高中數(shù)學(xué)人教B版3第三章統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性檢驗(yàn) 第3章

獨(dú)立性檢驗(yàn)1.了解分類變量、2×2列聯(lián)表、隨機(jī)變量χ2的意義.2.通過(guò)對(duì)典型案例的分析，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想方法.(重點(diǎn))3.通過(guò)對(duì)典型案例的分析，了解兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用.(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理獨(dú)立性檢驗(yàn)閱讀教材P77～P78例2以上部分，完成下列問(wèn)題.1.卡方統(tǒng)計(jì)量χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)，用χ2的大小可以決定是否拒絕原來(lái)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0.如果算出的χ2值較大，就拒絕H0，也就是拒絕“事件A與B無(wú)關(guān)”，從而就認(rèn)為它們是有關(guān)的了.2.兩個(gè)臨界值(1)當(dāng)根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的χ2>時(shí)，有95%的把握說(shuō)事件A與B有關(guān)；(2)當(dāng)χ2>時(shí)，有99%的把握說(shuō)事件A與B有關(guān)，當(dāng)χ2≤時(shí)，認(rèn)為事件A與B是無(wú)關(guān)的.1.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念.(×)(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法就是反證法.(×)(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)中可通過(guò)統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上說(shuō)明兩分類變量的相關(guān)性的大小.(√)2.考察棉花種子經(jīng)過(guò)處理與生病之間的關(guān)系，得到下表中的數(shù)據(jù)：種子處理種子未處理合計(jì)得病32101133不得病61213274合計(jì)93314407根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得出()A.種子是否經(jīng)過(guò)處理與是否生病有關(guān)B.種子是否經(jīng)過(guò)處理與是否生病無(wú)關(guān)C.種子是否經(jīng)過(guò)處理決定是否生病D.有90%的把握認(rèn)為種子經(jīng)過(guò)處理與生病有關(guān)【解析】χ2＝eq\f(407×32×213－61×1012,93×314×133×274)≈<，即沒有充足的理由認(rèn)為種子是否經(jīng)過(guò)處理跟生病有關(guān).【答案】B3.若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2＝，那么有__________的把握認(rèn)為兩個(gè)變量之間有關(guān)系.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62980064】【解析】查閱χ2表知有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量之間有關(guān)系.【答案】95%[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：[小組合作型]用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人.六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人的飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主.請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(n11,n1＋)與eq\f(n21,n2＋)判斷二者是否有關(guān)系.【精彩點(diǎn)撥】eq\x(對(duì)變量進(jìn)行分類)→eq\x(求出分類變量的不同取值)→eq\x(作出2×2列聯(lián)表)→eq\x(計(jì)算\f(n11,n1＋)與\f(n21,n2＋)的值作出判斷)【自主解答】飲食習(xí)慣與年齡2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下合計(jì)飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360合計(jì)7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(n11,n1＋)＝eq\f(43,64)≈，eq\f(n21,n2＋)＝eq\f(27,60)＝.顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系.1.作2×2列聯(lián)表時(shí)，注意應(yīng)該是4行4列，計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無(wú)誤.2.作2×2列聯(lián)表時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別.[再練一題]1.上例中條件不變，嘗試用|n11n22－n12n21|的大小判斷飲食習(xí)慣與年齡是否有關(guān).【解】將本例2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入可得|n11n22－n12n21|＝|43×33－21×27|＝852.相差較大，可在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系.由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)承８呷昙?jí)在一次全年級(jí)的大型考試中，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則我們能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)優(yōu)秀有關(guān)系？物理優(yōu)秀化學(xué)優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學(xué)優(yōu)秀228225267數(shù)學(xué)非優(yōu)秀14315699注：該年級(jí)此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人.【精彩點(diǎn)撥】首先分別列出數(shù)學(xué)成績(jī)與物理、化學(xué)、總分的2×2列聯(lián)表，再正確計(jì)算χ2的觀測(cè)值，然后由χ2的值作出判斷.【自主解答】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)列出數(shù)學(xué)與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀228b360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀143d880合計(jì)371b＋d1240∴b＝360－228＝132，d＝880－143＝737，b＋d＝132＋737＝869.代入公式可得χ2≈.(2)按照上述方法列出數(shù)學(xué)與化學(xué)優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：化學(xué)優(yōu)秀化學(xué)非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀225135360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀156724880合計(jì)3818591240代入公式可得χ2≈.綜上，由于χ2的觀測(cè)值都大于，因此說(shuō)明都能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)優(yōu)秀有關(guān)系.1.獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn)在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足n11n22－n12n21≈0，因此|n11n22－n12n21|越小，關(guān)系越弱；|n11n22－n12n21|越大，關(guān)系越強(qiáng).2.獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要確定允許推斷“事件A與B有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值k0.(2)利用公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n\o\al(2,21),n1＋n2＋n＋1n＋2)計(jì)算隨機(jī)變量χ2.(3)如果χ2≥k0，推斷“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.[再練一題]2.為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對(duì)540名40歲以上的人的調(diào)查結(jié)果如下：患胃病未患胃病合計(jì)生活不規(guī)律60260320生活有規(guī)律20200220合計(jì)80460540根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律有關(guān)嗎？【解】由公式得χ2＝eq\f(54060×200－260×202,320×220×80×460)≈.∵>，∴有99%的把握說(shuō)40歲以上的人患胃病與生活是否有規(guī)律有關(guān)，即生活不規(guī)律的人易患胃病.[探究共研型]獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用探究1利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，估計(jì)值的準(zhǔn)確度與樣本容量有關(guān)嗎？【提示】利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以對(duì)推斷的正確性的概率作出估計(jì)，樣本容量n越大，這個(gè)估計(jì)值越準(zhǔn)確，如果抽取的樣本容量很小，那么利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果就不具有可靠性.探究2在χ2運(yùn)算后，得到χ2的值為，在判斷變量相關(guān)時(shí)，P(χ2≥≈和P(χ2≥≈，哪種說(shuō)法是正確的？【提示】?jī)煞N說(shuō)法均正確.P(χ2≥≈的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)；而P(χ2≥≈的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān).為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：男女需要4030不需要160270(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說(shuō)明理由.【精彩點(diǎn)撥】題中給出了2×2列聯(lián)表，從而可通過(guò)求χ2的值進(jìn)行判定.對(duì)于(1)(3)可依據(jù)古典概率及抽樣方法分析求解.【自主解答】(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為eq\f(70,500)＝14%.(2)χ2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈.由于>，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法進(jìn)行抽樣，這比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好.1.檢驗(yàn)兩個(gè)變量是否相互獨(dú)立，主要依據(jù)是利用χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)公式計(jì)算χ2的值，再利用該值與，兩個(gè)值進(jìn)行比較作出判斷.2.χ2計(jì)算公式較復(fù)雜，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時(shí)不能張冠李戴；三是計(jì)算時(shí)要細(xì)心.3.統(tǒng)計(jì)的基本思維模式是歸納，它的特征之一是通過(guò)部分?jǐn)?shù)據(jù)的性質(zhì)來(lái)推測(cè)全部數(shù)據(jù)的性質(zhì).因此，統(tǒng)計(jì)推斷是可能犯錯(cuò)誤的，即從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計(jì)關(guān)系，而不是因果關(guān)系.[再練一題]3.若兩個(gè)分類變量x和y的列聯(lián)表為：yxy1y2x1515x24010則x與y之間有關(guān)系的概率約為________.【解析】χ2＝eq\f(5＋15＋40＋105×10－40×152,5＋1540＋105＋4015＋10)≈.∵>，∴x與y之間有關(guān)系的概率約為1－＝.【答案】[構(gòu)建·體系]1.下列選項(xiàng)中，哪一個(gè)χ2的值可以有95%以上的把握認(rèn)為“A與B有關(guān)系”()A.χ2＝ B.χ2＝C.χ2＝ D.χ2＝【解析】∵>，故D正確.【答案】D2.通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女合計(jì)愛好402060不愛好203050合計(jì)6050110經(jīng)計(jì)算得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈.則正確結(jié)論是()A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”【解析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法，正確選項(xiàng)為C.【答案】C3.在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，由其數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2＝，認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)________.【解析】如果χ2>時(shí)，認(rèn)為“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò).【答案】4.某大學(xué)在研究性別與職稱(分正教授、副教授)之間是否有關(guān)系，你認(rèn)為應(yīng)該收集的數(shù)據(jù)是________.【解析】由研究的問(wèn)題可知，需收集的數(shù)據(jù)應(yīng)為男正教授人數(shù)，女正教授人數(shù)，男副教授人數(shù)，女副教授人數(shù).【答案】男正教授，女正教授，男副教授，女副教授5.調(diào)查某醫(yī)院某段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)：出生時(shí)間在晚上的男嬰為24人，女嬰為8人；出生時(shí)間在白天的男嬰為31人，女嬰為26人.(1)將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；晚上白天合計(jì)男嬰女嬰合計(jì)(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為嬰兒性別與出生時(shí)間有關(guān)系？【解】(1)晚上白天合計(jì)男嬰243155女嬰82634合計(jì)325789(2)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算χ2χ2＝eq\f(89×24×26－31×82,55×34×32×57)≈>.根據(jù)臨界值表知P(χ2≥≈.因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為嬰兒的性別與出生的時(shí)間有關(guān)系.我還有這些不足：(1)