的分力提供回復(fù)力．當(dāng)回復(fù)力最大時，擺球在最大位移處，速度為零，向心力為零，則拉力小于重力；在平衡位置處，回復(fù)力為零，速度最大，向心力最大，擺球的加速度方向沿擺線指向懸點，故D、E錯，B、C對．【答案】ABC3．若單擺的擺長不變，擺球的質(zhì)量增加為原來的4倍，擺球經(jīng)過平衡位置時的速度減小為原來的eq\f(1,2)，則單擺擺動的頻率________，振幅變________．【解析】單擺的周期和頻率由擺長和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葲Q定，與擺球的質(zhì)量和速度無關(guān)；另外由機械能守恒定律可知，擺球經(jīng)過平衡位置的速度減小了，則擺動的最大高度減小，振幅減小．【答案】不變小對于單擺的兩點說明1．所謂平衡位置，是指擺球靜止時，擺線拉力與小球所受重力平衡的位置，并不是指擺動過程中的受力平衡位置．實際上，在擺動過程中，擺球受力不可能平衡．2．回復(fù)力是由擺球受到的重力沿圓弧切線方向的分力F＝mgsinθ提供的，不可誤認(rèn)為回復(fù)力是重力G與擺線拉力T的合力．單擺做簡諧運動的周期eq\o([先填空])1．測量單擺周期把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度釋放，使之做簡諧運動．以擺球通過平衡位置時開始計時，用停表記下擺球通過平衡位置n次所用的時間t，因為單擺完成一個周期的振動，經(jīng)過平衡位置兩次，所以有t＝eq\f(n,2)T，T＝eq\f(2t,n).用米尺量出懸線長度l′，用游標(biāo)卡尺量出擺球的直徑d，則擺長l＝l′＋eq\f(d,2).2．探究單擺周期T與擺長l的關(guān)系(1)改變單擺的擺長，測出不同擺長單擺的周期，自己設(shè)計一個表格，把所測數(shù)據(jù)填入表中．(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在坐標(biāo)紙上描點，以T為縱軸，l為橫軸，畫出T－l圖像．(3)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在坐標(biāo)紙上描點，以T的平方為縱軸，l為橫軸，畫出T2－l圖像．分析T2－l圖像，可得周期的平方與擺長成正比．(4)惠更斯研究了單擺的振動，發(fā)現(xiàn)在偏角很小的情況下，單擺做簡諧運動的周期T跟擺長l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、擺球的質(zhì)量無關(guān)，并且確定了如下的單擺周期的公式T＝2πeq\r(\f(l,g)).eq\o([再判斷])1．單擺的振幅越大，周期越大．(×)2．?dāng)[動幅度越大，周期越長．(×)3．單擺的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)．(√)4．?dāng)[長應(yīng)是從懸點到擺球球心的距離．(√)eq\o([后思考])1．由于單擺的回復(fù)力是由擺球的重力沿切線方向的分力提供的，那么是否擺球的質(zhì)量越大，回復(fù)力越大，單擺擺動得越快，周期越?。俊咎崾尽坎皇牵?dāng)[球擺動的加速度除了與回復(fù)力有關(guān)外，還與擺球的質(zhì)量有關(guān)，即a∝eq\f(F,m)，所以擺球質(zhì)量增大后，加速度并不增大，其周期由T＝2πeq\r(\f(l,g))決定，與擺球的質(zhì)量無關(guān)．2．把單擺從赤道處移至兩極處時，要保證單擺的周期不變，應(yīng)如何調(diào)整擺長？【提示】兩極處重力加速度大于赤道處重力加速度，由T＝2πeq\r(\f(l,g))知，應(yīng)增大擺長，才能使周期不變．1．周期公式的成立條件(1)T＝2πeq\r(\f(l,g))是單擺做簡諧運動的周期公式，它必須是在小角度擺動的條件下才成立，理論上一般θ角不超過5°，但在實驗中，擺角很小時單擺運動的細節(jié)不易觀察清楚，帶來的測量誤差反而會大，因此實驗中一般認(rèn)為θ角不超過10°.(2)在擺角很小時，角度的弧度值、正弦值、正切值可認(rèn)為相等，這是物理中常用的一個數(shù)字近似．(3)彈簧振子的周期與振子的質(zhì)量有關(guān)，單擺的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)．2．?dāng)[長擺長l是指擺動軌跡圓弧的圓心到擺球重心的距離，而不一定是擺線的長度或擺線長度加小球半徑長．如圖1-2-2所示[(b)、(c)、(d)圖中小球均視作質(zhì)點]：圖1-2-2圖(a)中，擺長l＝l0＋eq\f(d,2)，單擺周期T(a)＝2πeq\r(\f(l0＋d/2,g)).圖(b)中，擺球只能在垂直紙面平面內(nèi)擺動，擺長l＝l0sinθ，單擺周期T(b)＝2πeq\r(\f(l0sinθ,g)).圖(c)中，若擺球在紙面平面內(nèi)擺動，擺長l＝l0，單擺周期T(c)＝2πeq\r(\f(l0,g))；若擺球在垂直紙面平面內(nèi)擺動，擺長l＝l0(1＋sinθ)，單擺周期T(c)＝2πeq\r(\f(l01＋sinθ,g)).圖(d)中，O′處為一釘子，擺線擺到豎直位置時，擺球做圓周運動的圓心就由O變?yōu)镺′，擺球做簡諧運動時，半個周期擺長為l，另半個周期擺長為l－eq\f(1,3)l＝eq\f(2,3)l，則其周期T(d)＝eq\f(T1,2)＋eq\f(T2,2)＝πeq\r(\f(l,g))＋πeq\r(\f(2l/3,g)).3．重力加速度g在實際問題中，g不一定為m/s2，而要由單擺所處的空間位置和擺球的運動情況、受力情況決定．(1)如果單擺處在向上加速的系統(tǒng)中，擺球?qū)⑻幱诔貭顟B(tài)，設(shè)向上的加速度為a，則系統(tǒng)中的等效重力加速度g′＝g＋a，因為系統(tǒng)中重力加速度增大，單擺的周期將變短，如正向上加速運動的航天器中的單擺．但單擺如果在軌道上正常運行的航天器內(nèi)，擺球?qū)⑼耆е?，等效重力加速度g′＝0，單擺的周期無窮大，即單擺不擺動．(2)如圖1-2-3所示，單擺的周期T＝2πeq\r(\f(l,gsinθ)).因為單擺的等效重力為擺球重力沿斜面向下的分力mgsinθ，故此場景中的等效重力加速度g′＝gsinθ.圖1-2-34.如圖1-2-4所示是一個單擺(θ＜5°)，其周期為T，則下列說法正確的是()圖1-2-4A．把擺球的質(zhì)量增加一倍，其周期不變B．?dāng)[球的振幅變小時，周期也變小C．此擺由O→B運動的時間為eq\f(T,4)D．?dāng)[球由B→O時，動能向勢能轉(zhuǎn)化E．?dāng)[球由O→C時，動能向勢能轉(zhuǎn)化【解析】單擺的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)，A正確；單擺的周期與振幅無關(guān)，B錯誤；此擺由O→B運動的時間為eq\f(T,4)，C正確；擺球B→O時，勢能轉(zhuǎn)化為動能，O→C時，動能轉(zhuǎn)化勢能，D錯誤，E正確．【答案】ACE5．如圖1-2-5所示，三根細線在O點處打結(jié)，A、B端固定在同一水平面上相距為l的兩點上，使∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，已知OC線長是l，下端C點系著一個小球(可視為質(zhì)點且做小角度擺動)．圖1-2-5讓小球在紙面內(nèi)振動，周期T＝________.讓小球在垂直紙面內(nèi)振動，周期T＝________.【解析】讓小球在紙面內(nèi)振動，在偏角很小時，單擺做簡諧運動，擺長為l，周期T＝2πeq\r(\f(l,g))；讓小球在垂直紙面內(nèi)振動，在偏角很小時，單擺做簡諧運動，擺長為(eq\f(\r(3),4)l＋l)，周期T＝2πeq\r(\f(\f(\r(3),4)＋1l,g)).【答案】2πeq\r(\f(l,g))2πeq\r(\f(\f(\r(3),4)＋1l,g))6．一個單擺的長為l，在其懸點O的正下方處有一釘子P(如圖1-2-6所示)，現(xiàn)將擺球向左拉開到A，使擺線偏角θ＜5°，放手后使其擺動，求出單擺的振動周期．圖1-2-6【解析】釋放后擺球到達右邊最高點B處，由機械能守恒可知B和A等高，則擺球始終做簡諧運動．?dāng)[球做簡諧運動的擺長有所變化，它的周期為兩個不同單擺的半周期的和．小球在左邊的周期為T1＝2πeq\r(\f(l,g))小球在右邊的周期為T2＝2πeq\r(\f,g))則整個單擺的周期為T＝eq\f(T1,2)＋eq\f(T2,2)＝πeq\r